《微积分课件：3-5高阶导数与高阶微分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分课件：3-5高阶导数与高阶微分（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一 问题提出 加速度加速度问题问题 即加速度是位移对时间的导数的导数。即加速度是位移对时间的导数的导数。3.5 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分二 高阶导数的定义记作记作类似地，类似地，二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.高阶导数的定义高阶导数的定义按照一阶导数的极限形式, 有和 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (低于 n 阶的导数均连续 ), 则称 f
2、(x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为三 高阶导数的求法例例1 1解解1 1 直接法直接法求高阶导数就是多次接连地求导数求高阶导数就是多次接连地求导数.例例2 2例例3 3解解例例4 4解解2 数学归纳法证明高阶导数数学归纳法证明高阶导数例例5 5解解同理可得同理可得3 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则公式（公式（3）称为）称为莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例6 6解解3 3 间接法间接法几个初等函数的高阶导数几个初等函数的高阶导数利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数
3、公式, 通过四则通过四则运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.求 y = ax 的各阶导数.解解运用数学归纳法可得例例12求 y = lnx 的各阶导数.解解设 例例13类似地, 有则故由数学归纳法得解解 注意这里的方法例例1414即类似地, 有)( !) 1(1)1()(Nnxnxnnn-=+-例例7 7解解例例8 8解解 例例9 求 次多项式函数 的 阶导数（ 是正整数） 解解对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .解解例例10. )( 的高阶导数求nbaxy
4、+=解解例例15解解由复合函数及反函数的求导法则, 得例例17解解例例18由于故解解例例19解解由莱布尼兹公式例例20证证例例2 21211)( xxf-=Q对上式关于 x 求导 n 次：故即对方程两边关于 x 求导:解解例例2222 对方程两边关于 x 求导, 得:对该方程两边关于 x 求导:解解从而其中,例例23. ,yexyyx =+求解解例例25解解例例26解解例例27思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，求求 .解解可导可导不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求四、高阶微分高阶微分简单地说是微分的微分。设x是自变量,则有:高阶微分不具有形式不变性若x是中间变量,是某个自变量v的函数，则有下式成立:由于x与dx都是另外一个变量v的函数，所以上面加式中第二个加项是函数x关于自变量的二阶微分，所以其未必是0。
