4.5.2 补角和余角

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1、第第4章章直直线与角与角4.5角的比较角的比较与补与补(余余)角角第第2课时课时补角和余角补角和余角1课堂堂讲解解u余角和余角和补角的定角的定义u余角和余角和补角的性角的性质2课时流程流程逐点逐点导讲练课堂课堂小结小结课后课后作业作业1知知识点点余角和余角和补角的定角的定义知知1导定定义：如果两个角的和等于一个平角，就：如果两个角的和等于一个平角，就说这两个两个角互角互为补角，角，简称互称互补，其中一个角是另一个角的，其中一个角是另一个角的补角如果两个角的和等于一个直角，就角如果两个角的和等于一个直角，就说这两个两个角互角互为余角，余角，简称互余，其中一个角是另一个角的称互余，其中一个角是另一

2、个角的余角余角(来自来自点点拨)知知1讲下列下列说法正确的有法正确的有()锐角的余角是角的余角是锐角，角，锐角的角的补角是角是锐角；角；直角没有直角没有补角；角；钝角没有余角，角没有余角，钝角的角的补角是角是锐角；角；直角的直角的补角角还是直角；是直角；一个一个锐角的角的补角与它的余角的差角与它的余角的差为90；两个角相等，两个角相等，则它它们的的补角也相等角也相等A3个个B4个个C5个个D6个个例例1B知知1讲导引：引：主要主要紧扣扣锐角、直角、角、直角、钝角、余角、角、余角、补角角的特征的特征进行判断，除行判断，除不正确外，其他不正确外，其他说法都法都正确正确(来自来自点点拨)总结知知1讲

3、由于互余的两个角之和由于互余的两个角之和为90，所以，所以这两个角都两个角都为锐角；互角；互补的两个角之和的两个角之和为180，所以，所以这两个角两个角为一个一个锐角、一个角、一个钝角或两个角都角或两个角都为直角直角2知知识点点余角和余角和补角的性角的性质知知2导(来自教材来自教材)余角余角有无有无与与补角角类似的性似的性质？如果有，？如果有，你能你能说明道理明道理吗？思考思考归纳知知2讲同角（或等角）的补角同角（或等角）的补角相等相等； 同同角（或等角）的余角角（或等角）的余角相等相等.知知2讲(来自教材来自教材)如如图4-31，1=3,1与与2互互补，3与与4互互补，那么，那么2与与4有什

4、么关系？有什么关系？例例2图4-31知知2讲(来自教材来自教材)解解：因因为1与与2互互补，所以，所以2=180-_.因因为3与与4互互补，所以，所以4=180-_.又因又因为1=3,所以所以_=_.1342总结知知2讲(来自来自点点拨)1.补角的性角的性质：同角的：同角的补角相等，即：若角相等，即：若AB180，AC180，则BC.等角的等角的补角相等，即：若角相等，即：若AB180，DC180，AD，则BC.知知2讲(来自来自点点拨)2余角的性余角的性质：同角的余角相等，即：若：同角的余角相等，即：若AB90，AC90，则BC.等等角的余角相等，即：若角的余角相等，即：若AB90，DC90

5、，AD，则BC.知知2讲(来自来自点点拨)如如图，直直线AB与与COD的两的两边OC，OD分分别相交于点相交于点E，F，若，若12180.找出找出图中与中与2相等相等的角，并的角，并说明理由明理由例例3知知2讲(来自来自点点拨)导引：引：已知已知12180，说明明2是是1的的补角角根据同角根据同角(或等角或等角)的的补角相等，找出角相等，找出图中中1的其他的其他补角和角和2的其他的其他补角的角的补角角，便，便可可确定与确定与2相等的角相等的角总结知知2讲(来自来自点点拨)“同角同角(或等角或等角)的余角相等的余角相等”“同角同角(或等角或等角)的的补角相等角相等”的的实质是等量代是等量代换，在

6、特定的背景下使，在特定的背景下使用起来更便捷用起来更便捷(来自来自典中点典中点)知知2练C若若90，90，则与与的关系是的关系是()A互余互余B互互补C相等相等D904(来自来自典中点典中点)知知2练C如如图，直，直线AB，CD交于点交于点O，因，因为13180，23180，所以，所以12的依的依据是据是()A同角的余角相等同角的余角相等B等角的余角相等等角的余角相等C同角的同角的补角相等角相等D等角的等角的补角相等角相等5知知2练B如如图,点点O在直在直线AE上上,OB平分平分AOC,BOD90,则DOE和和COB的关系是的关系是()A互余互余B互互补C相等相等D和是和是钝角角62知知识点点

7、角的平分角的平分线知知2导(来自来自点点拨)定定义：在角的：在角的内部内部,以以角的角的顶点点为端点的一条端点的一条射射线把把这个角分成两个相等的个角分成两个相等的角角,这条射条射线叫做叫做这个个角的平分角的平分线.要点要点精精析：析：(1)角平分角平分线是在角的内部从角的是在角的内部从角的顶点引出点引出的一条的一条射射线,不是不是直直线或或线段段；(2)角平分角平分线把角分成了两个相等的角把角分成了两个相等的角知知2讲例例3如如图，12，34，则下列下列结论：AD平分平分BAF；AF平分平分DAC；AE平分平分DAF；AF平分平分BAC；AE平分平分BAC中中，正确的有，正确的有()A4个个

8、B3个个C2个个D1个个C(来自来自点点拨)知知2讲导引：引：由角的平分由角的平分线的几何表示可知：当的几何表示可知：当12时，AE平分平分DAF；再由；再由34可得可得1324，即，即BAECAE，因此，因此AE平平分分BAC.(来自来自点点拨)总结知知2讲判断一条射线是不是角的平分线，只要看这条判断一条射线是不是角的平分线，只要看这条射线是否射线是否将角分成相等的两个角将角分成相等的两个角(来自来自点点拨)知知2讲如如图，OC是是AOD的平分的平分线，OE是是BOD的平分的平分线(1)如果如果AOB130,那么那么COE是多少度是多少度？(2)在在(1)的条件下的条件下,如果如果DOC20

9、,那么那么BOE是多少度？是多少度？例例4知知2讲导引：引：(1)由已知可知由已知可知DOCAOD，DOEBOD.由于由于COEDOCDOE，因此，因此，COEAODBODAOB.(2)结合合(1)的的结论可求出可求出DOE的度数，从而求出的度数，从而求出BOE的度数的度数知知2讲(来自来自点点拨)解解：(1)因因为OC平分平分AOD，所以，所以DOCAOD.因因为OE平分平分BOD，所以，所以DOEBOD.所以所以COEDOCDOE(AODBOD)AOB13065.知知2讲(来自来自点点拨)(2)由由(1)可知可知COE65，因，因为DOC20,所所以以DOECOEDOC45.因因为OE平平

10、分分BOD，所以，所以BOEDOE45.总结知知2讲1利用角平分利用角平分线进行行计算算时，要灵活运用，要灵活运用角平角平分分线的的几种不同表达方式几种不同表达方式2在在计算角的大小算角的大小时，常常要用到等量代，常常要用到等量代换，用已知用已知角代替与它相等的未知角角代替与它相等的未知角(来自来自点点拨)(来自来自典中点典中点)知知2练D点点P在在MAN的内部，的内部，现有有4个等式：个等式：PAMNAP；PANMAN；MAPMAN；MAN2MAP，其中能表示，其中能表示AP是是MAN的平分的平分线的有的有()A1个个B2个个C3个个D4个个3(来自来自典中点典中点)知知2练D如如图，若有，

11、若有BADCAD，BCEACE，则下列下列结论中中错误的是的是()AAD是是BAC的平分的平分线BCE是是ACD的平分的平分线CBCEACBDCE是是ABC的平分的平分线4(来自来自典中点典中点)知知2练C(中考中考大大连)如如图,点点O在直在直线AB上上,射射线OC平分平分BOD,若若COB35,则AOD等于等于()A35B70C110D14553知知识点点角的平分角的平分线知知3讲角的和与差：在角的和与差：在图中中，AOC是是AOB与与BOC的的和，和，记作作AOCAOBBOC，AOB是是AOC与与COB的差，的差，记作作AOBAOCCOB.类似地，似地，AOCAOBCOB.(来自来自点点

12、拨)知知3讲(来自教材来自教材)例例5如如图4-27,求解下列求解下列问题：（1）比比较AOC与与BOC,BOD与与COD的的大小大小;（2）将将AOC写成两个角的和与两个角的差写成两个角的和与两个角的差的形式的形式.图4-27知知3讲(来自教材来自教材)（1）由由图4-27可以看出：可以看出：AOCBOC（OB在在AOC内）内）BODCOD.(OC在在BOD内）内）（2）AOC= AOB + BOC,AOC=AODDOC.解解：知知3讲(来自来自点点拨)如如图所所示，已知示，已知AB为一条直一条直线，O是是AB上一上一点，点，OC平分平分AOD，OE在在BOD内内，DOEBOD，COE75，

13、求，求EOB的度数的度数例例6知知3讲(来自来自点点拨)导引：引：本本题中用到角的平分中用到角的平分线及角的和、差、倍、及角的和、差、倍、分关系，涉及的角分关系，涉及的角较多，多，应注意利用注意利用这些数量关系些数量关系将未知角用已知角表示出来将未知角用已知角表示出来知知3讲(来自来自点点拨)设AOD的度数的度数为x，则BOD(180x).因因为OC平分平分AOD，DOEBOD，所以所以CODAOD，DOEBOD(180x).解：解：知知3讲(来自来自点点拨)由于由于COECODDOE75，因此因此=75，解得，解得x90.所以所以BOD180AOD1809090，EOBBOD60.总结知知3

14、讲(来自来自点点拨)(1)几何几何题中包含多个已知量，条件包含多个数中包含多个已知量，条件包含多个数量量关系关系，我，我们可可选一个恰当的量一个恰当的量为x，再用，再用这个个x来来表示其他表示其他未知量；未知量；(2)利用方程思想利用方程思想进行行计算，往往能算，往往能达到达到意想不到的效果意想不到的效果知知3讲例例7如如图，把一把一张长方形方形纸片沿片沿EF折叠后，折叠后，点点D，C分分别落在点落在点D，C的位置，若的位置，若DEF75，则AED等于等于()A.75B.65C.30D.25C知知3讲导引：引：由于由于AED180DEFDEF，DEF为已知角，而已知角，而DEFDEF，易求得，

15、易求得AED的度数的度数(来自来自点点拨)总结知知3讲(来自来自点点拨)折叠问题中的折痕平分被折边与原边的夹角折叠问题中的折痕平分被折边与原边的夹角(来自来自典中点典中点)知知3练C(中考中考佛山佛山)若一个若一个60的角的角绕顶点旋点旋转15，则重叠部分的角的大小是重叠部分的角的大小是()A15B30C45D756(来自来自典中点典中点)知知3练D如如图，AODAOC()AAOCBBOCCBOD DCOD7(来自来自典中点典中点)知知3练B(中考中考滨州州)借助一副三角尺，你能画出下面哪借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角个度数的角()A65B75C85D9581.余角、余角、补角理解要

16、点：角理解要点：(1)互余和互互余和互补是指两个角的数量关系，而不是多是指两个角的数量关系，而不是多角角之之间的关系的关系(2)互余、互互余、互补的两个角，只与它的两个角，只与它们的数量的数量(和和)有关，有关，与它与它们的位置无关的位置无关2求一个角的余角或求一个角的余角或补角的方法角的方法：我我们在求有关在求有关图形的角度形的角度问题时，通常把一个，通常把一个角角设为未知数，表示出其他角，未知数，表示出其他角，进而利用方程而利用方程求解，求解，这时我我们用到的便是方程思想方程思用到的便是方程思想方程思想是指所求想是指所求问题通通过列方程求解的一种思列方程求解的一种思维方方法，是解几何法，是解几何问题的的重要策略重要策略请完成完成点点拨训练P128对应习题