单调性和极值

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1、5. 4 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 函数yf(x)的图象有时上升 有时下降 如何判断函数的图象在什么范围内是上升的 在什么范围内是下降的呢？一、函数单调性判别法一、函数单调性判别法 f (x)0 f (x)0 则则f(x)在在a b上严格单调上严格单调增加增加 (2)如果在如果在(a b)内内f (x)0 则则f(x)在在a b上严格单调上严格单调减少减少 由拉格朗日中值公式 有 f(x2) f(x1) f (x)(x2x1) (x1x0 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加 证明证明

2、 只证(1) 在(a b)内任取两点x1 x2(x10 则则f(x)在在a b上严格单上严格单调增加调增加 (2)如果在如果在(a b)内内f (x)0 则f(x)在a b上严格单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 因此函数yx3在区间( 0及0, )内严格单调增加 从而函数在整个定义域( )内严格单调增加 例例例例2 2 2 2 1 设函数 yf(x)在a b上连续 在(a b)内可导 x1 x2是 f (x)的两个相邻的零点 问f(x)在x1 x2上是否单调？ 讨论讨论结论：结论：由单调性判别法可知由单调性判别法可知f(x)在在x1 x2上一定单调。上一定单调。 2.设函数 yf

3、(x)在a b上连续 在(a b)内可导 x1 x2是 f (x)的两个相邻的零点 问f (x)在(x1 x2) 内符号如何判断？ 结论：结论：只要求出只要求出(x1 x2)内某一点的符号，即可知内某一点的符号，即可知 f (x)在在(x1 x2) 内符号内符号 3 如何把区间a b划分成一些小区间 使函数 f(x)在每个小区间上都是单调的？ 结论：结论：解出使解出使f (x)=0的点，以这些点为分界点划分的点，以这些点为分界点划分a bx xf f ( (x x) )f f ( (x x) ) 例例3 确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间 解解 这个函数的定义域为( ) f (x)

4、6x218x126(x1)(x2) 导数为零的点为x11、x22 列表分析 函数f(x)在区间( 1和2 )内单调增加 在区间1 2上单调减少 ( 1) (1 2) (2 ) y2x39x212x3 解解 函数的定义域为( ) 所以函数在0 )上单调增加 因为x0时 y0 所以函数在( 0 上单调减少 因为x0时 y0 例例5 求证当求证当x 0时时 ex 1+xx xf f ( (x x) )f f ( (x x) )求导数 f (x)ex1列表判断：又因 f(0)=0所以x 0时，f(x) 0 即 ex 1+x（ x 0） ( 0)(0 )+ 因为当x1时 f (x)0 所以f(x)在1

5、)上f(x)单调增加 因此当x1时 f(x)f(1)0 即 例例6 证明证明 0yx二、极值及其判别法二、极值及其判别法二、极值及其判别法二、极值及其判别法 定义定义 设函数f (x)在(a, b)内有定义，x0 是(a, b)内一点，若点x0存在一个邻域，使得对此邻域内任一点x (x x0)总有 (1) f (x) f (x0) ,则称f (x0)为 函数f (x)的一个极小值，称x0为函数f (x)的一个极小值点 函数极大值与极小值统称为极值。极大值点与极小值点统称为极值点。abACBDEFy=f(x) 极值与最值的区别极值与最值的区别（1）最值是在一个区间上考虑，是整体的、绝对的、唯一的

6、；而极值只就某个邻域来考虑，是局部的、相对的、不唯一的。（2）最值可取端点，极值不会取到端点。（3）一个区间上最大值一定大于或等于最小值，但极大值未必大于极小值。问题：问题： 如何求函数的极值点？如何求函数的极值点？0yxabACBDEFy=f(x)0yx定理定理2（极值存在的必要条件）（极值存在的必要条件） 如果函数如果函数f(x)在点在点x0处有极值处有极值f (x0) ，且，且f (x0)存在，存在，则必有则必有f (x0)=0abACBDEFy=f(x) 驻点：驻点：使导数f (x)为零的点（即方程f (x0)=0的实根）称为函数f(x)的驻点，又称稳定点。 可导的函数可导的函数f(x

7、)的极值点必为的极值点必为f(x)的驻点，但驻的驻点，但驻点不一定是极值点。点不一定是极值点。如：如：函数f(x) x3 f (x) 3x2 显然 当x0时 f (x) 0即 x0为f(x) 的驻点但 x0不是f(x) 的极值点 导数不存在的点也有导数不存在的点也有可能为极值点可能为极值点 因此，所有可能为极因此，所有可能为极值点的点是方程值点的点是方程f (x0)=0的的根及根及导数不存在的点导数不存在的点 关于极值点与驻点的关系：关于极值点与驻点的关系： （1）两类点定义的出发点不同。）两类点定义的出发点不同。 极值点是指函数在这一点处的函数值大于或小于该点极值点是指函数在这一点处的函数值

8、大于或小于该点邻域内任何其它点的函数值；邻域内任何其它点的函数值； 驻点是指导数为零的点驻点是指导数为零的点 因此极值点可以是可导点也可以是不可导点，而驻点因此极值点可以是可导点也可以是不可导点，而驻点一定是可导点。一定是可导点。 （2）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导，）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导，则函数的极值点一定是驻点，反之不成立；则函数的极值点一定是驻点，反之不成立； （3）驻点成为极值点的条件：若）驻点成为极值点的条件：若f (x)在驻点在驻点左右邻域左右邻域内符号相反，则此驻点一定为极值点内符号相反，则此驻点一定为极值点定理定理3 3（极值的第一判别法）（极值

9、的第一判别法） 设函数设函数f(x)在在x0点的某一邻域点的某一邻域(x0 , x0 )内连续，内连续，除点除点x0外，在此邻域内可导，其导数外，在此邻域内可导，其导数f (x)在点在点x0的左右的左右附近保持着确定的符号，这时有三种情况：附近保持着确定的符号，这时有三种情况： （1）当）当x0，当当x x0时，时， f (x) 0，则则f(x)在在x0点点取得极大值；取得极大值； （2）当）当x x0时，时， f (x) x0时，时， f (x) 0，则则f(x)在在x0点取得极小值；点取得极小值； （3） f (x)在在经过经过x0点时不改变符号，则点时不改变符号，则f(x)在在x0点不点

10、不取极值。取极值。x xf f ( (x x) )f f ( (x x) ) 例例7 求函数f(x)2x39x212x3的极值 解解 函数的定义域为( ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 令f (x)=0，得驻点为x11、x22 用驻点将定义域分成三个区间，列表 故函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)=2，在x=2处取得极小值f(2)=1 ( 1) (1 2) (2 ) y2x39x212x312极大值2极小值100例例8 求函数f(x) (x2 1)3 1的极值 解解 函数的定义域为( ) f (x)6x(x2 1)2 令f (x)=0，得驻点为x10、x21、 x3 1

11、用驻点将定义域分成四个区间，列表 x xf f ( (x x) )f f ( (x x) )( 1) (1 ) (1 0) (0 1) 故函数f(x) 在x=0处取得极小值f(0)=0无极值无极值极小值0110000 解解 函数的定义域为( ) 所以函数在0 )上单调增加 因为x0时 y0 所以函数在( 0 上单调减少 因为x0时 y0 例例4 故函数f(x) 在x=0处取得极小值f(0)=0说明说明 导数不存在的点导数不存在的点也有可能为极值点也有可能为极值点 例例9 证明二次函数y ax2 bx c (a0)的极值点为 ， 并讨论它的极值 证明：证明：函数y ax2 bx c (a0)的定

12、义域为( ) y=2ax+b (1)若a 0，则当x 时，当x 时，故x0= 是函数的极小值，有y=2ax+b= 2a (x + ) 0有y=2ax+b= 2a (x + ) 0且极小值为令 y=2ax+b=0，得驻点为x0= (2)若a 0，则当x 时，当x 时，故x0= 是函数的极大值，有y=2ax+b= 2a (x + ) 0有y=2ax+b= 2a (x + ) 0极大值为：求函数求函数极值极值(第一判别法第一判别法)小结：小结： (1)确定函数的定义域确定函数的定义域 (2)求出求出f (x),令令f (x) =0，解方程得驻点及导数不存在的点解方程得驻点及导数不存在的点为分界点为分

13、界点 (3)用分界点把定义域分成若干个开区间用分界点把定义域分成若干个开区间 (4)判断或列表判断判断或列表判断f (x) 在各个分界点左、右的符号，由在各个分界点左、右的符号，由极极值第一判别法值第一判别法可确定函数可确定函数极值极值 练习练习2 2：用极值第一判别法求函数 的极值 解：解：定义域为定义域为( ) 令f (x)=0，解得x10、x22列表分析x xf f ( (x x) )f f ( (x x) ) ( 0)(0 2)(2 )0200极小值0极大值2e-2故函数f(x) 在x=0处取得极小值f(0)=0,在x=2处取得极大值f(2)= 2e-2 定理定理4 4（极值的第二判别

14、法）（极值的第二判别法） 设函数设函数f(x)在点在点x0处有二阶导数且处有二阶导数且f (x0)=0， f (x0)0，则则 （1）当）当f (x0)0时，函数时，函数f(x)在在x0点取得极小值。点取得极小值。 证：证：（1）由于 f (x0)0 则则f(x)在在a b上严格单调上严格单调增加增加 (2)如果在如果在(a b)内内f (x)0 则则f(x)在在a b上严格单调上严格单调减少减少 (1)确定函数的定义域确定函数的定义域 (2)求出求出f (x),令令f (x) =0，解方程求分界点解方程求分界点 (3)用分界点把定义域分成若干个开区间用分界点把定义域分成若干个开区间 (4)判

15、断或列表判断判断或列表判断f (x) 在各个开区间上的符号，在各个开区间上的符号，由单调性判别法可确定单调区间由单调性判别法可确定单调区间 设函数设函数f(x)在在x0点的某一邻域点的某一邻域(x0 , x0 )内连续，内连续，除点除点x0外，在此邻域内可导，其导数外，在此邻域内可导，其导数f (x)在点在点x0的左右的左右附近保持着确定的符号，这时有三种情况：附近保持着确定的符号，这时有三种情况： （1）当）当x0，当当x x0时，时， f (x) 0，则则f(x)在在x0点点取得极大值；取得极大值； （2）当）当x x0时，时， f (x) x0时，时， f (x) 0，则则f(x)在在x

16、0点取得极小值；点取得极小值； （3） f (x)在在经过经过x0点时不改变符号，则点时不改变符号，则f(x)在在x0点不点不取极值。取极值。（4）极值第一判别法及步骤极值第一判别法及步骤求函数求函数极值极值(第一判别法第一判别法)步骤：步骤： (1)确定函数的定义域确定函数的定义域 (2)求出求出f (x),令令f (x) =0，解方程得驻点及导数不存在的点解方程得驻点及导数不存在的点为分界点为分界点 (3)用分界点把定义域分成若干个开区间用分界点把定义域分成若干个开区间 (4)判断或列表判断判断或列表判断f (x) 在各个分界点左、右的符号，由在各个分界点左、右的符号，由极极值第一判别法值

17、第一判别法可确定函数可确定函数极值极值 （5）极值第二判别法及步骤极值第二判别法及步骤 设函数设函数f(x)在点在点x0处有二阶导数且处有二阶导数且f (x0)=0， f (x0)0，则则 （1）当）当f (x0)0时，函数时，函数f(x)在在x0点取得极小值。点取得极小值。 第二判别法求函数极值的步骤：第二判别法求函数极值的步骤： (1)求一阶导数求一阶导数f (x)，令，令f (x)=0 得驻点得驻点x=x0 ； (2)求二阶求二阶导数导数f (x)，并求出并求出f (x0)的值；的值； (3)当当f (x0)0时，由极值第二判别法得出时，由极值第二判别法得出x0为极值为极值点；点；当当f (x0)=0时，由极值第一判别法判断时，由极值第一判别法判断x0点点是否为极值。是否为极值。作业：作业：