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1、1电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22第四章 根轨迹法从前述章从前述章节可知，系可知，系统动态性能与性能与闭环极点在极点在S平面上的位平面上的位置密切相关。因此，在分析系置密切相关。因此，在分析系统性能性能时，需要定量研究系，需要定量研究系统的一个或者多个参量在一定范的一个或者多个参量在一定范围内内变化化时，系，系统闭环极点的极点的位置位置变化以及化以及对系系统性能的影响。性能的影响。 1948年，伊万斯（年，伊万斯（W.R.Evans）根据反）根据反馈系系统开、开、闭环传递函数之函数之间的内在的内在联系系,提出了直接由提出了直接由开开环传递函数函数寻求求闭环特特征根
2、征根（即（即闭环极点）极点）移移动轨迹的方法，建立了一套迹的方法，建立了一套绘制根制根轨迹的迹的规则，这就是被广泛就是被广泛应用的根用的根轨迹法。迹法。2电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22第四章 根轨迹法该方法可以方法可以简便、直便、直观地分析系地分析系统特征根与系特征根与系统参数之参数之间的的关系。适用于关系。适用于单闭环系系统，也可用于多，也可用于多闭环系系统。根根轨迹法作迹法作为经典控制理典控制理论的基本方法，与的基本方法，与频率特性法互率特性法互为补充，是分析和研究自充，是分析和研究自动控制系控制系统的有效工具。的有效工具。实际上，我上，我们可以利用可以利用
3、matlab方便地方便地绘制系制系统的根的根轨迹迹图。3电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22本章内容第一节第一节 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念第二节第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则第三节第三节 广义根轨迹广义根轨迹第四节 滞后系统的根轨迹第五节 利用根轨迹分析系统的性能第六节 用Matlab绘制系统的根轨迹4电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22第一节 根轨迹的基本概念对图4-14-1所示二所示二阶系系统，系，系统开开环传递函数函数为：图4-1，二阶系统系系统闭环传递函数函数为：闭环系统的特征根：5电气工
4、程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22第一节 根轨迹的基本概念 如果系统的开环增益开环增益K（根轨迹增益根轨迹增益K1）从0向变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制为曲线，如图4-2所示。这样获得的曲线称为K1从0向变化时系统的根轨迹根轨迹。闭环系统的特征根：K1s1s200-21-1-12-1+j-1-j-1+j-1-j6电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22 可可见，根，根轨迹迹图全面地描述全面地描述了参数了参数K K1 1对闭环特征根分布的影特征根分布的影响。响。 定义定义：当系统中某一参数：当系统中某一参数( (一一般以增益为变化参数般
5、以增益为变化参数) )发生变化发生变化时，系统闭环特征根在时，系统闭环特征根在s s平面上平面上描绘的曲线称系统的根轨迹。描绘的曲线称系统的根轨迹。 图4-2 二阶系统的根轨迹7电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22一般地，一般地，绘制系制系统根根轨迹迹时选择的可的可变参量可以是系参量可以是系统的任意参量。以系的任意参量。以系统根根轨迹增益迹增益K K1 1为可可变参量参量绘制制的根的根轨迹称迹称为常常规根根轨迹迹。以其它参数。以其它参数为变量量绘制的制的根根轨迹称迹称为参量根参量根轨迹迹。 8电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22利用根利用根轨
6、迹，可迹，可对系系统动态特性特性进行下述分析：行下述分析：（1）判断）判断该系系统在在K1从从0到到 变化化时的的稳定性；（定性；（稳）（2）判断系）判断系统在在K1从从0到到 变化化时根根轨迹的条数；迹的条数；（3）判断）判断该系系统在在K1取取值任何范任何范围时处于于过阻尼、阻尼、 临界阻尼界阻尼和欠阻尼状和欠阻尼状态； （4）判断系）判断系统的的“型型”，从而，从而计算系算系统稳态特性；（准）特性；（准） （5）当）当K1值确定后，在根确定后，在根轨迹上找到迹上找到闭环极点，从而极点，从而计算系算系统闭环性能指性能指标；或反之。；或反之。（快）（快） 9电气工程学院首页上页下页末页结束自
7、动控制理论2024/7/22第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、一、绘制根制根轨迹的基本条件迹的基本条件 讨论图4-3所示系所示系统 ，特征方程，特征方程为 1G(s)H(S)=0 或或 G(S)H(S)=-1 根据复数等式两根据复数等式两边的幅的幅值和相角和相角应分分别相等的原相等的原则，可得，可得绘制系制系统根根轨迹的基本条件，即：迹的基本条件，即： 幅幅值条件：条件： 相角条件：相角条件： 以上条件是判断复平面上某点是否以上条件是判断复平面上某点是否在系在系统根根轨迹上的充要条件。迹上的充要条件。 图4-3 系统方框图10电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/2
8、2系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即时间常数时间常数表达式表达式和和零极点表达式零极点表达式。（1）时间常数表达式：）时间常数表达式：（2）零极点表达式：此时幅值条件和相角条件分别为：此时幅值条件和相角条件分别为：11电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可以绘制根在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可以绘制根轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹增益轨迹增益K K1 1值。值。【例例4-1】单位反位反馈系系统的开的
9、开环传递函数函数为: 试检验S1=-1.5+j2.5是否是否为该系系统根根轨迹上的点；迹上的点；如果是，如果是，则确定与它相确定与它相对应的的K1值是多少。是多少。12电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22解解:（1）确定开）确定开环零、极点零、极点,并并标注到复平面上。注到复平面上。p1=0,p2=-2,p3=-6.6, z1=-4，（2）将）将s1坐坐标带入相角条件：入相角条件：满足相角条件足相角条件,S1=-1.5+j2.5是是该系系统根根轨迹上的点。迹上的点。试验点试验点S S1 1=-1.5+j2.5=-1.5+j2.513电气工程学院首页上页下页末页结束自动
10、控制理论2024/7/22本例本例说明的是一种明的是一种试探法探法绘制系制系统根根轨迹迹的例子的例子,十分十分烦琐。图4-4 例4-1图（3）利用幅）利用幅值条条件求得与件求得与S1相相对应的的K1值。14电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22二、绘制根轨迹的基本规则 规则1：根根轨迹的分支数和迹的分支数和对称性。称性。 根根轨迹的分支数等于特征方程的迹的分支数等于特征方程的阶数数n；根；根轨迹迹对称于称于实轴。 规则2：根根轨迹的起点与迹的起点与终点。点。 起始点：起始点： K1=0时的的闭环极点，即系极点，即系统的开的开环极点。极点。 起始点与起始点与终止点个数相等
11、，均止点个数相等，均为n； 终止点：（止点：（1）有限）有限值终止点：当止点：当K1时，有，有m条分支条分支趋向向开开环零点；零点； （2）无限）无限远终止点：当止点：当K1时， 有有n-m条分支条分支趋向无向无穷远处,需要确定其方位和走向。需要确定其方位和走向。 15电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22证明：由幅值条件证明：由幅值条件当当 时，只有时，只有 才能满足以上幅值条件，故才能满足以上幅值条件，故根轨迹必从开环极点根轨迹必从开环极点 出发。出发。当当 时，只有时，只有 才能满足以上幅才能满足以上幅值条件，故根轨迹必值条件，故根轨迹必 终止于开环零点终止于开环
12、零点 或无穷远处。或无穷远处。16电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22 规则3: 实轴上的根上的根轨迹。迹。 实轴上某上某线段右段右边的的实零点和零点和实极点极点总数数为奇数奇数时，这些些线段就是根段就是根轨迹的一部分。如迹的一部分。如图4-5所示。所示。 图4-5 实轴上的根轨迹证明证明：s1左边每个开环极点或零点左边每个开环极点或零点提供的相角为提供的相角为0， s1右边每个开环极右边每个开环极点或零点提供的相角为点或零点提供的相角为180，每对共轭极点和零点提供的相角之每对共轭极点和零点提供的相角之和为和为0或或360，互相抵消。，互相抵消。故，只有其右边开环零
13、点、极点的故，只有其右边开环零点、极点的总数为奇数的实轴线段才满足相角总数为奇数的实轴线段才满足相角条件。条件。17电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22 规则4:根根轨迹的迹的渐近近线。 当系当系统的根的根轨迹增益迹增益K1时，趋向无向无穷远处的根的根轨迹共有迹共有n-m条，它条，它们趋向无向无穷远处的方位可由的方位可由渐近近线决定。决定。（1）渐近近线与与实轴的的倾角角为：（2）渐近近线与与实轴的交点坐的交点坐标(称形心称形心)为：（证明略）18电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22【例例4- -2】解：解：无零点，只有一个极点无零点，只有一
14、个极点 故其根轨迹只有一条分支，故其根轨迹只有一条分支， 且就在实轴上，其根轨迹且就在实轴上，其根轨迹 如图如图4-64-6所示所示，画根轨迹。，画根轨迹。图4-6 例4-2的根轨迹图【例例4- -3】，画根轨迹。，画根轨迹。解：解：无零点，有两个极点无零点，有两个极点故其根轨迹有两条分支趋向无穷远，故其根轨迹有两条分支趋向无穷远，渐近线倾角：渐近线倾角：19电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点：其根轨迹如图其根轨迹如图4-74-7所示所示两条根轨迹分别从极点0、0.5出发，并汇合于-0.25（a点），然后分离，分别沿90，90的
15、渐近线趋向无穷远图4-7 例4-3的根轨迹图a20电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22用Matlab绘制根轨迹： n=1; d=conv(1,0,1,0.5); rlocus(n,d)图4-8 例4-3的根轨迹图Matlab绘制21电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22【例例4-4】设系系统的开的开环传递函数函数为：当当K1由由0变化到化到 时，试按一般步按一般步骤与与规则绘制其根制其根轨迹迹图。 解解: （1）本系）本系统为3阶系系统，有，有3条根条根轨迹；迹；（2）起始点：系）起始点：系统没有开没有开环零点，只有三个开零点，只有三个开环极点
16、，极点， 分分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。（3）渐近近线：K1时，有，有3条根条根轨迹迹趋向无向无穷远处，其，其渐近近线的的倾角角为： 渐近近线与与实轴的交点坐的交点坐标为 22电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22（4）实轴上的根上的根轨迹：在迹：在S平面平面实轴上上0，-1和和- ，-2线段段上存在根上存在根轨迹。迹。 根根轨迹草迹草图如如图4-8所示所示 其中一条从其中一条从p3=-2出出发，随着，随着K1的增加，沿着的增加，沿着负实轴趋向无向无穷远处。另两条分支分。另两条分支分别从从p1=0和和p2=-1出出发，沿着，沿着负实轴向向b点移点移动。图4-
17、9 例4-4的根轨迹图b b23电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22当当K1值达到某一数达到某一数值时,这两条两条分支相交于分支相交于实轴上的上的b点点,这时系系统处于于临界阻尼状界阻尼状态。 当当K1继续增大增大时,这两条分支两条分支离开离开负实轴分分别趋近近60o和和-60o的的渐近近线，向无，向无穷远处延伸延伸。在在KbK1Kc时,系系统处于欠于欠阻尼状阻尼状态,出出现衰减振衰减振荡。而当。而当K1Kc时,，系，系统成成为不不稳定定状状态。 图4-9 例4-4的根轨迹图b bc c24电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22用Matlab绘
18、制根轨迹： n=1; d=conv(1,1,1,2),0; rlocus(n,d)图4-10 例4-4的根轨图Matlab绘制25电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22规则5：根：根轨迹的分离点、会合点和分离角。迹的分离点、会合点和分离角。 几条根几条根轨迹在迹在s平面上相遇后又分开的点称平面上相遇后又分开的点称为根根轨迹的分离点迹的分离点（或会合点）。分离点在两极点之（或会合点）。分离点在两极点之间，会合点在两零点之，会合点在两零点之间。分离点分离点(会合点会合点)是是闭环特征方程的重根点，在特征方程的重根点，在 的的变化化过程程中，分离点中，分离点(会合点会合点)是
19、是 取得极大取得极大值或极小或极小值的点，的点， 在特征方程中，将在特征方程中，将 用用s及其各次及其各次幂的形式表达出来，再根的形式表达出来，再根据求极据求极值的方法的方法寻找分离点找分离点(会合点会合点)处的的s值，即分离点与会，即分离点与会合点必合点必须满足方程足方程: 上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为分离点或会合点，需要用相角条件分离点或会合点，需要用相角条件进行判断。分离点或行判断。分离点或会合点可能在会合点可能在s平面上任何一点平面上任何一点26电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22【例例4-5
20、】求例求例 4-4中分离点中分离点b的坐的坐标。 解：解：系系统的特征方程的特征方程为 推出：推出：由此得：由此得：解得：解得：s1=-0.42,s2=-1.58，即此两点，即此两点为可能的分离点，又知分离可能的分离点，又知分离点在点在0至至1之之间的的线段上，故段上，故s1=-0.42为分离点分离点b的坐的坐标。分离角：分离角：根根轨迹离开重根点迹离开重根点处的切的切线与与实轴正方向的正方向的夹角被称角被称为分离角分离角,其其计算公式算公式为： r为分离点处根轨迹的分支数27电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论求解重根点（分离点、汇合点）的另一种方法：2024/7/22同同样，该解仍
21、然是必要条件，是否确解仍然是必要条件，是否确实为分离点或会合分离点或会合点，需要用相角条件点，需要用相角条件进行判断。行判断。28电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22对于例4-529电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22规则6：根：根轨迹的出射角和入射角。迹的出射角和入射角。 根根轨迹从开迹从开环复数极点出复数极点出发的角度（出射点的切的角度（出射点的切线与与实轴正正方向的方向的夹角）称角）称为出射角；出射角； 进入开入开环复数零点的角度（入射点的切复数零点的角度（入射点的切线与与实轴正方向的正方向的夹角）称角）称为入射角。入射角。 (出射角出
22、射角对应于复极点，入射角于复极点，入射角对应于复零点于复零点)。出射角：出射角：入射角：入射角：30电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22其中：其中： 为其它开其它开环零点、极点零点、极点对出射点或入射点提供的相角，出射点或入射点提供的相角，即：即：说明：如明：如图4-11所示所示为已知系已知系统开开环零、极点分布，可零、极点分布，可说明出射明出射角的求取。角的求取。在根在根轨迹上靠近起点迹上靠近起点P1较近近处取一点取一点S1,显然然满足相角条件，有足相角条件，有31电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22当当S S1 1无限趋近于无限趋近于P
23、P1 1点时，点时， 即为即为P P1 1点的出射角点的出射角 ，一般情，一般情况下，开环复数极点况下，开环复数极点P Pk k的出射的出射角为：角为：图4-11 出射角的确定32电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22用同样的方法可以确入射角用同样的方法可以确入射角33电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22规则7：根：根轨迹与虚迹与虚轴的交点。的交点。在根轨迹与虚轴的交点处，存在系统的纯虚根，实际上是系统的临界稳定点。通常用以下两种根轨迹与虚轴交点。（1）复数相等方法（2）劳斯判据法34电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/2
24、2【例4-6】已知系统开环传递函数如下： 试求系统根轨迹与虚轴的交点。 解：解：35电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/2236电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22规则8（补充）充）：闭环极点的和与极点的和与积。根据代数方程的根与系数的关系根据代数方程的根与系数的关系 闭环极点之和：极点之和： 闭环极点之极点之积：为系统特征方程的系数为系统特征方程的系数37电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22特特别地，当地，当n-m 2时，有，有: 即即闭环极点之和等于开极点之和等于开环极点之和极点之和。 这些表明在开些表明在开环极点确
25、定的情况下，随着极点确定的情况下，随着K1的的变化，若有一化，若有一些些闭环特征根增大，特征根增大，则另一些特征根必然减小。即一些根另一些特征根必然减小。即一些根轨迹右行迹右行时，另一些根，另一些根轨迹必左行。迹必左行。38电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22【例例4-7】已知与开已知与开环传递函数函数为 其根其根轨迹与虚迹与虚轴的交点的交点为s1,2= j1.414,试求交点求交点处的的临界界K1值及第三个特征根。及第三个特征根。解：系解：系统的特征方程的特征方程为： 由由闭环极点之和公式易得极点之和公式易得 s1+s2+s3=j1.414-j1.414+s3=-a
26、1=-3,所以：所以：s3=-3 由由闭环极点之极点之积公式易得公式易得 s1s2s3=an=K1=639电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22【例例4-8】已知反已知反馈控制系控制系统的开的开环传递函数函数为： 试绘制制K1变化化时的根的根轨迹。迹。解：按以下步解：按以下步骤绘制系制系统的根的根轨迹：迹：（1）开）开环极点极点为p1=0，p2=-3， p1=-1 j,无开无开环零点；零点；（2）根）根轨迹分支数迹分支数n=4条；条；（3）在）在实轴上上-3，0之之间为根根轨迹段；迹段；（4）渐近近线,n-m=4条：条：40电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2
27、024/7/22（5）由特征方程求分离点）由特征方程求分离点 利用根利用根轨迹的幅迹的幅值条件可求得条件可求得对应于分离点于分离点s1=-2.3的的K1值为4.33。（6）求出射角）求出射角根据根据对称性可知：称性可知： p4 =71.6 解得解得s1=-2.3，s2,3=0.725 j0.365。经检验s1为分离点分离点。分离分离角角为 90o。 41电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22（7）求根）求根轨迹与虚迹与虚轴的交点。的交点。 由特征方程由特征方程 并列出并列出劳斯表：斯表：令令劳斯表中斯表中S1行的首行的首项为零，求得零，求得 K1=8.16。根据表中根据
28、表中S2行的系数写出行的系数写出辅助方程助方程: 令令s=j ，K1=8.16代入上式，求得代入上式，求得 = 1.1。根。根轨迹的两条分支迹的两条分支与虚与虚轴交于交于 = j1.1处对应的的K1=8.16。42电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22图图4-12 4-12 例例4-84-8的根轨迹图的根轨迹图最后，得到系统的最后，得到系统的根轨迹如图根轨迹如图4-104-10所所示示-2.3-2.3-1.25-1.25j0.7j0.7-0.4-0.4j1.1j1.1绘制的根轨迹图如下：43电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22用Matlab绘制
29、根轨迹： n=1; d=conv(1,3,1,2,2),0; g=tf(n,d); rlocus(g)图图4-13 4-13 例例4-84-8的根轨迹图的根轨迹图MatlabMatlab绘制绘制44电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论在绘制过程中，切忌“想当然”，即便是零、极点的相对位置不变，数值大小的变化也会影响根轨迹的形状。请看下例：2024/7/2245电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/2246电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论绘制根轨迹的大概步骤2024/7/2247电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/2248电气工程学院
30、首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/2249电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论四、利用根轨迹分析系统性能1、暂态性能分析2024/7/2250电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/2251电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/222、增加开环零点： 增加合适的开环零点使根轨迹向s平面左方弯曲或移动，可以减小系统的超调量和调整时间，改善系统的稳定性和快速性。 如果选择不合适，则于系统性能改善无益。 一般先根据性能指标要求确定闭环极点的位置，再选择增加合适的开环零点52电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22例、设二
31、阶系统的开环传函为：增加零点后的传函为：分析其性能的变化解：变化前的根轨迹如右图，当增益K1大于0.25以后，根轨迹沿着与虚轴距离0.5的一条平行线向上向下移动。无论怎样选择增益K1，闭环极点离虚轴的距离都较近，影响系统的快速性（调整时间）53电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22增加零点z=-2，根轨迹向左弯曲，选择合适的K1，如图中的s2，即可使闭环极点离虚轴有一定的距离保证快速性，又可以使 角较小（ 较大），以降低超调量54电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22增加零点z=-0.5，无论如何选择的K1，闭环极点总是两个实极点，主导极点离虚轴
32、的距离在0-0.5之间，使得系统的调节时间不可能缩短。55电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/223、增加开环极点： 增加开环极点使根轨迹向s平面右方弯曲或移动，所增加的极点的模值越小，即离虚轴越近，根轨迹向s平面右方弯曲或移动越明显，对系统的稳定性影响越大。例、设二阶系统的开环传函为：分别增加极点-6，-2和-0.5，分析系统性能变化56电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22p=-6p=-6原系统原系统曲线右移，平稳性变差57电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/22p=-2p=-2p=-0.5p=-0.5曲线继续右移，平稳性进一步变差曲线继续右移，增益达到一定程度系统不稳定58电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论4、稳态性能分析 在闭环极点位置一定的情况下，适当配置闭环零点，可对系统的稳态误差产生有利影响2024/7/2259电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论2024/7/2260电气工程学院首页上页下页末页结束自动控制理论作业：4-34-42024/7/22
