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1、3.1.13.1.1方程的根和函数的零点方程的根和函数的零点 思考：一元二次方程思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？的图象有什么关系？ 方程方程x22x+1=0x22x+3=0y= x22x3 y= x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1, x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3方程方程 ax
2、2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y= ax2 +bx+c(a0) 的图象的图象 =b24ac函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点 有两个相等的有两个相等的 实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点 两个不相等的两个不相等的 实数根实数根x1 、x20=00 对于函数对于函数y=f(x), 叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点函数函数函数函数的的的的零点定
3、义：零点定义：零点定义：零点定义：等价关系等价关系等价关系等价关系使使f(x)=0的实数的实数x 零点是一个点吗零点是一个点吗? ?注意注意: 零点是一个实数零点是一个实数求函数零点的一般步骤：求函数零点的一般步骤：(2) 解方程解方程 f(x)=0(3) 写出零点写出零点(1) 令令 f(x)=0求下列函数的零点求下列函数的零点:(1)(3)(2) 思考：如果函数相应的方程思考：如果函数相应的方程f(x)=0不易求解不易求解, y=f(x)的图象也不易画的图象也不易画出出,怎样讨论其零点怎样讨论其零点?0123 4 5-1-212345-1-2-3-4xy在区间在区间 2,1上上: f(2)
4、 0 , f(1) 0 f(2)f(1)0函数在（函数在（2,1）内）内有零点有零点 x1在区间在区间 2,4 上上: f(2) 0 f(2)f(4)0函数在（函数在（2,4）内）内有零点有零点 x3 探探究究 发发现现1、若去掉、若去掉“图象是连续不断的一条曲线图象是连续不断的一条曲线”的的 条件条件, 结论还成立吗？结论还成立吗？0yx答：不一定如右图答：不一定如右图 2、若函数、若函数 f(x)在在(a,b)上有零点上有零点,则一定有则一定有 f(a)f(b)0 吗吗?答：不一定如右图答：不一定如右图ab3、若、若在零点定理的基础上在零点定理的基础上添加添加”y=f(x)在在 a,b 上
5、是单调函数上是单调函数” 的条件的条件, 你能判断函数在你能判断函数在 (a,b) 内零点的个数吗？内零点的个数吗？答：能答：能. 零点存在且唯一零点存在且唯一0ba0ba 由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0, 即即 f(2)f(3)0,所以函数在所以函数在(2,3)内有零点内有零点. 由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表的对应值表（表3-1） 和图象（图和图象（图3.13） 4 1.30691.0986 3.3863 5.609
6、47.79189.9459 12.079414.1972例例 1. 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。123456789x x x xf f f f（x x x x）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x0246105y2410861214876432191、对于定义在、对于定义在R上的函数上的函数y=f(x),若若f(a).f(b)0 (a,b R,且且a 2 B m2 D m23、函数函数f(x)=x3-16x的零点为的零点为( )A (0,0),(4,0) B 0,4 C ( 4 ,0),
7、 (0,0),(4,0) D 4 ,0,44、函数、函数f(x)= x3 3x+5的零点所在的大致区间为（的零点所在的大致区间为（ ）A （1，2） B （ 2 ，0） C （0，1） D （0， ）DBDA 对于函数对于函数y=f(x), 叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点函数函数函数函数的的的的零点定义：零点定义：零点定义：零点定义：等价关系等价关系等价关系等价关系使使f(x)=0的实数的实数x 零点是一个点吗零点是一个点吗? ?注意注意: 零点是一个实数零点
8、是一个实数求函数零点的一般步骤：求函数零点的一般步骤：(2) 解方程解方程 f(x)=0(3) 写出零点写出零点(1) 令令 f(x)=0小小结结1.函数函数y=f(x)的图象在的图象在 1,4上是连续不断的曲线上是连续不断的曲线,且且 f(1)f(4) 0, 则函数则函数 y=f(x)（ ） A.在在(1,4)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点 B.在在(1,4)内至多有一个零点内至多有一个零点 C.在在(1,4)内至少有一个零点内至少有一个零点 D.在在(1,4) 内不一定有零点内不一定有零点C 2. 已知函数已知函数f(x)的图象是连续不断的的图象是连续不断的,有如下的有如下的x与与f
9、(x)的对应值表的对应值表:x123456f(x)136.36 15.552 -3.92 10.88 -52.4 -232.06函数函数f(x)在区间在区间1,6上的零点至少有上的零点至少有_个个?3.函数函数零点所在的大致区间是零点所在的大致区间是 ( )A.(-2, -1) B.(-1, 0) C.(0, 1) D.(1,2)C4.已知方程已知方程,则方程的解在下列哪个区间内则方程的解在下列哪个区间内 ( )A.(-1, 0) B.(0, 1) C.(1, 2) D.(2, 3)B5.若方程若方程在在(0, 1)内恰有一解内恰有一解,求求a的取值范围的取值范围.法法1：数形结合：数形结合法法2：构造函数：构造函数 ，借助零点，借助零点存在性定理得存在性定理得 且函数图象且函数图象连续，命题得证。连续，命题得证。6.证明证明:方程方程 在区间在区间 (2,3)内有根。内有根。7.判断方程判断方程 的根的的根的大致区间。大致区间。8、方程、方程lnx= 必有一个根的区间是（必有一个根的区间是（ ） A （1，2） B （2，3) C ( , 1 ) D (3, )B、零点的概念；、零点的概念；2 2、函数的零点与相应的方程的根的关系；、函数的零点与相应的方程的根的关系；3 3、零点定理及其应用、零点定理及其应用. .
