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1、第六章第六章 勒让德多项式勒让德多项式6.1 勒让德方程及其解的表示勒让德方程及其解的表示1 勒让德方程勒让德方程 勒让德多项式勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程2021/6/71 （1.1）在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程和球谐函数方程和球谐函数方程（.2）(1.2)式的解式的解与半径与半径无关，故称为无关，故称为球谐函数球谐函数或简称为或简称为球函数球函数2021/6/72球谐函数方程进一步分离变量，令球谐函数方程进一步分离变量，令得到关于得到关于的常微分方程的常微分方程
2、（1.3） 称为称为阶连带勒让德方程阶连带勒让德方程.令令 和和 把自变数从把自变数从换为换为，则方程（，则方程（1.3）可以化为下列）可以化为下列阶阶连连带勒让德方程 形式的形式的2021/6/73（1.4） 若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与无关，则无关，则，即有，即有 （1.5） 称为称为阶阶勒让德（勒让德（legendre）方程）方程 2021/6/74同样若记同样若记 ，则上述方程也可写为下列则上述方程也可写为下列形式的形式的阶勒让德方程阶勒让德方程 (1.6) 2021/6/752 勒让德多项式的表示勒让德多项式的表示(
3、1) 勒让德多项式的级数表示勒让德多项式的级数表示我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解为为 （1.7）式中式中 上式具有多项式的形式，故称上式具有多项式的形式，故称为为阶勒让德多项式阶勒让德多项式勒让德多项式也称为勒让德多项式也称为第一类勒让德函数第一类勒让德函数2021/6/76式（式（1.7）即为）即为勒让德多项式的级数表示勒让德多项式的级数表示注意到注意到, 故可方便地得出前几个勒让德多项式故可方便地得出前几个勒让德多项式: 2021/6/77勒让德多项式的图形可通过计算机仿真勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如如MATLAB仿真仿真)得
4、到得到 2021/6/78计算计算，这应当等于多项式，这应当等于多项式的常数项的常数项 如如为为（即为奇数）时，则（即为奇数）时，则 只含奇只含奇 数次幂，不含常数项，所以数次幂，不含常数项，所以（.8） （即为偶数）时，（即为偶数）时， 则则含有常数项，即含有常数项，即 （.7）中）中 的那一项，所以的那一项，所以 （.9） 式中记号式中记号 而而因此因此，2021/6/79(2) 勒让德多项式的微分表示勒让德多项式的微分表示 （1.10） 上式通常又称为上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式表示式下面证明表达式下面证明表达式(1.10)
5、和（和（1.7）是相同的）是相同的【证明】【证明】(略）略）2021/6/7106.2 勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质1 勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质 (1) 勒让德多项式的零点勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i）的的个零点都是实的，且在个零点都是实的，且在内；内；（ii）的零点与的零点与的零点互相分离的零点互相分离 (2) 奇偶性奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作代换根据勒让德多项式的定义式，作代换容易得到容易得到 （2.1） 即当即当为偶数时，勒让德多项式为偶数时，勒让德多项式为偶函数，为偶函数，为奇数时为奇数时为奇
6、函数为奇函数 2021/6/711(3) 勒让德多项式的正交性及其模勒让德多项式的正交性及其模不同阶的勒让德多项式在区间不同阶的勒让德多项式在区间上满足上满足(2.2) 其中其中当当时满足时满足， (2.3)称为正交性称为正交性 相等时可求出其模相等时可求出其模 (2.4)2021/6/712下面给出公式（下面给出公式（2.2），及其模），及其模(2.4)的证明的证明 【证明证明】 （1）正交性）正交性 勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有 两式相减，并在两式相减，并在-1,1 区间上对区间上对x积分，得积分，得2021/6/713因为上面等式左边的积分值为
7、因为上面等式左边的积分值为 所以当所以当时，必然有时，必然有 根据根据 成立成立 （2）模）模 （利用分部积分法证明）（利用分部积分法证明） 为了分部积分的方便，把上式的为了分部积分的方便，把上式的用微分表示给出，则有用微分表示给出，则有2021/6/714注意到注意到以以为为级零点，级零点， 故其故其阶导数阶导数 必然以必然以为一级零点，从而上式已积出部分的值为零为一级零点，从而上式已积出部分的值为零 再进行再进行次分部积分，即得次分部积分，即得 2021/6/715是是次多项式，其次多项式，其阶导数也就是最高幂项阶导数也就是最高幂项的的阶导数为阶导数为故故 再对上式分部积分一次再对上式分部
8、积分一次容易看出已积出部分以容易看出已积出部分以为零点为零点 至此，分部积分的结果是使至此，分部积分的结果是使的幂次降低一次，的幂次降低一次，的幂次升高一次，的幂次升高一次， 且积分乘上一个相应的常数因子且积分乘上一个相应的常数因子2021/6/716继续分部积分（计继续分部积分（计次），即得次），即得 故勒让德多项式的模为故勒让德多项式的模为 且有且有 2021/6/717(4) 广义傅里叶级数广义傅里叶级数定理定理2.1 在区间 -1,1上的任一连续函数可展开为勒让德多项式的级数可展开为勒让德多项式的级数 （2.5） 其中系数其中系数 (2.6)在实际应用中在实际应用中,经常要作代换经常要
9、作代换,此时勒让德方程的解为此时勒让德方程的解为，这时有，这时有 (2.7) 2021/6/718其中系数为其中系数为 （2.8）2. 勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开） 例例2.1 将函数函数 按勒让德多项式形式展开按勒让德多项式形式展开.【解解】 根据根据 （2.5）设）设考虑到考虑到 ，由由(2.6)显然有显然有 2021/6/719所以所以例例2.2 将函数将函数 展开为勒让德多项式展开为勒让德多项式形式形式 【解】【解】 用直接展开法用直接展开法令令 ，则由，则由 我们知道：我们知道：2021/6/720可设可设 考虑到勒让德函数的奇偶性，显
10、然考虑到勒让德函数的奇偶性，显然由由项的系数，显然得出项的系数，显然得出故有故有 2021/6/721下面我们给出一般性结论：下面我们给出一般性结论：结论结论1：设：设 为正整数，可以证明：为正整数，可以证明：结论结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数为奇函数，为奇函数， 则展开式（则展开式（2.5）系数）系数若需展开的函数若需展开的函数为偶函数，则展开式（为偶函数，则展开式（2.5）系数）系数 2021/6/722例例2.3 以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把展开为广义傅里叶级数展开为广义傅里叶级数【解】【解】 本例不必应用一般公式本例不
11、必应用一般公式 ，事实上，事实上，是三次多项式（注意是三次多项式（注意既非奇函数，也非偶函数），既非奇函数，也非偶函数），设它表示为设它表示为2021/6/723比较同次幂即得到比较同次幂即得到由此得到由此得到2021/6/724例例3.1 求求 【解】【解】 勒让德多项式的递推公式勒让德多项式的递推公式 证明（略）证明（略） 2021/6/725例例 3.2 求积分求积分 【解】【解】利用递推公式（利用递推公式（3.11） 故有故有2021/6/726例例 3.3 求下列方程的解求下列方程的解 解：解： 由球坐标得到由球坐标得到6.4 勒让德多项式的应用勒让德多项式的应用2021/6/727 2021/6/728 2021/6/7296.5 连带勒让德函数连带勒让德函数（略）（略）2021/6/730部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
