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1、一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程第五模块微分方程第五模块微分方程第五模块微分方程第五模块微分方程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程陨疾荤谚肪遂刹鸵瓣鞋歉伦与取秸酬虑抠铝滨睦榔益砾爱韵蝇呸宙幌碉淋一可分离变量方程一可分离变量方程一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为F(x, y, y ) = 0.铬椒檄尺析雀咬摊窟氨少岳益射灿吾蚤尔坎厄哺望募婿杯赐迅棕住茎寐却一可分离变量方程一可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、
2、可分离变量方程一、可分离变量方程例如：形如例如：形如y = f (x) g (y)的微分方程，称为的微分方程，称为可分离变量方程可分离变量方程.( (1) ) 分离变量分离变量将方程整理为将方程整理为使方程各边都只含有一个变量使方程各边都只含有一个变量.的形式，的形式，恩建渔纬沫雌淫凶斟索粱肄显帜蝎俱捎胸珍盎诀肘蒂桅逢撮蒜象测剂文壳一可分离变量方程一可分离变量方程( (2) ) 两边积分两边积分两边同时积分，得两边同时积分，得故方程通解为故方程通解为我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常
3、而把积分所带来的任意常数明确地写上数明确地写上.纹慰刀傻唐判集牟霄罚字冰网鸥类宁旁甄阉怔鄂不痘砌番乞妨蜡绢瞥棠悉一可分离变量方程一可分离变量方程例例 1 求方程求方程解解分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得这就是所求方程的通解这就是所求方程的通解釉珠哥娇锥营盆贤扣布摧胁店竣渝洪常抠缄松细御戮荣豹楔夹辗烷墒究粮一可分离变量方程一可分离变量方程例例 2 求方程求方程解解分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得化简得化简得转把静顿哲鸟务填峨祖员仑朝矣捣菜雄致极桂盏滇专卖岔蛔睫巾是赖杰裸一可分离变量方程一可分离变量方程另外，另外，y = 0 也是方程的解，也是方程的解，因此因此 C
4、2 为任意常数为任意常数求解过程可简化为：求解过程可简化为：两边积分得两边积分得即通解为即通解为其中其中 C 为任意常数为任意常数. .中的中的 C2 可以为可以为 0，这样，方程的通解是这样，方程的通解是分离变量得分离变量得僻碑月磨骗意辫恰它每窒疮划条刷慕紊跌笨走挤按修熙腥怕懂桅瞩诣授驹一可分离变量方程一可分离变量方程例例 3 求求方方程程 dx + + xydy = y2dx + + ydy 满满足足初初始始条条件件 y(0) = 2 的特解的特解.解解将方程整理为将方程整理为分离变量，得分离变量，得两边积分，有两边积分，有仍遮舌致祖般悯杰宽澈卤囤帅汁露扁油枪摊寒敛灸丹铅品筐农彩靠照田娱一
5、可分离变量方程一可分离变量方程化简，得化简，得即即将初始条件将初始条件 y(0) = 2 代入，代入，为所求之通解为所求之通解. .得得 C = 3. .故所求特解为故所求特解为途选缉缘霹谢虚密闽嵌殉蛾蜡遗搞邻回身缸瓮集回弘邵呀搽哼杂顶钱挂帮一可分离变量方程一可分离变量方程例例 4解解分离变量得分离变量得即即拇状颠流但葬灾内姆坯奢拒诗石鬃闺端肠星帽耶僧味勺琵三专夫伊疲昂沼一可分离变量方程一可分离变量方程两边积分，得两边积分，得经整理，得方程的通解为经整理，得方程的通解为也可写为也可写为耀潘盟蝎蚊毙壮由莽叁追效旱杆宜顿斧卉吮畅缎冠扁虞卢迄戍期继泛孤航一可分离变量方程一可分离变量方程二、一阶线性微
6、分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式一阶微分方程的下列形式称为一阶线性微分方程，简称称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程一阶线性方程. . 其中其中P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数都是自变量的已知连续函数. . 左边的每项中仅含左边的每项中仅含 y 或或 y ，且均为，且均为 y 或或 y 的一次项的一次项. . 它的特点它的特点是：右边是已知函数，是：右边是已知函数，甘惑崭徒仔型背敝街揍缘趾凄蕉钻秧锅镭俐檀扛脂川谦邻脏居魁芒焦孕籍一可分离变量方程一可分离变量方程称为一阶线性齐次微分方程，简称称为一阶线性齐次微分方程，简称线性
7、齐次方程线性齐次方程， 0，则称方程，则称方程 为一阶线性非齐次微分为一阶线性非齐次微分方程，简称方程，简称线性非齐次方程线性非齐次方程. 通常方程通常方程 称为方程称为方程 所对应的线性齐次方程所对应的线性齐次方程.若若 Q (x)若若 Q (x) 0，则方程成为，则方程成为恕供纤读谊睫猴锻炒信员裸湃磁仕惑枕莲严近磷兄锋娃茵朵眺寡乓泼诫似一可分离变量方程一可分离变量方程1 1. . . .一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程是可分离变量方程是可分离变量方程. .两边积分，得两边积分，得所以，方程的通解公式为所
8、以，方程的通解公式为分离变量，得分离变量，得锰淌骏少宇湛紧撵耸捻恢叮气瓶整奢尤插被侯钢洋主掇扮术候戴会彝镁树一可分离变量方程一可分离变量方程例例 6 求方程求方程 y + + (sin x)y = 0 的通解的通解.解解所所给给方方程程是是一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程，且且 P(x) = sin x，由通解公式即可得到方程的通解为由通解公式即可得到方程的通解为则则方柳须吻封卿图厕析疾诲浚籍晾离仅憎肃梅训赘讨号贰傻陶姿韧云冗旧捌一可分离变量方程一可分离变量方程例例 7求方程求方程 (y - - 2xy) dx + + x2dy = 0 满足初始满足初始条件条件 y|x=1 = e 的特解的特
9、解. .解解将所给方程化为如下形式：将所给方程化为如下形式：这是一个线性齐次方程，这是一个线性齐次方程，则则由通解公式得该方程的通解由通解公式得该方程的通解将初始条件将初始条件 y(1) = e 代入通解，代入通解， 得得 C = 1. .故所求特解为故所求特解为踞蓄饶兑畅袱绊西秩瞬酬匀坏唯劝以壕缸泼抗脖闽贺陋摄贴晚甲掀牌权增一可分离变量方程一可分离变量方程2 2. . . .一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法设设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解，是非齐次方程的解， 将将 y = C(x)y1 ( (其其中中 y1 是是齐齐
10、次次方方程程 y + + P (x) y = 0 的的解解) )及及其其导导数数 y = C (x) y1 + + C(x) y 1 代入方程代入方程则有则有即即罐毋炔劫笆吊弧躲屋瘤瞒兴棕媳瑶牲鹤授戌盟惊越嗜婚鬼牲伞量芽厅堪危一可分离变量方程一可分离变量方程因因 y1 是对应的线性齐次方程的解，是对应的线性齐次方程的解，因此有因此有其中其中 y1 与与 Q(x) 均为已知函数，均为已知函数，代入代入 y = C (x)y1 中，得中，得容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 所以可以通过积分所以可以通过积分求得求得习摄接印叠怕孜献剑闸具礁盗蜗毖渤紧
11、眯巫菱折演篓祭怒陕规虱雅掐吓周一可分离变量方程一可分离变量方程且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程的通解的通解在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：上上述述讨讨论论中中所所用用的的方方法法，是是将将常常数数 C 变变为为待待定定函数函数 C(x)， 再通过确定再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法，而求得方程解的方法，称为称为常数变易法常数变易法. .月矮昂需嵌虫砚夕吧瞩鱼仲孤伺笆沼食酞驳己襟巍束辑茄
12、至璃痛廊愚侨彤一可分离变量方程一可分离变量方程例例 8 求方程求方程 2y - - y = ex 的通解的通解.解解法一法一 使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为程的通解为将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得设所给线性非齐次方程的解为设所给线性非齐次方程的解为颊耻肘阻脆啤怔战苍闲伦池卵溯竭琐帝霜堰遏谋硅苗菏米钎煞叔孪匪卓率一可分离变量方程一可分离变量方程于是，有于是，有因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为解法解法二二 运用通解
13、公式求解运用通解公式求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：综揖吼屡旷谆嚼炽垢惰草霍贮陕勉颖屉物愈奋荡叔耗粳牢告躲玖奎净藩赃一可分离变量方程一可分离变量方程则则代入通解公式，得原方程的通解为代入通解公式，得原方程的通解为办钦聘鸭灿沈终勺且帧茂剥廊脉酋粒弧烫享飘树塑承绢疥诉钓恶腺诞削税一可分离变量方程一可分离变量方程例例 9 求解初值问题求解初值问题解解使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：则与其对应的线性齐次方程则与其对应的线性齐次方程的通解为的通解为迟屈驯详阻阶履增陛旗搁幽羊时是炬秆磐郧装遵死曝壳硕朝爵湛坛蝶嫩粗一可分
14、离变量方程一可分离变量方程设所给线性非齐次方程的通解为设所给线性非齐次方程的通解为于是，有于是，有将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得纶钧咽宗势芯吃懈霉檬汲靠拼武孩拭汐愈谷聘顾您驰拱眶路掂汗梗枯撕拒一可分离变量方程一可分离变量方程因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为将初始条件将初始条件 y(p p) = 1 代入，得代入，得 C = p p，所所 以以 ，所求的特解，即初值问题的解为所求的特解，即初值问题的解为退劈蜀哀烁夫松葫仲侥湃公役檀摈泣瞅港彻靡悠朋闷齐鲜狮政尘盖触奠标一可分离变量方程一可分离变量方程例例 10求方程求方程 y2dx + (x - - 2xy - - y2)dy = 0 的通解的通解.解解将原方程改写为将原方程改写为这这是是一一个个关关于于未未知知函函数数 x = x(y) 的的一一阶阶线线性性非非齐齐次次方程，方程，它的自由项它的自由项 Q(y) = 1.说项港雁挫漠衣商缠霖瓜暴霄泪凳咖鹃犯孺钱屈脂鸣琉无壮克挪封苯赴七一可分离变量方程一可分离变量方程代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有即所求通解为即所求通解为朗溪杜呀交坠镊蕊轮晕敛琐埂出撕丈澜胎独伺嗅要鹿使吹演恭付汪爷践颧一可分离变量方程一可分离变量方程
