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1、1整数裂项基本公式(1) 1 22334.(1)nn 1(1)(1)3nnn(2) 11 23234345.(2)(1)(2)(1) (1)4nnnnnn n 【例例 1】1】1 223344950 =_ 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】这是整数的裂项.裂项思想是:瞻前顾后,相互抵消.设 S1 223344950 12312323323（41）23412334334（52）345234495034950（5148）=4950514849503S12323334349503495051S495051341650【答案】41650【巩固巩固巩固】1 22334455
2、66778899 10 _【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】本题项数较少,可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和,但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算对于项数较多的情况,可以进行如下变形: 12111111211333n nnnn nn nn nnnn n,所以原式111111 232341 239 10 118 9 1033333 19 10 113303 另解:由于21n nnn,所以原式 222112299222129129119 10 199 1062 330例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨整数裂项整数裂项2采用此种方法也可以得到11 2231
3、123nnn nn 这一结论【答案】330【例例 2】2】1 4477 104952=_【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】设 S1 4477 104952149147142 47947（101）4710147 7109710（134）710134710.495294952（5546）4952554649529S495255142S=（495255142）915572【答案】15572【例例 3】3】1 232343459 10 11 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】 111212311244n nnn nnnnn nn,所以,原式1
4、11111 23423451 2349 10 11 128 9 10 1144444 19 10 11 124 2970从中还可以看出, 11 23234345121234nnnn nnn 【答案】2970【例例 4】4】 计算计算:1 3 53 5717 1921 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】可以进行整数裂项 3 5791 3 573 578 , 579 113 5795798 , 17 1921 23 15 17 192117 19218, 所以原式3 5791 3 5717 1921 23 15 17 19211 3 588 17 1921 23 1 3 57
5、1 3 58 17 1921 231 3 58 19503也可适用公式原式 323325255219219192 2222223235251921933333519435193333135194135193而 33333333333313519123202462022221120218101144 19900,21351910100,所以原式199004 100319503【答案】19503【巩固巩固巩固】计算计算:10 16221622287076 8276 82 88【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】可进行整数裂项:原式10 1622284 10 1622162228
6、 3410 162228=24247076 82 88647076 8276 82 88 947076 82 88242410 1622284 10 1622162228 3410 162228=242424247076 82 88647076 8276 82 88 947076 82 882424242476 82 88 944 10 1622=242476 82 88 944 10 1622=24=2147376【答案】2147376【巩固巩固巩固】计算计算:1 23434565678979899 100 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】一般的整数裂项各项之
7、间都是连续的,本题中各项之间是断开的,为此可以将中间缺少的项补上,再进行计算记原式为A,再设23454567678996979899B ,则1 23423453456979899 100AB 19798 99 100 10119010098805,现在知道A与B的和了,如果能再求出A与B的差,那么A、B的值就都可以求出来了1 2342345345645675678979899 100AB 4(1 23345567.9798 99) 222242(21)4(41)6(61)98(981)33334(24698 )4(24698)22114 8495041004942 48010200所以,190
8、1009880480102002974510040A 4【答案】974510040【例例 5】5】2004200320032002200220012001 20002 1【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析解析解析】原式200322001 2321 2 213520012003212003100222008008其中也可以直接根据公式2135721nn得出2135200120031002【答案】2008008【例例 6】6】1 1! 22! 3 3!20082008! 【考点】整数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 【解析解析解析】观察发现22!22 1(3 1)2 13!
9、2! ,3 3!3 32 1(41)32 14! 3! ,20082008!2008200820072 1(20091)200820072 12009! 2008! ,可见,原式1! (2! 1!)(3! 2!)(2009! 2008!) 2009!【答案】2009!【例例 7】7】 计算:1 2345699 100234598 99 【考点】整数裂项 【难度】5 星 【题型】计算 【解析】设原式=BA【解析】1 22334989999 100AB 【解析】 11 230 1 22341 2399 100 10198 99 1003 【解析】 199 100 1013333003【解析】1 23299250 1005000BA 【解析】3333005000338333330050003283BA【答案】33833283
