5.5特殊的平行四边形试题部分.pptx

《5.5特殊的平行四边形试题部分.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《5.5特殊的平行四边形试题部分.pptx（144页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、5.5特殊的平行四边形中考数学中考数学 (河北专用)A A组组 2014-2018 2014-2018年年河北河北中考题组中考题组五年中考1.(2017河北,9,3分)求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:ACBD.以下是排乱的证明过程:又BO=DO,AOBD,即ACBD.四边形ABCD是菱形,AB=AD.证明步骤正确的顺序是()A.B.C.D.答案答案B证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD,又BO=DO,AOBD,即ACBD.所以证明步骤正确的顺序是,故选B.2.(2016河北,6,3分)关于ABCD的叙述,正确的是()A.若AB

2、BC,则ABCD是菱形B.若ACBD,则ABCD是正方形C.若AC=BD,则ABCD是矩形D.若AB=AD,则ABCD是正方形答案答案C若ABBC,则ABCD是矩形,不是菱形,选项A不正确;若ACBD,则ABCD是菱形,不一定是正方形,选项B不正确;若AC=BD,则ABCD是矩形,选项C正确;若AB=AD,则ABCD是菱形,但不一定是正方形,选项D不正确.思路分析思路分析由菱形、矩形、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误,C正确.解题关键解题关键本题考查特殊平行四边形的判定方法,熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解题的关键.3.(2015河北,16,2分)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,

3、将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则 ()A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以C.甲不可以,乙可以D.甲可以,乙不可以答案答案A将甲纸片拼成如图1所示的正方形,其面积与原来矩形的面积相等,将乙纸片拼成如图2所示的正方形,其面积与原来矩形的面积相等,故选A.图1图2思路分析思路分析根据图形可得题图甲中的图形可以拼成一个边长为的正方形,题图乙中的图形可以拼一个边长为的正方形.解题关键解题关键本题考查了图形的剪拼,解答本题的关键是根据题意作出图形.4.(2014河北,8,3分)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n()A.2B.3C.

4、4D.5答案答案A若n=2,则只能沿矩形的对角线剪开,这样每个三角形的三边长分别为1,2,显然不能拼成面积为2的正方形,故选A.5.(2014河北,23,11分)如图,ABC中,AB=AC,BAC=40,将ABC绕点A按逆时针方向旋转100得到ADE,连接BD,CE交于点F.(1)求证:ABDACE;(2)求ACE的度数;(3)求证:四边形ABFE是菱形.解析解析(1)证明:如图,由旋转可知AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=100.AB=AC,AD=AE.ABDACE.(4分)(2)AC=AE,CAE=100,2=3=40,即ACE=40.(7分)(3)证明:1=2=40,ABCE.同样

5、有4=5,则AEBD.四边形ABFE为平行四边形.(9分)AB=AD,AD=AE,AB=AE.(10分)四边形ABFE为菱形.(11分)思路分析思路分析(1)根据旋转可知AB=AD,AC=AE,BAD=CAE,由AB=AC得AD=AE,然后利用“边角边”证明ABD和ACE全等.(2)根据AC=AE,CAE=100,得ACE=AEC=40.(3)根据定义,可证得四边形ABFE是平行四边形,然后依据邻边相等的平行四边形是菱形,即可得证.评析评析此题考查全等三角形的判定,等腰三角形的性质以及菱形的判定.B B组组2014201420182018年全国中考题组年全国中考题组考点一考点一菱形的性质与判定

6、菱形的性质与判定1.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是()A.AB=EFB.AB=EFC.AB=2EFD.AB=EF答案答案D如图,连接AC、BD交于O,四边形ABCD是菱形,ACBD,OA=OC,OB=OD,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,EF=AC,EH=BD,EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA,AB=OA,易知OA=EF,AB=EF,故选D.思路分析思路分析首先根据菱形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位

7、线定理得出EF=AC,EH=BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB=OA,即得AB=EF.2.(2017湖南长沙,10,3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,则这个菱形的周长为()A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm答案答案D根据菱形的对角线互相垂直平分,可知OA=3cm,OB=4cm,且OAOB,在RtAOB中,根据勾股定理可得AB=5cm,所以菱形ABCD的边长为5cm,所以菱形ABCD的周长为45=20cm.方法总结方法总结已知菱形两条对角线的长求菱形的周长时,利用菱形的对角线互相垂直平分,并结合勾股定理即可求解.3.(2017河南,

8、7,3分)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件判定ABCD是菱形的只有()A.ACBDB.AB=BCC.AC=BDD.1=2答案答案C根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得选项A正确;根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得选项B正确;对角线相等的平行四边形为矩形,故选项C错误;因为CDAB,所以2=DCA,再由1=2,可得1=DCA,所以AD=CD,由一组邻边相等的平行四边形是菱形,得ABCD是菱形,D正确.故选C.4.(2015甘肃兰州,10,4分)如图,菱形ABCD中,AB=4,B=60,AEBC,AFCD,垂足分别为E,F,连接EF,则AEF的面积是()A.4B

9、.3C.2D.答案答案B连接AC,在菱形ABCD中,AB=BC,B=60,ABC是等边三角形,AEBC,AE=2,EAC=30,同理可得AF=2,CAF=30,则EAF为等边三角形,SAEF=(2)2=3.故选B.5.(2016江苏南京,16,2分)如图,菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为cm.答案答案13解析解析连接BE,EF,FD,AC,菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,B,E,F,D在同一条直线上,S正方形AECF=ACEF=AC2=50cm2,AC=10cm,S菱形ABCD=ACBD=120cm2,BD=24cm.设AC

10、,BD的交点为O,由菱形的性质可得ACBD,AO=5cm,OB=12cm,AB=13cm.评析评析本题考查了四边形的综合问题,熟悉正方形和菱形的性质,会用勾股定理求线段的长度是解题的关键,属中档题.6.(2016浙江杭州,14,4分)在菱形ABCD中,A=30,在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为120的等腰三角形BDE,则EBC的度数为.答案答案45或105解析解析根据题意,知点E所在位置有两种可能,在DB的左边或右边,如图.在菱形ABCD中,A=30,ADC=ABC=150,BD平分ADC,ABC,ADB=ABD=CDB=CBD=75,又以DB为底边的等腰三角形DBE的顶角DEB=12

11、0,EDB=EBD=30,EBC=75-30=45或EBC=30+75=105.评析评析本题考查菱形的有关性质和等腰三角形的性质,以及分类讨论思想.7.(2014江西,13,3分)如图,是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90,180,270后形成的图形.若BAD=60,AB=2,则图中阴影部分的面积为.答案答案12-4解析解析连接OB,OA,作AEOB,可得BOA=45,EAO=45,进而可得AE=,BE=1,OE=AE=,所以SOAD=SOAB-SABD=,所以S阴影=8SOAD=12-4.8.(2018北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线A

12、C,BD交于点O,AC平分BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的长.解析解析(1)证明:ABCD,OAB=DCA.AC平分BAD,OAB=DAC,DCA=DAC,CD=AD.又AB=AD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形.又CD=AD=AB,四边形ABCD为菱形.(2)四边形ABCD为菱形,OA=OC,BDAC.CEAE,OE=AO=OC.BD=2,OB=BD=1.在RtAOB中,AB=,OB=1,OA=2,OE=2.9.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,

13、AD=2BC,ABD=90,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.解析解析(1)证明:E为AD的中点,AD=2ED.AD=2BC,ED=BC.ADBC,四边形BCDE为平行四边形.又在ABD中,E为AD的中点,ABD=90,BE=ED,BCDE为菱形.(2)设AC与BE交于点H,如图.ADBC,DAC=ACB.AC平分BAD,BAC=DAC,BAC=ACB,BA=BC,由(1)可知,BE=AE=BC,AB=BE=AE,ABE为等边三角形,BAC=30,ACBE,AH=CH.在RtABH中,AH=ABcosBAH=,A

14、C=2AH=.10.(2015江西南昌,20,8分)(1)如图1,纸片ABCD中,AD=5,SABCD=15.过点A作AEBC,垂足为E,沿AE剪下ABE,将它平移至DCE的位置,拼成四边形AEED,则四边形AEED的形状为()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图2,在(1)中的四边形纸片AEED中,在EE上取一点F,使EF=4,剪下AEF,将它平移至DEF的位置,拼成四边形AFFD.求证:四边形AFFD是菱形;求四边形AFFD的两条对角线的长.解析解析(1)C.(2分)(2)证明:AD=5,SABCD=15,AE=3.又在题图2中,EF=4,在RtAEF中,AF=5.AF=AD

15、=5.又由AEF平移得到DEF,AFDF,AF=DF,四边形AFFD是平行四边形.又AF=AD,四边形AFFD是菱形.(5分)如图,连接AF,DF.在RtDEF中,EF=EE-EF=5-4=1,DE=3,DF=.(6分)在RtAEF中,EF=EE+EF=5+4=9,AE=3,AF=3.(8分)考点二考点二矩形的性质与判定矩形的性质与判定1.(2017甘肃兰州,8,4分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30,AB=4,则OC=()A.5B.4C.3.5D.3答案答案B因为四边形ABCD为矩形,所以AC=BD,OC=AC.已知ADB=30,故在直角三角形ABD中,BD=2A

16、B=8,所以AC=8,所以OC=AC=4,故选B.2.(2016四川南充,8,3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后DAG的大小为()A.30B.45C.60D.75答案答案C如图,根据第二次折叠可知,1=2,MGA=90,由第一次折叠可知,MN=AN,即NG是RtAMG的中线,故AN=GN,所以2=3.又EFAB,所以3=4,故1=2=4,又因为1+2+4=90,所以1=2=4=30,所以1+2=DAG=60,故选C.3.(2017黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在矩形ABCD中,M为BC边

17、上一点,连接AM,过点D作DEAM,垂足为E,若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为.答案答案解析解析BAM+EAD=90,EAD+EDA=90,BAM=EDA.又B=AED=90,ADEMAB.=,即=.AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x0),则BM=2x,在RtABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,解得x=(舍负),BM=2x=.4.(2018北京,13,2分)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为.答案答案解析解析四边形ABCD是矩形,ABCD,CD=AB=4,BC=AD=3,

18、DCA=CAB,又DFC=AFE,CDFAEF,=.E是边AB的中点,AB=4,AE=2.BC=3,AB=4,ABC=90,AC=5.=,CF=.5.(2018吉林,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DEAC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作DEF=A,另一边EF交AC于点F.(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;(2)当点D为AB中点时,ADEF的形状为;(3)延长图中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图.若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明理由.解析解析(1)证明:DEAC,DEF=EFC.DEF=A,A=EFC.EFAB.四边

19、形ADEF为平行四边形.(2分)(2)菱形.(4分)(3)结论:四边形AEGF为矩形.(5分)理由:由(1)知,四边形ADEF为平行四边形.AF DE,AD=EF,EG=ED,AF EG.四边形AEGF是平行四边形.(6分)AD=AG,AG=EF.(7分)四边形AEGF为矩形.(8分)评分说明:第(3)题,证明过程正确,但前面不先写出结论的不扣分.思路分析思路分析(1)根据平行四边形的定义进行判定;(2)由D为AB的中点,结合(1)知DE=AC,又AD=AB,DE=AD,ADEF为菱形;(3)利用(1)的结论先证明四边形AEGF为平行四边形,再证AG=EF即可.6.(2017广西南宁,22,8

20、分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,COD=60,求矩形ABCD的面积.解析解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,OA=OC,OB=OD,BE=DF,OE=OF,AOE=COF,AOECOF(SAS),(3分)AE=CF.(4分)(2)四边形ABCD为矩形,BCD=90,AB=CD=6,OD=OC.(5分)COD=60,OCD为等边三角形,OD=OC=CD=6,BD=2OD=12.(6分)在RtBCD中,BC2+DC2=BD2,BC=6.(7分)S矩形ABCD=BCCD=66=36.(8分)思路分析思路分析

21、(1)证AOECOF,可得AE=CF;(2)要求矩形ABCD的面积,只要求BC即可,因为四边形ABCD是矩形,COD=60,所以OCD是等边三角形,从而得出OD=6,故BD=12,再利用勾股定理即可求出BC.7.(2015北京,22,5分)在ABCD中,过点D作DEAB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分DAB.证明证明(1)在ABCD中,ABCD,DF=BE,四边形BFDE为平行四边形.DEAB,DEB=90.四边形BFDE是矩形.(2)由(1)可得,BFC=90.在RtBFC中,由勾股定理

22、可得BC=5.AD=BC=5.AD=DF.DAF=DFA.ABCD,DFA=FAB.DAF=FAB.AF平分DAB.考点三考点三正方形的性质与判定正方形的性质与判定1.(2017广东,10,3分)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF.下列结论:SABF=SADF;SCDF=4SCEF;SADF=2SCEF;SADF=2SCDF,其中正确的是()A.B.C.D.答案答案CAB=AD,BAF=DAF,AF=AF,ABFADF,SABF=SADF,正确;同理,SCDF=SCBF,点E为BC边的中点,SCBF=2SCEF,即SCDF=2SCEF,不正确;ADEC

23、,FAD=FCE,FDA=FEC,又AFD=CFE,AFDCFE,=2,=22=4,SAFD=4SCFE,不正确;=2,=2,SADF=2SCDF,正确.故选C.方法规律方法规律探索两个三角形面积的数量关系,主要的方法是从三角形全等、三角形相似等入手.2.(2016陕西,8,3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M、N,则的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对答案答案C易知ABDCBD,MONMON,DONBON,DOMBOM,故选C.3.(2016广东,5,3分)如图,正方形ABCD的面积为

24、1,则以相邻两边中点连接EF为边的正方形E-FGH的周长为()A.B.2C.+1D.2+1答案答案B易知正方形ABCD的边长为1,连接BD,由勾股定理,得BD=,因为E、F分别为BC、DC的中点,所以EF=,所以正方形EFGH的周长为2.故选B.4.(2018湖北武汉,14,3分)以正方形ABCD的边AD作等边ADE,则BEC的度数是.答案答案30或150解析解析当点E在正方形ABCD外时,如图,四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形,AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60,BAE=150,AEB=ABE=15,同理可得DCE=DEC=15,则BEC=AED-AEB-DEC=

25、30.当点E在正方形ABCD内时,如图,四边形ABCD为正方形,ADE为等边三角形,AB=AD=AE,BAD=90,AED=DAE=60,BAE=30,AEB=ABE=75,同理可得DCE=DEC=75,则BEC=360-AED-AEB-DEC=150.综上,BEC=30或150.解题关键解题关键熟记正方形的性质、等边三角形的性质并准确作图是解题的关键.易错警示易错警示此题没有给出图形,需按点E的位置分类讨论,学生往往只画出点E在正方形外而导致漏解.5.(2016天津,17,3分)如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形

26、MNPQ和AEFG均为正方形,则的值等于.答案答案解析解析由题意易得DQ=PQ=QM=MN=MB=AB,DG=GF=GA=AE=BE=AB.S正方形MNPQ=MN2=AB2,S正方形AEFG=AE2=AB2,=.6.(2015吉林长春,13,3分)如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为.答案答案5解析解析四边形ABCD是正方形,AB=BC,C=90.ABE的面积为8,ABBC=8,AB2=8,AB=4,BC=AB=4.CE=3,BE=5.7.(2014黑龙江哈尔滨,19,3分)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,点E在AB边上,EFAC于点F,

27、连接EC,AF=3,EFC的周长为12,则EC的长为.答案答案5解析解析设正方形ABCD的边长为x,AC是正方形ABCD的对角线,BAC=45.EFAC,EF=AF=3,AE=3.EFC的周长为12,EC=12-x.BE=AB-AE=x-3,EC=,=12-x,解得x=.EC=12-=5.8.(2017陕西,19,7分)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF、CE交于点G.求证:AG=CG.证明证明四边形ABCD是正方形,ADF=CDE=90,AD=CD.AE=CF,DE=DF.(2分)ADFCDE.DAF=DCE.(4分)又AGE=CGF,AE=CF

28、,AGECGF,AG=CG.(7分)9.(2017上海,23,12分)已知:如图,四边形ABCD中,ADBC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如果BE=BC,且CBEBCE=23,求证:四边形ABCD是正方形.证明证明(1)在ADE和CDE中,ADECDE(SSS).ADE=CDE.ADBC,ADE=CBD,CBD=CDE,BC=CD,AD=BC,四边形ABCD为平行四边形.又AD=CD,四边形ABCD为菱形.(2)CBEBCE=23,设CBE=2x,BCE=3x,BE=BC,BEC=BCE=3x,2x+3x+3x=180,x=22.5,

29、CBE=45.ADB=CDB=CBE,ADC=90.四边形ABCD为菱形,四边形ABCD为正方形.思路分析思路分析(1)先证四边形ABCD为平行四边形,再由一组邻边相等,便可证得四边形ABCD为菱形.(2)证菱形ABCD的一角为直角,便可证得菱形ABCD为正方形.10.(2016浙江杭州,21,10分)如图,已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DC上,点A,D,G在同一条直线上,且AD=3,DE=1.连接AC,CG,AE,并延长AE交CG于点H.(1)求sinEAC的值;(2)求线段AH的长.解析解析(1)由题意知EC=2,AE=.过点E作EMAC于点M,所以EMC=90,易

30、知ACD=45,所以EMC是等腰直角三角形,所以EM=,所以sinEAC=.(2)在GDC与EDA中,所以GDCEDA,所以GCD=EAD,又因为HEC=DEA,所以EHC=EDA=90,所以AHGC.因为SAGC=AGDC=GCAH,所以43=AH,所以AH=.评析评析本题是正方形与三角形的综合题.涉及等腰直角三角形和三角函数,全等三角形的判定与性质,以及利用等积法求线段的长度.C C组教师专用题组组教师专用题组考点一考点一菱形的性质与判定菱形的性质与判定1.(2018贵州贵阳,5,3分)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EFCB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为(

31、)A.24B.18C.12D.9答案答案AE是AC的中点,AC=2AE.EFCB,=2,BC=2EF=6,菱形ABCD的周长为64=24.故选A.2.(2017江苏苏州,10,3分)如图,在菱形ABCD中,A=60,AD=8,F是AB的中点.过点F作FEAD,垂足为E.将AEF沿点A到点B的方向平移,得到AEF.设P、P分别是EF、EF的中点,当点A与点B重合时,四边形PPCD的面积为()A.28B.24C.32D.32-8答案答案A如图,分别过E、P、D点作ENAB,PGAB,DHAB,垂足分别为N,G,H,DH交PP于点M.在菱形ABCD中,AD=8,A=60,F是AB的中点,AF=4=A

32、H,DH=4,FEAD,AEF=90.AE=2,EN=,PGAB,ENAB,PGEN,又P是EF的中点,PG=EN=.将AEF平移得到AEF,PP AB,PP DC,四边形PPCD是平行四边形,DM=DH-PG=.S四边形PPCD=8=28.故选A.解题关键解题关键本题有一定的难度,考查了平移、菱形的性质,以及三角形中位线的运用,在解题的过程中应用特殊角的三角函数值求线段的长度是解决本题的关键.3.(2017江西,6,3分)如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中的是(

33、)A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形B.当E,F,G,H是各边中点,且ACBD时,四边形EFGH为矩形C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形答案答案D连接AC,BD.当E,F,G,H是各边中点时,由三角形中位线定理可得EFAC且EF=AC,GHAC且GH=AC,所以EFGH且EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形.当AC=BD时,因为EF=AC,EH=BD,所以EF=EH,所以四边形EFGH为菱形,选项A正确;当ACBD时,因为EFAC,EHBD,所以EFEH,所以四

34、边形EFGH为矩形,选项B正确;当E,F,G,H不是各边中点时,若=,=,则GHAC,EFAC,所以GHEF.因为=,所以EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形,选项C正确;例如,当E,F,G,H不是各边中点,且=,BD=2AC时,由上述可知四边形EFGH为平行四边形,所以=,=,即=,所以=,即EF=EH,所以四边形EFGH为菱形,选项D错误.综上,选D.4.(2015福建龙岩,10,4分)如图,菱形ABCD的周长为16,ABC=120,则AC的长为()A.4B.4C.2D.2答案答案A设AC与BD相交于点O,四边形ABCD是菱形,且其周长为16,ABC=120,AB=4,ACBD,AC

35、=2AO,ABO=60,则在RtABO中,AO=ABsin60=2,AC=4,故选A.5.(2014山东烟台,6,3分)如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若DAC=28,则OBC的度数为()A.28B.52C.62D.72答案答案CAOM=CON,MAO=NCO,AM=CN,AOMCON,AO=CO,点O是菱形ABCD对角线的交点,BOAC,OBC=90-BCO=90-DAC=90-28=62.6.(2016陕西,14,3分)如图,在菱形ABCD中,ABC=60,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以点P、B、C为顶点的三角形

36、是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为.答案答案2-2解析解析当等腰PBC以PBC为顶角时,点P在以B为圆心,BC为半径的圆弧上.连接AC、BD相交于点O.若使PD最短,则点P在如图所示的位置处.四边形ABCD是菱形,ACBD,ABO=ABC=30,BO=ABcos30=,BD=2BO=2,PB=BC=2,PD=BD-PB=2-2.当等腰三角形PBC以PCB为顶角时,易知点P与点D重合(不合题意,舍去)或点P与点A重合,则PD=2.当等腰三角形PBC以BC为底边时,如图,作BC的垂直平分线交BC于点E,易知该直线过点A,则点P在线段AE上(不含点E).当P与A重合时,PD

37、最短,此时PD=2.2-2AB.在边AD上取点E,使AE=AB,连接CE.过点E作EFCE,与边AB或其延长线交于点F.猜想:如图,当点F在边AB上时,线段AF与DE的大小关系为.探究:如图,当点F在边AB的延长线上时,EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小关系,并加以证明.应用:如图,若AB=2,AD=5,利用探究得到的结论,求线段BG的长.解析解析猜想:AF=DE.(2分)探究:AF=DE.证明:EFCE,CEF=90.1+2=90.四边形ABCD为矩形,A=D=90,AB=CD.2+3=90.1=3.AE=AB,AE=DC.AEFDCE.AF=DE.(6分)应用:AF=DE=AD

38、-AE=5-2=3,BF=AF-AB=3-2=1.在矩形ABCD中,ADBC,FBGFAE.=,即=.BG=.(9分)12.(2015福建龙岩,20,10分)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EFEC.(1)求证:AE=DC;(2)已知DC=,求BE的长.解析解析(1)证明:在矩形ABCD中,A=D=90,1+2=90.EFEC,FEC=90,2+3=90,1=3.(2分)在AEF和DCE中,AEFDCE,(4分)AE=DC.(6分)(2)由(1)得AE=DC,AE=DC=.在矩形ABCD中,AB=DC=,(8分)在RtABE中,AB2+AE2=BE2,即()

39、2+()2=BE2,BE=2.(10分)考点三考点三正方形的性质与判定正方形的性质与判定1.(2017内蒙古呼和浩特,9,3分)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,E,F为BD所在直线上的两点.若AE=,EAF=135,则以下结论正确的是()A.DE=1B.tanAFO=C.AF=D.四边形AFCE的面积为答案答案C四边形ABCD是边长为1的正方形,对角线AC、BD互相垂直平分且相等,AO=OD=,在RtAOE中,OE=,DE=OE-OD=,A选项错误;易知ADO=45,ADE=135,ADE=EAF,又AED=FEA,DAEAFE,=,AF=,C选项正确;在RtAOF中,OF=,tanA

40、FO=,B选项错误;EF=OF+OE=,四边形AFCE的面积=EFAC=,D选项错误.故选C.2.(2017甘肃兰州,14,4分)如图,在正方形ABCD和正方形DEFG中,点G在CD上,DE=2,将正方形DEFG绕D点顺时针旋转60,得到正方形DEF G ,此时点G 在AC上,连接CE ,则CE +CG =()A.+B.+1C.+D.+答案答案A过点G 作G MDC于点M,过点E 作E PDC于点P.由旋转的知识可得EDE=60,DE=DE=2.四边形DEFG、DEFG是正方形,GDE=EDG=90,DG=DE=2.EDG=30,MDG=60.在RtDGM中,由DG=2,MDG=60,可得GM

41、=,DM=1.AC是正方形ABCD的对角线,DCG=45.又GMDC,CMG是等腰直角三角形,MG=MC=.CG=,CD=DM+CM=1+.在RtDEP中,由DE=2,EDG=30,可得EP=1,DP=.CP=CD-DP=1.在RtCEP中,EP=PC=1,由勾股定理可得CE=.CE+CG=+,故选A.3.(2016内蒙古呼和浩特,9,3分)如图,面积为24的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、FD上.若BF=,则小正方形的周长为()A.B.C.D.答案答案C正方形ABCD的面积为24,边长为=2,又BF=,CF=,四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形

42、,B=C=90,EFG=90,DFC+CDF=90,BFE+DFC=90,BFE=CDF,EFBFDC,=,EB=.在RtEBF中,EF=,小正方形EFGH的周长为4EF=,故选C.评析评析本题考查正方形的性质、三角形相似的判定与性质及勾股定理.属中档题.4.(2014山西,10,3分)如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N,若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2答案答案D过点E作EOCD,EHBC,显然四边形EHCO为正方形,EH=EO,HEO=90.G

43、EF=HEO=90,OEN=MEH.EHM=EON=90,EHMEON,S四边形EMCN=S正方形EHCO.EC=2AE,=.AB=a,S正方形ABCD=a2,S正方形EHCO=S正方形ABCD=a2,所以重叠部分四边形EMCN的面积为a2.故选D.5.(2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为.答案答案2,-或2解析解析四边形ABCD是正方形,AB=6,ACBD,AC=BD=6,OA=OD=3.有三种情况:点P在AD上时,AD=6,PD=2AP,AP=AD=2;点P在AC上时,不妨设AP=x(x0),则

44、DP=2x,在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2,即(2x)2=(3)2+(3-x)2,解得x=-(负值舍去),即AP=-;点P在AB上时,PAD=90,PD=2AP,ADP=30,AP=ADtan30=6=2.综上所述,AP的长为2,-或2.思路分析思路分析根据正方形的性质得出ACBD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,画出符合题意的三种情况,根据正方形的性质、勾股定理及锐角三角函数求解即可.解题关键解题关键熟记正方形的性质,分析符合题意的情况,并准确画出图形是解题的关键.易错警示易错警示此题没有给出图形,需将点P的位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点P在正方形边上而致错.

45、6.(2015广西南宁,16,3分)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边ADE,则BED的度数为.答案答案45解析解析由题意可知,BAE=150,BA=AE,AEB=15.BED=45.7.(2015河南,15,3分)如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把EBF沿EF折叠,点B落在B处.若CDB恰为等腰三角形,则DB的长为.答案答案16或4解析解析分三种情况讨论:(1)若DB=DC,则DB=16(易知此时点F在BC上且不与点C、B重合).(2)当CB=CD时,连接BB,EB=EB,CB=CB,点E、C在BB的垂直平分线上,EC垂

46、直平分BB,由折叠可知点F与点C重合,不符合题意,舍去.(3)如图,当CB=DB时,作BGAB于点G,延长GB交CD于点H.ABCD,BHCD.则四边形AGHD为矩形,AG=DH.CB=DB,DH=CD=8,AG=DH=8,GE=AG-AE=5.又易知EB=13,在RtBEG中,由勾股定理得BG=12,BH=GH-BG=4.在RtBDH中,由勾股定理得DB=4(易知此时点F在BC上且不与点C、B重合).综上所述,DB=16或4.8.(2014重庆,18,4分)如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,连接BE.过点C作CFBE,垂足是F,连接O

47、F,则OF的长为.答案答案解析解析如图,在BE上截取BG=CF,连接OG,CFBE,EBC+BCF=90.又ECF+BCF=90,EBC=ECF,OBC=OCD=45,OBG=OCF.在OBG与OCF中,OBGOCF(SAS),OG=OF,BOG=COF,OGOF.BC=DC=6,DE=2EC,EC=2,BE=2,BC2=BFBE,62=BF2,解得BF=,EF=BE-BF=,CF2=BFEF,CF=,GF=BF-BG=BF-CF=.在等腰直角OGF中,OF2=GF2,OF=.9.(2018北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于

48、直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.解析解析(1)证明:如图,连接DF.四边形ABCD为正方形,DA=DC=AB,A=C=ADC=90.又点A关于直线DE的对称点为F,ADEFDE,DA=DF=DC,DFE=A=90,DFG=90.在RtDFG和RtDCG中,RtDFGRtDCG(HL),GF=GC.(2)线段BH与AE的数量关系:BH=AE.证明:在线段AD上截取AM,使AM=AE,连接ME.AD=AB,DM=BE.由(1)得1=2,3=4,ADC

49、=90,1+2+3+4=90,22+23=90,2+3=45,EDH=45.EHDE,DE=EH,DEH=90,A=90,1+AED=90,5+AED=90,1=5.在DME和EBH中,DMEEBH(SAS),ME=BH.A=90,AM=AE,ME=AE,BH=AE.思路分析思路分析本题第(1)问需要通过正方形的性质和轴对称的性质解决;本题第(2)问需要通过构造全等三角形,利用等腰直角三角形的性质解决.解题关键解题关键解决本题第(2)问的关键是要通过截取得到等腰直角三角形,并借助SAS证明三角形全等,从而将BH和AE转化到AME中证明数量关系.10.(2017山东青岛,21,8分)已知:如图,

50、在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.(1)求证:BCEDCF;(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.解析解析(1)在菱形ABCD中,AB=BC=CD=DA,B=D,点E,F分别为AB,AD的中点,BE=AB,DF=AD,在BCE和DCF中,BC=DC,B=D,BE=DF,BCEDCF(SAS).(2)ABBC,理由如下:点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,OE=BC=AD=AF,同理可证,OF=AE=AB,OE=OF=AF=AE,四边形AEOF是菱形,ABBC,OEBC,AEEO,四边形AEOF是正方形.

51、11.(2017辽宁沈阳,24,12分)四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在直线上,连接CE,以CE为边,作正方形CEFG(点D,点F在直线CE的同侧),连接BF.(1)如图1,当点E与点A重合时,请直接写出BF的长;(2)如图2,当点E在线段AD上时,AE=1,求点F到直线AD的距离;求BF的长;(3)若BF=3,请直接写出此时AE的长.图1图2备用图解析解析(1)BF=4.提示:连接FC.四边形ABCD、ECGF都是正方形,ACD=ACF=45.C、D、F三点共线.AF=AC=4,CF=8.在RtBCF中,BF=4.(2)如图.过点F作FHAD交AD的延长线于点H,四边形CE

52、FG是正方形,EC=EF,FEC=90.DEC+FEH=90.又四边形ABCD是正方形,ADC=90,DEC+ECD=90.ECD=FEH.又EDC=FHE=90,ECDFEH.FH=ED,AD=4,AE=1,ED=AD-AE=4-1=3.FH=3.即点F到直线AD的距离为3.延长FH交BC的延长线于点K.DHK=HDC=DCK=90,四边形CDHK为矩形.HK=CD=4,FK=FH+HK=3+4=7.ECDFEH,EH=CD=AD=4,AE=DH=CK=1,BK=BC+CK=4+1=5.在RtBFK中,BF=.(3)AE=2+或AE=1.提示:当点E在线段AD上时,如(2)中图,设AE=x,

53、则ED=FH=4-x,EH=CD=4,FK=8-x,BK=AH=x+4,BF2=FK2+BK2,90=(8-x)2+(x+4)2,解得x1=5,x2=-1,x1=5,x2=-1均不符合题意,舍去.当点E在线段AD的延长线上时,如图.设AE=x.过点F作FHAD交AD的延长线于点H,延长FH交BC的延长线于点K,易证EFHCED.EH=CD=4,FH=ED=x-4.AH=EA-EH=x-4,FK=FH+HK=x-4+4=x.BK=AH=x-4.BF2=BK2+FK2,90=(x-4)2+x2,解得x=2+或x=2-(舍).当点E在线段DA的延长线上时,如图.设AE=x.易证EFHCED.EH=C

54、D=4,FH=ED=x+4.HD=CK=x,FK=x+8.AH=BK=4-x.BF2=FK2+BK2,90=(x+8)2+(4-x)2.解得x1=-5(舍去),x2=1.综上所述,当AE=2+或1时,BF的长是3.12.(2014山东济南,27,9分)如图1,有一组平行线l1l2l3l4,正方形ABCD的四个顶点分别在l1,l2,l4,l3上,EG过点D且垂直l1于点E,分别交l2,l4于点F,G,EF=DG=1,DF=2.(1)AE=,正方形ABCD的边长=;(2)如图2,将AEG绕点A顺时针旋转得到AED,旋转角为(090),点D在直线l3上,以AD为边在ED左侧作菱形ABCD,使点B,C

55、分别在直线l2,l4上.写出BAD与的数量关系并给出证明;若=30,求菱形ABCD的边长. 图1图2解析解析(1)AE=1,正方形ABCD的边长=.(3分)(2)BAD+=90.(4分)证明:过点B作BHl1于H,则BHA=AED=90,BH=AE=1.四边形ABCD为菱形,AB=AD.RtBHARtAED,(5分)BAH=ADE.ADE+DAE=90,BAH+DAE=90,BAD+=90.(6分)过点E作KLl1于点K,交l3于点L,则KL=3.AEK+KAE=90,AEK+DEL=90,KAE=DEL=30.(7分)AE=1,KE=,LE=,DE=,(8分)AD=,即菱形ABCD的边长为.

56、(9分)考点一考点一菱形的性质与判定菱形的性质与判定三年模拟A A组组 2016 201620182018年模拟年模拟基础题组基础题组1.(2018石家庄十八县一模,10)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,已知AC=2,BD=6,则下列说法正确的是()A.AB=2B.AB的长是有理数C.3AB4D.AB的长不确定答案答案C四边形ABCD是菱形,ACBD,OA=AC=1,OB=BD=3,AB=,选项A,B,D错误;,3AB4,故选C.2.(2016石家庄十八县一模,15)某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5m)围成的花坛,如图中的阴影部分所示,校方要将这个花坛在原有的基础上扩

57、建成一个菱形区域,并在新扩充的部分种上草坪,则扩建后菱形区域的周长为()A.20mB.25mC.30mD.35m答案答案C由题意可知空白三角形为等边三角形,空白四边形为菱形,所以扩建后菱形的边长为2.53=7.5m,周长为30m,故选C.3.(2018邢台一模,17)如图,在菱形ABCD中,AB=5,AO=3,点E在BC的延长线上,E=ABC,则DE=.答案答案8解析解析四边形ABCD是菱形,ACBD,ABD=DBC=ABC,E=ABC,DBC=E,BD=DE,在RtAOB中,OB=4,BD=2OB=8,DE=BD=8.4.(2016唐山路南一模,18)如图,在菱形ABCD中,DAB=60,B

58、D=4,则菱形ABCD的周长为.答案答案16解析解析在菱形ABCD中,AD=AB,DAB=60,ABD为等边三角形,BD=4,AB=4,菱形ABCD的周长为16.5.(2018保定莲池期末,23)在RtABC中,BAC=90,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AFBC交BE的延长线于点F.(1)求证:AEFDEB;(2)证明四边形ADCF是菱形;(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.解析解析(1)证明:AFBC,DBE=AFE,E是AD的中点,ED=EA.又BED=FEA,AEFDEB(AAS).(2)证明:由(1)知AEFDEB,AF=BD,D是BC的中点,AF=BD=DC

59、,AF DC,四边形ADCF是平行四边形.在RtABC中,BAC=90,D是BC的中点,AD=BC=DC=BD.四边形ADCF是菱形.(3)解法一:连接DF,AF DC,BD=CD,AF BD,四边形ABDF是平行四边形,DF=AB=5,S菱形ADCF=ACDF=45=10.解法二:在RtABC中,AC=4,AB=5,BC=,设BC边上的高为h,则BCh=ABAC,h=,S菱形ADCF=DCh=10.6.(2017唐山古冶一模,23)如图,将等腰ABC绕顶点B逆时针方向旋转40得到A1BC1,AB与A1C1相交于点D,A1C1、BC1与AC分别交于点E、F.(1)求证:BCFBA1D;(2)当

60、C=40时,请你证明四边形A1BCE是菱形.证明证明(1)ABC绕点B逆时针旋转40得到A1BC1,CBF=A1BD=40,ABCA1BC1.ABC是等腰三角形,BC=BA=BA1=BC1,C=A=A1=C1,BCFBA1D.(2)C=40,ABC是等腰三角形,A=C1=C=40.CBF=A1BD=40,C1=CBF,A=A1BD.A1EBC,A1BCE.四边形A1BCE是平行四边形,A1B=BC,四边形A1BCE是菱形.考点二考点二矩形的性质与判定矩形的性质与判定1.(2018沧州模拟,12)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点E在边BC上,若EA平分BED,则BE的长为()A.B

61、.C.D.4-答案答案D四边形ABCD是矩形,ADBC,DAE=AEB,EA平分BED,AEB=AED,DAE=AED,AD=DE=4,CE=,BE=BC-CE=4-,故选D.2.(2016保定竞秀一模,7)如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定,然后向右拉动框架,观察所得四边形的变化,下列判断错误的是()A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.BD的长度增大C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变答案答案C向右拉动框架,AB、CD两边向右倾斜,四边形ABCD由矩形变为平行四边形,底BC不变,BC边上的高变小,故面积变小,故选C.3

62、.(2018唐山丰南一模,19)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,动点P满足SPAB=S矩形ABCD,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为.答案答案解析解析过点P作直线MNAB,分别交AD,BC于点M,N,SPAB=S矩形ABCD,ABBN=ABBC,BN=BC=2,作点B关于直线MN的对称点B,连接AB,交直线MN于点P,此时PA+PB有最小值,即PA+PB=AB,在RtABB中,AB=,所以PA+PB的最小值为.4.(2017唐山路南一模,18)阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:已知:RtABC中,ABC=90.求作:矩形ABCD.小敏的作法如下:作线段AC的

63、垂直平分线交AC于点O;连接BO并延长,在延长线上截取OD=BO;连接DA,DC.则四边形ABCD即为所求.老师说:“小敏的作法正确.”依其作法,先得出ABCD,再得出矩形ABCD.请回答:以上两条结论的依据是.答案答案对角线互相平分的四边形是平行四边形,有一个角是直角的平行四边形是矩形解析解析首先作线段AC的垂直平分线,则有OA=OC,OD=BO,四边形ABCD为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),ABC=90,四边形ABCD为矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).5.(2017石家庄长安一模,21)如图,在ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为AB的中点,点F在CB的

64、延长线上,且EFBD.(1)求证:四边形OBFE是平行四边形;(2)当线段AD和BD之间满足什么条件时,四边形OBFE是矩形?并说明理由.解析解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,点O是AC的中点,又点E是AB的中点,OE是ABC的中位线,OEBC,又EFBD,即EFOB,四边形OBFE是平行四边形.(2)当ADBD时,四边形OBFE是矩形.理由:由(1)可知四边形OBFE是平行四边形,又ADBD,ADBC,且点F在CB的延长线上,FCBD,OBF=90,四边形OBFE是矩形.考点三考点三正方形的性质与判定正方形的性质与判定1.(2018秦皇岛海港一模,16)点P在正方形ABCD所在平面

65、内,且PAB,PCD,PAD,PBC都是等腰三角形,这样的点P有()A.1个B.9个C.10个D.12个答案答案B连接AC,BD,由正方形的性质可知对角线的交点到每个顶点的距离相等,可作为点P.以正方形的每条边为边作等边三角形,在正方形内部或外部的点共有8个,这8个点能满足使PAB,PCD,PAD,PBC都是等腰三角形,故可作为点P.故选B.2.(2018保定定兴一模,9)已知正方形ABCD,点E在边AB上,以CE为边作正方形CEFG,如图所示,连接DG.求证:BCEDCG.甲、乙两位同学的证明过程如下:甲:四边形ABCD,四边形CEFG都是正方形,CB=CD,CE=CG,BCD=ECG=90

66、.BCD-ECD=ECG-ECD.BCE=DCG.BCEDCG(SAS).乙:四边形ABCD,四边形CEFG都是正方形,CB=CD,CE=CG,且B=CDG=90,BCEDCG(HL).则下列说法正确的是()A.只有甲同学的证明过程正确B.只有乙同学的证明过程正确C.两人的证明过程都正确D.两人的证明过程都不正确答案答案A甲同学的证明过程正确;乙同学的证明过程不正确,因为还不知道点A,D,G三点是否共线,所以不能使用CDG=90,故选A.3.(2017唐山路北一模,11)如图,四边形ABCD、AEFG均为正方形,其中E在BC上,且B、E两点不重合,并连接BG.根据图中标示的角判断下列1、2、3

67、、4的大小关系正确的是()A.12C.34答案答案D四边形ABCD、AEFG均为正方形,BAD=EAG=90.1=2,AE=AG,AEAB,AGAB,34.故选D.4.(2016唐山路北一模,19)如图,正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上,若点A的坐标是(-1,4),则点C的坐标是.答案答案(3,0)解析解析点A的坐标是(-1,4),AB=4,OB=1,四边形ABCD为正方形,BC=AB=4,OC=3,点C的坐标为(3,0).B B组组2016201620182018年模拟年模拟提升题组提升题组( (时间时间:40:40分钟分值分钟分值:55:55分分) )一、选择题一、选择题(

68、 (每小题每小题2 2分分, ,共共1010分分) )1.(2018石家庄桥西一模,8)如图,在ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DEAC,DFAB,分别交AB,AC于点E,F,下列说法正确是()A.四边形AEDF是矩形B.若AE=DF,则四边形AEDF是菱形C.若ADBC,则四边形AEDF是矩形D.若AD平分BAC,则四边形AEDF是菱形答案答案DDEAC,DFAB,四边形AEDF为平行四边形,由已知条件得不出四边形AEDF是矩形,选项A错误;AE,DF不是邻边,不能判断四边形AEDF是菱形,选项B错误;ADBC并不能推导出四边形AEDF的内角为直角,选项C错误;若

69、AD平分BAC,则DAE=DAF,DEAF,ADE=DAF,DAE=ADE,AE=DE,四边形AEDF是菱形,选项D正确,故选D.2.(2018保定一模,15)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为()A.10B.4C.20D.8答案答案C分别作点H关于直线AB,CD的对称点H和点H,连接EH和HG,根据轴对称可得EH=EH,HG=HG.当点H,E,F三点共线时,EH+EF=EH+EF最短,当点H,G,F三点共线时,FG+GH=FG+GH最短,此时四边形EFGH的周长有最小值,过点F作FMAD

70、,垂足为M,BF=DH=AM,AH=AH=6-DH,AM=DH,HM=AH+AM=6,FM=8,FH=10,同理FH=10,故四边形EFGH周长的最小值为20,故选C.解题关键解题关键由最短路径确定四边形EFGH周长的最小值是解题的关键.3.(2017唐山路北一模,15)如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图,其中G、F两点分别在BC、EH上.若AB=5,BG=3,则GFH的面积为()A.10B.11C.D.答案答案D四边形ABCD是正方形,四边形BEFG是正方形,AB=5,BG=3,AB=BC=5,C=90,BG=GF=3,CGF=GFH=90.四边形DGHI是矩形,DGH=

71、DGC+CGH=90,CGF=CGH+HGF=90,DGC=HGF,C=GFH=90,GCDGFH,=,SGCD=(5-3)5=5,SGFH=,故选D.4.(2016邯郸一模,13)如图所示,正方形ABCD的面积为12,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,点P是对角线AC上一点,则PD+PE的最小值为()A.2B.2C.3D.答案答案AS正方形ABCD=12,AB=2,ABE是等边三角形,AB=BE=2,点B、D关于对角线AC对称,PD+PE的最小值即为BE的长,故选A.5.(2016石家庄十八县摸底,15)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,将ABC沿对角线AC折叠,点B恰好落

72、在点P处,CP与AD交于点F,连接BP交AC于点G,交AD于点E,下列结论错误的是()A.AC=2APB.PBC是等边三角形C.SBGC=3SAGPD.=答案答案DtanACB=,ACB=30,AC=2AB=2AP,选项A正确;由翻折得ACB=ACP,BCP=60,又BC=CP,PBC是等边三角形,选项B正确;易知BPAC,AGB=BGC=90,ACB=ABG=30,ABGBCG,=3,SAGB=SAGP,SBGC=3SAGP,选项C正确;ACP=30,tanACP=,选项D错误,故选D.二、填空题二、填空题( (每小题每小题2 2分分, ,共共1010分分) )6.(2018石家庄质检,18

73、)如图,在边长为6的菱形ABCD中,分别以各顶点为圆心,以边长的一半为半径,在菱形内作四条圆弧,则图中阴影部分的周长是.(结果保留)答案答案6解析解析四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD=6,由题意可知四条圆弧的半径都为3且四条圆弧圆心角的和为A+B+C+D=360,阴影部分的周长=6.7.(2018石家庄十八县一模改编)如图,将矩形甲、乙、丙、丁拼成一个大的正方形EFGH,其中中间阴影部分是边长为x的小正方形.若甲、乙、丙、丁不完全相同,它们的面积和为24,四边形ABCD的面积为16,则甲、乙、丙、丁周长的和为.答案答案16解析解析阴影部分小正方形的边长为x,S四边形ABCD=(S甲

74、+S乙+S丙+S丁)+x2,即16=24+x2,解得x=2,或x=-2(舍去),四边形EFGH的面积为24+4=28,EF=2.则甲、乙、丙、丁周长的和为2C正方形EFGH=242=16.解题关键解题关键甲、乙、丙、丁四个矩形周长的和就是正方形EFGH周长的2倍是解题的关键.8.(2017唐山玉田一模改编,14)如图是一张矩形纸片ABCD,翻折B,D,使AD、BC边与对角线AC重叠,且顶点D、B恰好落在同一点O上,折痕分别是AF、CE,则等于.答案答案2解析解析由折叠可知AF平分DAC,CE平分ACB,EFAC,四边形ABCD是矩形,ADBC,B=90,DAC=ACB,FAC=ACE,AFCE

75、,DCAB,四边形AECF为平行四边形,EFAC,四边形AECF为菱形,AE=CE,CAB=ACE=BCE,B=90,CAB+ACB=90,CAB=ACE=BCE=30.BE=CE=AE,即=2.9.(2017唐山路北二模,19)如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止),过点P作PMCD交BC于M点,PNBC交CD于N点,连接MN,在运动过程中,AE和BF的位置关系为;线段MN的最小值为.答案答案AEBF;解析解析由题意可知CE=DF,BE=CF,易证ABEBCF,BAE=CBF,ABF+CBF=90,BAE+ABF

76、=90,APB=90,即AEBF.无论E、F怎么运动,永远存在APB=90,即点P在以AB的中点为圆心,AB长为半径的圆上.连接PC,由题意可知四边形PNCM为矩形,MN=PC,则PC的最小值即为线段MN的最小值,所以当AB的中点与PC共线时,线段PC有最小值,此时AB的中点与点C的距离=,PC=-,所以MN的最小值为.10.(2016秦皇岛卢龙一模,18)如图,在矩形ABCD中,AD=6,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2,BE=DH=1,点P是直线EF、GH之间任意一点,连接PE、PF、PG、PH,则PEF和PGH的面积和等于.答案答案7解析解析连接

77、EG,FH.AD=6,AB=4,AF=CG=2,BE=DH=1,AE=CH=3,AEFCHG,EF=GH.同理可得BGEDFH,EG=FH,四边形EGHF是平行四边形,PEF和PGH的高的和等于点H到直线EF的距离,SPEF+SPGH=SEGHF,SEGHF=46-232-1(6-2)2=14,SPEF+SPGH=7.三、解答题三、解答题( (共共3535分分) )11.(2018石家庄十八县一模,24)如图,在正方形ABCD中,AB=4,点P是BC上一点,连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转90得到线段PE,连接AE交CD于点F,连接PF,CE,点Q是BC延长线上一点.(1)求证:CE平分D

78、CQ;(2)当BP=2时,求PF的长;(3)若SAPFSPEF=41,求在旋转过程中,点A经过的路径长.解析解析(1)证明:如图,过点E作EGCQ于点G,PGE=90,EPG+PEG=90,将PA绕点P顺时针旋转90,得到线段PE,APE=90,AP=PE,APB+EPG=90,APB=PEG,四边形ABCD是正方形,ABP=90,ABP=PGE,ABPPGE,AB=PG=BC,BP=EG,PG=PC+CG=BC=BP+PC,CG=GE,EGC=90,ECG=45,DCQ=90,DCE=ECQ=45,即CE平分DCQ.(2)延长PB到点H,使得BH=DF,连接AH,四边形ABCD是正方形,AB

79、=AD,ABH=BAD=D=90,BH=DF,ABHADF,BAH=DAF,AH=AF,HAP=BAH+BAP=BAP+DAF=BAD-PAF.在PAE中,APE=90,AP=PE,PAE=45,HAP=90-PAF=45=PAF,AP是公共边,HAPFAP,HP=PF,即BP+DF=PF,BP=2,BC=4,PC=2,设PF=x,则DF=x-2,CF=CD-DF=4-(x-2)=6-x,在RtCPF中,由勾股定理得CP2+CF2=PF2,即22+(6-x)2=x2,解得x=,即PF=.(3)过点E作EMCF于M,SAPFSPEF=41,AFFE=41,ADEM,=4,EM=1,BP=EG=E

80、M=1,AP=.点A经过的路径长为=.解题关键解题关键利用全等三角形的判定和性质推出PF=BP+DF是求PF的长的关键所在.12.(2018唐山路北一模,26)现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板,移动三角板,使三角板两直角边所在直线分别与直线BC,CD交于点M,N.(1)如图1,若点O与点A重合,直接写出OM与ON的数量关系;(2)如图2,若点O在正方形的中心(即两对角线交点),则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;(3)如图3,若点O在正方形的内部(含边界),当OM=ON时,请探究点O在移动过程中可形成什么图形?(4)图4是点O在正方形外部的一种情况.当OM=ON时,请你就“

81、点O在各种情况下(含外部)移动所形成的图形”提出一个正确的结论.(不必证明).解析解析(1)OM=ON.(2)仍成立.连接AC,BD,四边形ABCD是正方形,BOC=90,BO=CO,OBM=OCN=45,MON=90,BOM=CON,BOMCON(ASA).OM=ON.(3)过点O作OEBC,作OFCD,垂足分别为E,F,OEM=OFN=90,C=90,EOF=90=MON,MOE=NOF,又OM=ON,MOENOF(AAS),OE=OF,又OEBC,OFCD,点O在C的平分线上.O在移动过程中可形成线段AC.(4)O在各种情况下(含外部)移动可形成直线AC.解题关键解题关键作辅助线构造全等

82、三角形是解题的关键.13.(2017石家庄质量检测一,24)如图,在正方形ABCD中,点P是对角线AC上的一个动点(不与点A、C重合),连接PB,过点P作PFPB,交直线DC于点F,作PEAC交直线DC于点E,连接AE,BF.(1)由题意易知ADCABC,观察图,请猜想另外两组全等的三角形:;(2)求证:四边形AEFB是平行四边形;(3)已知AB=2,PFB的面积是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由.解析解析(1)ADE,BCF;EPF,CPB.(2)证明:AC是正方形ABCD的对角线,PCE=PCB=45,又PEAC,PEC=PCE=45,PE=PC,又PFPB,E

83、PC=FPB=90,EPC+CPF=FPB+CPF,即EPF=CPB,在EPF与CPB中,EPFCPB,EF=CB,四边形ABCD是正方形,AB=CB,ABDC,EF=AB,四边形AEFB是平行四边形.(3)存在.由(2)中的证明可知PB=PF,则PBF是等腰直角三角形,当PBAC时,PB取得最小值,即SPFB取得最小值,此时PB=2,则SPFB的最小值=PB2=2.14.(2017唐山古冶二模,24)在矩形ABCD中,ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE上一定点(其中EPPD).(1)如图1,若点F在CD边上(不与D重合),将DPF绕点P逆时针旋转90后,角的两边PD

84、、PF分别交射线DA于点H、G.求证:PG=PF;求证:DG+DF=DP.(2)如图2,若点F在CD的延长线上(不与D重合),过点P作PGPF,交射线DA于点G,你认为中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请直接写出它们所满足的数量关系式.解析解析(1)证明:GPF=HPD=90,GPH=FPD,DE平分ADC,ADC=90,PDF=ADP=45,DHP=PDF=45,PH=PD.在HPG和DPF中,HPGDPF,PG=PF.由知,HPD为等腰直角三角形,HPGDPF,HD=DP,HG=DF,HD=HG+DG=DF+DG,DG+DF=DP.(2)不成立,数量关系式应为DG-DF=DP.提示:过点P作PHPD交AD于点H,易证PHGPDF,DF=GH,DH=DP,DG-DF=DP.