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1、第五章第五章边界元法边界元法 1;.一、基本原理一、基本原理基本思想将微分方程的基本解化为将微分方程的基本解化为边界积分方程边界积分方程，将，将边界剖分边界剖分为有限个单元，在离散为有限个单元，在离散的区域边界上将边界积分方程化为的区域边界上将边界积分方程化为代数方程代数方程求解。求解。 边界元边界元 区域内满足控制方程，边界上近似满足边界条件区域内满足控制方程，边界上近似满足边界条件有限元、有限差有限元、有限差 区内近似满足控制方程，边界上满足边界条件区内近似满足控制方程，边界上满足边界条件2一、基本原理一、基本原理特点优点优点缺点缺点1、降低问题求解的空间维数、降低问题求解的空间维数2、计
2、算精度高、计算精度高3、适合处理无限域或半无限域问题、适合处理无限域或半无限域问题4、输入数据少，前处理简单、输入数据少，前处理简单1、系数矩阵不对称、系数矩阵不对称2、非均质问题、非线性问题处理、非均质问题、非线性问题处理较难较难3一、基本原理一、基本原理基本概念与公式 积分方程：积分方程： 含有对未知函数的积分运算的方程含有对未知函数的积分运算的方程例：第一类积分方程第二类积分方程4一、基本原理一、基本原理基本概念与公式 格林公式：格林公式： 平面上曲线积分和二重积分之间的关系式平面上曲线积分和二重积分之间的关系式5第一格林公式第二格林公式u，v互换6二、承压二维稳定流的边界元方法承压二维
3、稳定流的边界元方法数学模型： 建立边界积分方程建立边界积分方程 边界离散化边界离散化 建立边界元方程建立边界元方程 求解求解7二、承压二维稳定流的边界元方法承压二维稳定流的边界元方法建立边界积分方程：建立边界积分方程：若若u满足方程满足方程则解则解称为对应于方程（称为对应于方程（1）的基本解）的基本解给定微分方程：给定微分方程：（1）微分方程的基本解：微分方程的基本解：对于方程对于方程设设M、M0为渗流场内两点，其中为渗流场内两点，其中M0处存在点源，两点之间距离为处存在点源，两点之间距离为r。其基本解其基本解 满足方程：满足方程：物理意义：流场中一个点源在定解条件下对其它点的影响物理意义：流
4、场中一个点源在定解条件下对其它点的影响8二、承压二维稳定流的边界元方法承压二维稳定流的边界元方法建立边界积分方程：建立边界积分方程：设：设：H(x,y)为方程的解为方程的解DDM0由于由于M与与M0都在同一区域内，因此都在同一区域内，因此M与与M0可能重合，可能重合，则则r=0，G在在M0产生奇异性产生奇异性（1 1）M M0 0位于渗流区内部位于渗流区内部9边界积分方程的推导(1)(2)(3)(4)10边界积分方程的推导渗流区内水头积分表达式渗流区内水头积分表达式11二、承压二维稳定流的边界元方法承压二维稳定流的边界元方法建立边界积分方程：建立边界积分方程：（2）M0位于渗流区边界位于渗流区
5、边界DDM0边界积分方程边界积分方程12二、承压二维稳定流的边界元方法承压二维稳定流的边界元方法离散化：离散化：MnM1M2M5M3M4M6M7M9M8M10将渗流区边界划分为N小段直线段 、 边界元边界元点M1、M2 、结点结点13二、承压二维稳定流的边界元方法承压二维稳定流的边界元方法推导边界积分方程：推导边界积分方程：建立边界元方程：建立边界元方程：取边界上结点取边界上结点Mi作为基本点作为基本点M0 为了便于在直线段为了便于在直线段MjMj+1上进行线积分，上进行线积分，引入局部坐标系引入局部坐标系(,)MiM1M2M3MjMj+1轴轴平行于通过平行于通过MjMj+1两点的直线；两点的
6、直线； 正向指向正向指向Mj+1轴轴过过Mi点垂直于点垂直于轴；轴； 正向指向外法线方向正向指向外法线方向14边界元方程的推导假设任意边界段假设任意边界段M Mj jM Mj+1j+1上水头上水头H H及其法向导数及其法向导数 是线性变化的是线性变化的边界元方程边界元方程求渗流区内部任一点处水头值，可通过将边值代入公式：求渗流区内部任一点处水头值，可通过将边值代入公式：方程中含有各结点水头值方程中含有各结点水头值H Hj j和水力坡度值和水力坡度值15边界元方程例：若渗流区一类边界例：若渗流区一类边界n1n1个结点，二类边界个结点，二类边界n2n2个结点个结点关于边界元方程的未知数关于边界元方
7、程的未知数则：已知项则：已知项n1n1结点的水头值结点的水头值H Hj j，n2n2结点的水力坡度值结点的水力坡度值 未知项未知项n1n1结点的水力坡度值结点的水力坡度值 ，n2n2结点的水头值结点的水头值H Hj jMjMj+1关于积分的计算关于积分的计算1617边界元方程关于区内任一点水头值关于区内任一点水头值H H18二、承压二维稳定流的边界元方法承压二维稳定流的边界元方法数学模型格林公式边界积分方程离散化边界元方程（代数方程），求解所有边界结点水头或水力坡度渗流区内结点水头表达式19三、承压二维不稳定流的边界元方法承压二维不稳定流的边界元方法数学模型： 建立边界积分方程建立边界积分方程
8、 边界离散化边界离散化 建立边界元方程建立边界元方程 求解求解时间差分法Laplace变换法直接Green函数法20三、承压二维不稳定流的边界元方法承压二维不稳定流的边界元方法时间差分法：时间差分法：用差分近似代替偏导数：根据数理方程的基本知识可知：其解为：或或代入格林公式：21三、承压二维不稳定流的边界元方法承压二维不稳定流的边界元方法Laplace变换法：变换法：构造函数G对时间做变换对时间因子做拉式变化：进行数值反演：22Laplace变换定义：微分性质：积分性质：用于求解含时间的偏微分方程定解问题用于求解含时间的偏微分方程定解问题23四、非均质问题的处理四、非均质问题的处理将区域划分为
9、若干个区将区域划分为若干个区每个区内视为相对均质，有关参数为常每个区内视为相对均质，有关参数为常数数各区水头均应满足渗流方程各区水头均应满足渗流方程各分区内部边界上满足相容条件各分区内部边界上满足相容条件K1K2I区区II区区B2B1相容条件相容条件：沿沿两侧的水头应相等两侧的水头应相等从区域从区域I I流出的流量必然等于流入区域流出的流量必然等于流入区域IIII的流量的流量B1上有上有N1个结点个结点B2上有上有N2个结点个结点上有上有M个结点个结点方程数：方程数：I区：区：N1+MII区：区：N2+M总和：总和：N1+N2+2M未知数：未知数：B1：N1B2：N2：2M总和：总和：N1+N2+2M24
