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1、本本节节内内容容是是关关于于几几何何中中的的一一些些比比例例关关系系，这这几几节节内内容容现现在在在在初初中中课课本本中中已已“淡淡化化”，但但是是这这几几个个结结论论在在高高中中的的“立立体体几几何何”和和“平平面面解解析析几几何何”中中有有时时会会用用到到.因因此此,在在本本节节中中首首先先把把这这几几个个定定理理内内容容介介绍绍给给同同学学们们,然然后后利利用用这这三三个个定定理理来来解解决决一一些些题题目目.其其中中对对于于“平平行行线线分分线线段段成成比比例例”介介绍绍几几条条稍稍有有难难度度的的题题目目，而而“三三角角形形内内外外角角平平分分线线性性质质定定理理” 的的题目直接围绕
2、定理展开，难度不大题目直接围绕定理展开，难度不大.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 定理的基本图形：定理的基本图形：如图，因为如图，因为ADBECF， 所以所以AB：BC=DE：EF; AB：AC=DE：DF； BC：AC=EF：DF 也可以说也可以说AB：DE=BC：EF； AB：DE=AC：DF； BC：EF=AC：DF 推论的基本图形推论的基本图形:平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边 ( (或两边的延长线），
3、所得的对应线段成比例或两边的延长线），所得的对应线段成比例 例例3：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例对应成比例.(文字语言文字语言)已知:如图,DE/BC分别交AB、AC于点D、E.求证：(符号语言)CBADEF(图形语言)分析分析：由平行线分线段：由平行线分线段成比例定理的推论可直成比例定理的推论可直接得到接得到AD:AB=AE:AC.为了证明为了证明AE:AC=DE:BC，需要构造一组平行线，使需要构造一组平行线，使AE、AC、DE、BC成
4、为成为由这组平行线截得的线段由这组平行线截得的线段.故作故作EF/AB.证明：过点证明：过点E作作EF/AB,交交BC于点于点F,DE/BC, AD:AB=AE:AC.EF/AB, BF:BC=AE:AC.且四边形且四边形DEFB为平行四边形为平行四边形.DE=BF. DE:BC=AE:AC.CBADEG已知:如图,DE/BC分别交AB、AC于点D、E.求证：(图形语言)法2：为了证明 ，需用平行线分线段成比例定理.故作CG/AB,且与DE的延长线交于点G.证明:过点C作CG/AB,且与DE的延长线交于点G.DE/BC, AD:AB=AE:ACCG/AB, DE:DG=AE:AC四边形DEFB
5、为平行四边形， DG=BC.例例1：证明：证明：（平行于三角形一边的直线截其他两边，平行于三角形一边的直线截其他两边， 所得的对应线段成比例）所得的对应线段成比例）同理可得同理可得 :例例2 2：证明：证明：（平行于三角形的一边，并且和其他两边（平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。）角形三边对应成比例。） 例例3证明：证明：三角形内角平分线定理：三角形内角平分线定理：ABCD三角形外角平分线定理：三角形外角平分线定理：ABCDE三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边三角形内角平
6、分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。之比。已知：如图8-4甲所示，AD是ABC的内角BAC的平分线。求证：BA/AC=BD/DC;思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。证明1：过C作CEDA与BA的延长线交于E。则：BA/AE=BD/DC;BAD=AEC；（两线平行，同位角相等）CAD=ACE；（两线平行，内错角相等）BAD=CAD；（已知）AEC=ACE；（等量代换）AE=AC；BA/AC=BD/DC。结论1：该证法具有普遍的意义。思路2：利用面积法来证明。已知：如图8-4乙所示，AD是ABC的内角BAC的平分线。求证：BA/AC=BD/D
7、C证明2：过D作DEAB于E，DFAC于F；BAD=CAD；（已知）DE=DF；BA/AC=SBAD/SDAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）BD/DC=SBAD/SABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）BA/AC=BD/DC结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法，第四，你能想到用该定理解决问题吗？三角形外角平分线定理：三角形三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。线外分对边之比。三角形外角平分线定理：如果
8、三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例.已知：如图8-5甲所示，AD是ABC中BAC的外角CAF的平分线。求证：BA/AC=BD/DC思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。证明1：过C作CEDA与BA交于E。则：BA/AE=BD/DCDAF=CEA；（两线平行，同位角相等）DAC=ECA；（两线平行，内错角相等）DAF=DAC；（已知）CEA=ECA；（等量代换）AE=AC；BA/AC=BD/DC。结论1：该证法具有普遍的意义。角度看问题的方法了吗？思路2：利用面积法来证明。已知：如图8-5乙所示，AD是ABC内角BAC的外角CAF的平
9、分线。求证：BA/AC=BD/DC.证明2：过D作DEAC于E，DFBA的延长线于F；DAC=DAF；（已知）DE=DF；BA/AC=SBAD/DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）BD/DC=SBAD/DAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）BA/AC=BD/DC结论：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看BAD和DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为底，而高是同高，图中并没有画出来。你学会这种变换内角平分线性质定理证明证明：证明：ABDC外角平分线性质定理证明证明：证明：过C作AD的平行线交AB于点E。BDCDABAE，1AECCADACE1CADAECACEAEACBDCDABACEND
