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1、PiPi的计算的计算 1.Pi1.Pi计算计算（古典方法与级数逼近）（古典方法与级数逼近）2.2.数值积分数值积分梯形方法梯形方法3.3.数值积分数值积分抛物线方法抛物线方法4.4.数值微分数值微分数学实验1 1、PiPi的计算古典方法的计算古典方法 (17世纪以前世纪以前) 通过圆内接正多边形和圆外切正多边形来夹逼通过圆内接正多边形和圆外切正多边形来夹逼.早在早在15001500年前的南朝宋齐时期，我国古代数学家年前的南朝宋齐时期，我国古代数学家祖冲之祖冲之就用就用古典方法给出了应介于古典方法给出了应介于3.14159263.1415926和和3.14159273.1415927之间的结果之
2、间的结果. 由于古典方法计算十分繁琐，费时费劲，改进速度慢，因由于古典方法计算十分繁琐，费时费劲，改进速度慢，因此有不少致力于计算的人，获得的小数点后十几位最多几十此有不少致力于计算的人，获得的小数点后十几位最多几十位的精度位的精度（最好记录（最好记录3939位位,1630 德国格林伯格德国格林伯格）。数学实验2 2、PiPi的计算级数逼近的计算级数逼近 从从17世纪中叶开始，微积分方法开始诞生，人们逐步掌握了世纪中叶开始，微积分方法开始诞生，人们逐步掌握了解决一些实际问题的分析方法和有用工具。解决一些实际问题的分析方法和有用工具。 数学实验clear;k=0;r=1;p=0;K=-1;whi
3、le r=1.0e-5 k=k+1; K=K*(-1); p1=p+K/(2*k-1); r=abs(4*(p1-p); fprintf(k=%.0f,p=%.6fn,k,4*p); p=p1;endMATLAB程序程序数学实验改进算法：改进算法：数学实验clear;k=0;r=1;p=0;K=-1;m=1;n=1;while r=1.0e-5 k=k+1; K=K*(-1); m=4*m;n=9*n; p1=p+K/(2*k-1)*(2/m+3/n); r=abs(4*(p1-p); fprintf(k=%.0f,p=%.8fn,k,4*p); p=p1;endMATLAB程序程序数学实验改
4、进算法：改进算法：麦琴（麦琴（Machin）公式：）公式：数学实验clear;k=0;r=1;p=0;K=-1;m=1;n=1;while r=1.0e-5 k=k+1; K=K*(-1); m=25*m;n=239*239*n; p1=p+K/(2*k-1)*(20/m-239/n); r=abs(4*(p1-p); fprintf(k=%.0f,p=%.8fn,k,4*p); p=p1;endMATLAB程序程序数学实验3 3、PiPi的定积分计算的定积分计算 ，数学实验定积分的近似计算定积分的近似计算在高等数学中有一类积不出的积分，如在高等数学中有一类积不出的积分，如（概率积分）（概率积
5、分） （椭圆积分）（椭圆积分）数学实验输入：输入： x=0:0.1:1; y=inline(exp(-x.2); y= exp(-x.2); quad(y,0,1) trapz(x,y)输出：输出： ans = 0.746211 ans = 0.746826 MATLAB命令命令梯形方法梯形方法 trapz(x,y) 抛物线方法抛物线方法quad(f,a,b)如如求积分的近似值求积分的近似值数学实验 梯形方法梯形方法分析：分析：条件：条件：当区间划分为当区间划分为n n等分时等分时trapz(x,y)数学实验复化梯形方法复化梯形方法当区间等距划分为当区间等距划分为n n个子区间时个子区间时现对
6、每个子区间再二等分，得到现对每个子区间再二等分，得到2n2n个子区间个子区间数学实验举例举例求求PiPi的近似值的近似值. .取取运用复化梯形算法运用复化梯形算法数学实验输入初值：输出结果：STOPNoYesclear;a=0;b=1;f=inline(4/(1+x*x);t1=(b-a)/2*(f(a)+f(b);er=1;n=1;while er1.0e-6 h=(b-a)/n; s=0; for i=1:n s=s+f(a+i*h-h/2); end t2=(t1+h*s)/2; er=abs(t2-t1); fprintf(t=%.6f,r=%.6fn,t2,er); n=2*n; t
7、1=t2;end数学实验抛物线方法抛物线方法分析：分析：条件：条件： 梯形法梯形法是对每个子区间用梯形是对每个子区间用梯形面积近似曲线下面积累加而成；面积近似曲线下面积累加而成；而而抛物线法抛物线法是对每个子区间考虑是对每个子区间考虑其中点，用三点决定的抛物线下其中点，用三点决定的抛物线下面积来近似面积来近似. .数学实验当区间划分为当区间划分为n(n1)n(n1)等分时等分时辛浦生辛浦生(Simpson)方法方法数学实验clear;a=0;b=1;f=inline(4/(1+x*x);t1=(b-a)/2*(f(a)+f(b);er=1;s1=0;n=1;while er1.0e-6 h=(b-a)/n; s=0; for i=1:n s=s+f(a+i*h-h/2); end t2=(t1+h*s)/2; s=t2+(t2-t1)/3; er=abs(s-s1); fprintf(s=%.6f,r=%.6fn,s,er); s=s1; n=2*n; t1=t2;end数学实验
