金融数学均值方差分析与资本资产定价模型ppt课件

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1、数学与信息科学学院1 在2013-2014年度我承担的教学任务是应用时间序列分析和概率统计公共课。在进一步总结上一年经验教训的基础上，在这一学年的教学中，我更加尽心尽力，并注意细节和改革。 这一年下来，说实话感觉很累。应用时间序列分析这门课上学的时候学过，但当时的教材是北大编的研究生教材，理论性很强，又缺乏实际的操作。于是我从图书馆借了所有的时间序列教材，经过精心挑选，比较，最终选择了中国人民大学出版社出版的经典教材。之所以选择它，是因为这本书能够很好的融合理论与实践。2应用时间序列分析是一门理论性和应用性都很强的课程，不能把理论和应用割裂开来，而要注重二者的结合。只讲理论，则失去了应用价值；

2、只讲应用，学生会缺乏基本的理论素养和科研创新基础。数学专业要避免只重数学专业要避免只重视定性分析的理论推导而忽视进行定量分析的实际操作视定性分析的理论推导而忽视进行定量分析的实际操作，因此，选择一套适合专业需求的教材，灵活把握好理论和实践的“度”，恰当地处理好基础知识和应用的衔接与搭配，是做好时间序列分析课教学改革的关键所在。3 从定下这本书开始，到最终讲课，看了足有从定下这本书开始，到最终讲课，看了足有10遍遍。 对这门课的准备还得从蒋翠霞老师在说起，那时就准备接手这门课，所以已经把这本书的第一版利用寒暑假看了两三遍，课后题也做了一遍。后来在准备考试时，又看了一本金融计量学-时间序列分析视角

3、。所以后来张学清主任找我讲这门课的时候我很爽快的答应了。并且利用暑假时间看了课件。但当我真正开始上课，我感觉后悔了。这门专业课要想给同学们讲好，要求对内容的熟悉与贯通远远不是能够看懂这么简单。一周只有两次课，但除了上课的时间，基本上就是在备课，很耗心血，有时晚上孩子说想让妈妈陪睡觉，但课还没背完，也没办法，有时想来真的是不易。4 从教学计划，实验计划，实验大纲，实验指导书的制定，到最终多媒体教学的完成，每一步都倾注了大量的心血，学生的实验报告一次就70份，每次都要评阅。除了实验报告，还有纯数学的理论推导和计算题作业需要批改，任务量很大。除了上课，同学们在完成实验或论文时也总会遇到问题，所以课下

4、也经常与同学们用短信，qq，email等多种方式沟通讨论。5总体感觉，老师教的累，学生学得累，原因就是任务量大，但付出总会有回报，期末考试，同学们理论基础扎实熟练，平均分80分以上，并且动手实践能力强，熟练掌握EVIEWS软件，所写论文水平高，有些同学的论文经过修改已经能够发表。同学们也对我的工作给予了肯定，单这门课的评教成绩给出了94.93分，并且在各级领导的支持下我还成功获批教改项目一项。下面我将课程设计和改革方面做简单的介绍。61. 注重教学理念的创新和教学方法的多样化注重教学理念的创新和教学方法的多样化. 时间序列分析课兼具理论性、实用性和可操作性，单一的教学模式根本无法体现该课程的多

5、重特点，所以在讲授过程中我会根据教学内容，灵活采取多种教学手段和教学方式。 比如，在讲解AR模型的方差时，必须要给出AR模型的传递形式，而对于Green函数的推导过程，仅通过学生自己看书推导是很难完成的，我就会通过多媒体给出主要思路，尽可能采取启发式，大家共同讨论给出详细推导过程，然后在黑板上写出来。7 像这样的大篇幅的理论推导在时间序列分析这门课中并不少，它的理论类似于随机过程，但讨论的是时间序列。而对于模型的创建和预测，可以结合案例，通过讲解，再让学生在实验室通过上机操作研究和处理。通过自主探究和团队合作综合解决问题。82.以实验室建设为依托，大力发展统计软件的学以实验室建设为依托，大力发

6、展统计软件的学习和使用，增强时间序列分析课的实用性习和使用，增强时间序列分析课的实用性. 时间序列分析的应用离不开统计软件，要想有效地分析数据、解决实践问题，必须掌握一两门统计软件。对数学专业的学生来说，主要掌握eviews以及spss软件，不仅是因为它是目前最权威的计量分析领域的国际标准软件， 而且具有操作简单，输出结果清晰容易理解，软件所占空间小等优势。9 我给同学们建了公共邮箱，每次实验的数据，包括例题和习题，都整理好发到公共邮箱里，并自编了实验指导书，作为每次实验的参考。为了给同学们实践的机会，还特意布置了课程论文，光是课程论文的题目我就准备了2个星期，要选择同学们通过努力能完成的，又

7、要选择能够找到数据的，在写论文之前又要讲解论文的写作发法，不过最终同学们都很努力，一共11小组，都顺利的提交了论文，而且完成的都很出色。103.精心选择有实际意义的案例研究，融入时间序列精心选择有实际意义的案例研究，融入时间序列分析课堂教学分析课堂教学. 根据教学内容的需要，精心选择有代表性、有针对性和客观性强的数据资料作为案例，在讲授这门课时我手里的参考书就10多本，然后对案例进行细致的剖析和广泛的讨论，一方面致力于解决实际问题，同时也让学生直接体会到理论知识在现实中的应用，这种教学方式能够极大地激发学生学习的积极性和主动性。 以平稳时间序列模型为例：设计一个问题情景：选择合适的ARMA模型

8、拟合18801985年全球气表平均温度改变值差分序列。11面对这样的问题，学生先小组讨论。然后是给出序列自相关图和偏自相关图；最后选择模型，进行模型估计，模型检验。12每个小组根据小组讨论的结果，根据AIC准则和BIC准则给出最终的优化模型。教师针对每个小组给出的解决方案，给予点评，并进一步总结平稳序列建模的方法。134.转变考核方式，从横、纵两个方向拓宽时间序转变考核方式，从横、纵两个方向拓宽时间序列分析课程考核方式，提升学生的综合实践能力。列分析课程考核方式，提升学生的综合实践能力。 结合这门课的特点，考核方式做了很大变动，体现了过程性评价的内容：包括学生的课堂表现、实验报告、课外作业、课

9、程论文设计以及期末考试等1、课堂表现课堂表现考核考核评价（评价（10%）：包括出勤率、小组合作、小组过程设计、回答问题等以及课堂参与的积极性，以及每名同学的上课表现。2、作业情况、作业情况考核考核评价（评价（10%）：包括课后作业的完成数量和质量。143 实验报告考核（实验报告考核（20%）：）：每次实验的例题习题的完成情况，以及所采用的方法和命令是否正确，以及格式步骤是否得当。4 课程论文课程论文(项目项目)考核（考核（20%）：）：综合考核学生的实践能力，以及分析问题解决问题的能力，以及小组合作情况。5、考试、考试考核考核评价（评价（40%）：对学生期末考试等大型检测的成绩，主要考核学生对

10、理论知识的掌握情况。15对公共公共课的教学，我仍然的教学，我仍然坚持，提持，提纲挈挈领， 融会融会贯通，通， 化繁化繁为简 ，轻松掌握的原松掌握的原则。 用最通俗易懂的用最通俗易懂的语言，言言，言简意意赅的去表达的去表达，用生活中的例子做类比，让同学们能轻松的理解与掌握要学的知识点，并且不容易忘记。每堂课复习上节所学知识点，进而引出要学的新知识，做到温故知新。对知识点的理解是：概念-例题-习题-概念的过程来完成，通过习题理解定义，掌握方法，探讨数学中的哲理，从书本中来，到生活中去，再体会书中知识。力求学以致用。 1617181920第2章 均值方差分析21第2章 均值方差分析1.1.两种证券投

11、资组合的均值两种证券投资组合的均值- -方差方差2.2.均值均值- -方差分析及两基金分离定理方差分析及两基金分离定理本章内容概览本章内容概览3.3.具有无风险资产的均值具有无风险资产的均值- -方差分析方差分析0.0.证券投资组合理论概述证券投资组合理论概述22n 投资组合理论形成 马柯维兹(Harry Markowitz)1952年在 Journal of Finance发表了论文资产组合的选择，标志着现代投资理论发展的开端。第第0节证券投资组合理论概述节证券投资组合理论概述23 马科维茨1927年8月出生，在芝加哥大学读经济系。在研究生期间参加了计量经济学会的证券市场研究工作。马科维茨认

12、为投资者并不简单地选内在价值最大的股票，而不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险。当时主流意见是集中投资。24 马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文，1959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。 马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。25投资过程n投资过程的两个重要任务： 进行证券分析和市场分析：评

13、估所有可能投资工具的风险和期望回报率特性 在对证券市场进行分析的基础上，投资者确定最优的证券组合：从可行的投资组合中确定最优的风险-回报机会，然后决定最优的证券组合最优投资组合理论n选择的目标：使得均值-标准差平面上无差异曲线的效用尽可能的大n选择的对象：均值 -标准差平面上的可行集26n 投资组合理论的假设条件投资者遵循效用最大化原则；投资期为1期；投资者是风险回避者；投资者根据均值、方差及协方差来选择最佳投资组合；市场是完善的；27 投资组合的过程 资本配置 整个资产中无风险资产和风险资产之间的配置比例 资产配置 风险资产组合的投资决策，两种和更多风险资产如何组合 找到证券组合的有效前沿，

14、与投资者效用函数相切获得最优投资组合28投资组合理论的基本思想投资组合是一个风险与收益的 权衡问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。“nothing ventured, nothing gained”for a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk level to maximize the return“Dont put all eggs into one basket”29实现方法q收益证券组合的期望报酬q风险证券组合的方差q风险和收益的权衡求解二次规划30第第1节

15、节 两种证券投资组合的均值两种证券投资组合的均值-方差方差1.1 投资组合投资组合设有两种风险资产证券，设有两种风险资产证券， 记为记为A和和B， 31注：权重为正数，意味着投资者买入该资产。注：权重为正数，意味着投资者买入该资产。如果是卖空，投资于资产的权重是负数。如果是卖空，投资于资产的权重是负数。 例如：假设你借例如：假设你借100股某公司的股票，市场价格为股某公司的股票，市场价格为10元，元，那么将股票卖出，可获得那么将股票卖出，可获得1000元现金。一段时间元现金。一段时间之后，该股票的价格之后，该股票的价格5元，你在市场上购买元，你在市场上购买100股，股，支付现金支付现金500，

16、两者之间的差额为，两者之间的差额为500元，你可以获利。元，你可以获利。32举例说明举例说明 1.如果你有资金如果你有资金1000元，投资于证券的金额元，投资于证券的金额为为400元，投资于证券的金额为元，投资于证券的金额为600元，元， 则有则有33举例说明举例说明2.假设你有资金假设你有资金1000元，卖空证券获现金元，卖空证券获现金600元，共有元，共有1600元，投资于证券，于是元，投资于证券，于是对于资产对于资产 则有则有34投资组合的期望收益与方差投资组合的期望收益与方差 设证券设证券A的收益率为的收益率为RA，证券，证券B的收益率的收益率RB是随机变量，是随机变量， 假设我们已知

17、假设我们已知RA和和RB的概率分布，的概率分布， 称称35投资组合的期望收益与方差投资组合的期望收益与方差则期望收益36投资组合的期望收益与方差投资组合的期望收益与方差37例2.138例2.1（续）39例2.240例2.2（续）41例2.3421.2 联合线联合线假设假设由式（由式（1）（1）假设）假设 和和不相关，不相关， 由式（由式（2）43设自有资金设自有资金1000元，元， 卖空证券收入为卖空证券收入为500元，元， 将这两种资金将这两种资金(共共1500元元)投资于证券投资于证券， 计算得计算得代入式（代入式（3）和式（）和式（4）得）得44表表2.1 不同投资组合的期望收益和收益标

18、准差不同投资组合的期望收益和收益标准差1.500.1300.0900.750.0850.0450.500.0700.0560.250.0550.076-0.50.0100.152利用上述表格中的数据在利用上述表格中的数据在 的坐标系之下画出一条曲线的坐标系之下画出一条曲线称为证券称为证券A和证券和证券B的联合线（结合线）。的联合线（结合线）。45联合线联合线图图2.1 证券证券A和和B的收益率完全不相关时的联合线的收益率完全不相关时的联合线卖空B投资于A同时投资于A和B 卖空A投资于B46假设相关系数不为零，假设相关系数不为零，（2） 假设假设RA和和RB完全正相关完全正相关,在（在（RA，R

19、B）坐标系内，）坐标系内，是一条斜率为正的一条直线，即是一条斜率为正的一条直线，即如果如果47图图2.2 证券证券A和证券和证券B收益率完全正相关时的示意图收益率完全正相关时的示意图48当当RA和和RB完全正相关时，相关系数完全正相关时，相关系数由式由式(3.1.2)， 49表表2.2 不同不同wA值的期望收益率和收益率标准差值的期望收益率和收益率标准差3.000.2200.05002.000.1600.00001.500.1300.02500.750.0850.06250.500.0700.07500.250.0550.0875-0.50.0100.125050正相关时的联合线正相关时的联合

20、线51（3） 假设假设RA和和RB完全负相关完全负相关,在（在（RB，RA）坐标系内，）坐标系内，是一条斜率为负的一条直线，即是一条斜率为负的一条直线，即得得解得解得52于是得此直线的方程为于是得此直线的方程为 图图2.3 证券证券A和证券和证券B收益率完全负相关情况下的示意图收益率完全负相关情况下的示意图53当当RA和和RB完全负相关时，完全负相关时， 相关系数为相关系数为-1， 此时此时 3.000.2200.35002.000.1600.20001.500.1300.12500.6670.0800.00000.2500.0550.0850-0.500.0100.1750表表2.3 不同不

21、同wA值的收益率期望和标准差值的收益率期望和标准差546248101214160246810121418完全负相关的情况完全负相关的情况556248101214160246810121418图图2.4 3种不同情况下的联合线种不同情况下的联合线561.3 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析设有两种证券设有两种证券A和和B， 证券证券A的期望收益记为的期望收益记为 证券证券B的期望收益记为的期望收益记为 设设设投资于证券设投资于证券A的资金权重为的资金权重为 投资于证券投资于证券B的权重记为的权重记为 满足满足投资组合投资组合 的期望收益记为的期望收益记为 则有则有投资组合的收益

22、率投资组合的收益率 的方差的方差 57由式由式(9)和式和式(10)解得解得代入式代入式(10)，得，得整理后，可得整理后，可得581.3 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析若若RA和和RB不完全相关，不完全相关， 则则于是式于是式(12) 的右端作为的右端作为 的二次函数恒大于零，的二次函数恒大于零， 可以写成可以写成 的形式。的形式。 代入式（代入式（12），得），得易见方程易见方程(13)在在 平面上的图形是双曲线，平面上的图形是双曲线， 由于由于 它只有开口向右的一支。它只有开口向右的一支。 591.3 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析（1）若）若RA

23、和和RB完全正相关，完全正相关， 可见方程可见方程(14)的图形是从的图形是从 出发的两条射线，出发的两条射线， 其中的一条是其中的一条是 601.3 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析另一条是另一条是（2）如果）如果RA和和RB完全负相关，完全负相关， 此时此时 也是两条射线，也是两条射线， 这两条射线从这两条射线从 出发指向右方，出发指向右方， 611.3 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析其中一条通过点其中一条通过点 其方程为其方程为 另一条通过点另一条通过点 其方程为其方程为 621.3 两种投资组合均值两种投资组合均值-方差分析方差分析（3）如果）如果

24、RA和和RB无关，无关， 此时此时方程方程(12)变为变为 方程方程(20)是一条经过是一条经过 和和的双曲线的双曲线 ，其顶点为其顶点为 对应于此顶点的投资组合，方差最小，对应于此顶点的投资组合，方差最小， 其方差其方差 而其期望收益介于而其期望收益介于A和和B之间。之间。 63图图2.5 不同情况下投资组合均值与方差的关系不同情况下投资组合均值与方差的关系64可行区域可行区域 可行区域也称资产组合的机会集合。它表示在收可行区域也称资产组合的机会集合。它表示在收益和风险平面上，益和风险平面上，由多种资产所形成的所有期望收益由多种资产所形成的所有期望收益率和方差的组合的集合。率和方差的组合的集

25、合。 可可行行区区域域包包括括了了现现实实生生活活中中所所有有可可能能的的组组合合，即即所所有有可可能能的的证证券券投投资资组组合合将将位位于于可可行行集集的的内内部部或或边边界界上。上。6566第二节 均值方差分析及两基金分离定理 672.1投资组合的期望收益和方差投资组合的期望收益和方差设市场只有设市场只有n种风险资产，种风险资产， 仅有两个时刻，仅有两个时刻， 时刻时刻0代表今天，时刻代表今天，时刻1代表明天，代表明天， 其单期收益为其单期收益为 记记为收益率向量。为收益率向量。 设设称称w为投资组合，为投资组合， 其中其中wi是在第是在第i种资产种资产Xi上的投资比例，上的投资比例，

26、满足满足 这里没有这里没有 的限制，的限制， 说明市场有做空机制。说明市场有做空机制。 68以以表示第表示第i种资产收益的期望值，种资产收益的期望值， 为期望收益向量。为期望收益向量。 若若w为投资组合，为投资组合， 满足满足 投资组合的收益率投资组合的收益率 也是随机变量，也是随机变量， 其期望值其期望值 称为称为投资组合的期望收益投资组合的期望收益。69设设是是n维向量，维向量， 记记称称n阶矩阵阶矩阵 为收益率的方差协方差阵。为收益率的方差协方差阵。 如果如果 为可逆、正定的，为可逆、正定的， 投资组合投资组合 的收益率的收益率 的方差为的方差为 用矩阵表示用矩阵表示 702.1投资组合

27、的期望收益和方差投资组合的期望收益和方差有效投资组合有效投资组合 的假设条件的假设条件 (1) 仅存在无风险利率仅存在无风险利率Rf,可以无限制借贷，可以无限制借贷， (2) 假设市场上的投资者的效用函数都是均值方差效用函数，假设市场上的投资者的效用函数都是均值方差效用函数， (3) 假定市场无摩擦，即无任何交易成本，无税收，资产数量假定市场无摩擦，即无任何交易成本，无税收，资产数量 单位无限可分单位无限可分, (4) 假定市场的参与者都有相同的预期。假定市场的参与者都有相同的预期。 712.2 有效投资组合有效投资组合定义定义2.1 如果一个投资组合对确定的方差具有最大的期望收益，如果一个投

28、资组合对确定的方差具有最大的期望收益，或者对于确定的期望收益，有最小的方差，或者对于确定的期望收益，有最小的方差，这样的投资组合称为这样的投资组合称为“均值均值方差方差”有效的投资组合有效的投资组合。 定义定义2.2如果一个投资组合对确定的期望收益有最小的方差，如果一个投资组合对确定的期望收益有最小的方差，那么称该投资组合为那么称该投资组合为最小方差投资组合最小方差投资组合。 72可行资产组合均方有效前沿最小方差资产组合集注：阴影部分代表资产组合的可行区域，注：阴影部分代表资产组合的可行区域，AB弧表示的边界为有效资产组合集，弧表示的边界为有效资产组合集， 它也称为资产组合的它也称为资产组合的

29、有效前沿有效前沿“，而可行区域的整个边界（，而可行区域的整个边界（AB弧和弧和AC弧）弧） 即为即为最小方差资产组合集最小方差资产组合集。结论：均方有效的资产组合也是最小方差资产组合，但其逆不对。结论：均方有效的资产组合也是最小方差资产组合，但其逆不对。全局最小方差全局最小方差资产组合资产组合MVP可行区域可行区域732.3求最小方差投资组合的求最小方差投资组合的 数学模型及其求解数学模型及其求解求最小方差投资组合可归结为如下最优模型求最小方差投资组合可归结为如下最优模型的求解问题。的求解问题。 742.3求最小方差投资组合的求最小方差投资组合的 数学模型及其求解数学模型及其求解模型（模型（2

30、.4）是具有等式约束的二次规划问题，可以用）是具有等式约束的二次规划问题，可以用Lagrange乘数法求解，令乘数法求解，令 最优解的一阶条件为最优解的一阶条件为 752.3求最小方差投资组合的求最小方差投资组合的 数学模型及其求解数学模型及其求解假设假设 可逆，可逆， 由方程（由方程（2.5a）得到最优解）得到最优解: 将式（将式（2.6）代入式（）代入式（2.5c），得），得将式（将式（2.6）代入式（）代入式（2.5c）得）得76其中其中 (2.8a)因为因为 可逆，可逆， 又所以所以 由（由（2.7a）及（）及（2.7b）得）得 （2.8b)代入（代入（2.6）式，得）式，得 (2.9

31、a)77例2.478例2.4（续）792.4 均值方差分析均值方差分析对一般对一般n种资产的情形种资产的情形 收益水平收益水平 的最小方差投资组合的方差为的最小方差投资组合的方差为 再将再将 和和代入得代入得802.4 均值方差分析均值方差分析0在最小方差组合的方差在最小方差组合的方差均值空间是抛物线，均值空间是抛物线， 其顶点是其顶点是 图图2.6 最小方差组合的收益均值与方差的关系最小方差组合的收益均值与方差的关系812.4 均值方差分析均值方差分析讨论最小方差投资组合的期望收益和其标准差之间的关系讨论最小方差投资组合的期望收益和其标准差之间的关系 将方程（将方程（2.9b）改写为）改写为

32、 由（由（2.10）可见，在标准差均值空间种的图形是双曲线，）可见，在标准差均值空间种的图形是双曲线， 822.4 均值方差分析均值方差分析0图图2.7 最小方差组合的期望收益与标准差的关系最小方差组合的期望收益与标准差的关系全局最小方差资产组合832.5 两基金分离定理两基金分离定理讨论全体最小方差组合构成的集合的性质：讨论全体最小方差组合构成的集合的性质： 任何一个最小方差投资组合都可以用两个特殊的任何一个最小方差投资组合都可以用两个特殊的 最小方差投资组合的凸组合表示。最小方差投资组合的凸组合表示。这条性质称为两基金分离定理。这条性质称为两基金分离定理。 由式（由式（2.6）得）得842

33、.5 两基金分离定理两基金分离定理其中，其中， 假设假设 显然，显然， 而且由式（而且由式（2.8b）得）得852.5 两基金分离定理两基金分离定理令令则则所以所以具有如下性质：具有如下性质： 因为因为 所以对于权系数所以对于权系数 相应的资产组合的收益率相应的资产组合的收益率 862.5 两基金分离定理两基金分离定理由（由（2.9a）知，）知， 是全局最小方差投资组合是全局最小方差投资组合, 称称wd为分散化资产组合，为分散化资产组合， 对应的期望收益率为对应的期望收益率为将代入式（代入式（2.9a）得）得 由图由图2.6可见，可见， 相应于期望收益率相应于期望收益率 的最小方差投资组合是所

34、有有效投资组合的最小方差投资组合是所有有效投资组合中方差最小的一个，中方差最小的一个，称它为全局最小方差投资组合。称它为全局最小方差投资组合。 872.5 两基金分离定理两基金分离定理同样，同样， 将将 代入式（代入式（2.9a）可得）可得 因此因此 是相应于期望收益率是相应于期望收益率 的最小方差投资组合。的最小方差投资组合。 定理定理2.1 （两基金分离定理）：（两基金分离定理）： 任意最小方差投资组合都可以唯一的表示为全局最小方差投资组合任意最小方差投资组合都可以唯一的表示为全局最小方差投资组合 和可分散化资产组合和可分散化资产组合 的组合，即的组合，即 882.5 两基金分离定理两基金

35、分离定理这里这里 从定理从定理2.1可见可见 ，对于任意的对于任意的 相应的最小方差资产组合可以表示成相应的最小方差资产组合可以表示成相应于 和和的最小方差投资组合的最小方差投资组合和的组合的组合 。称称 和和为共同基金。为共同基金。 892.5 两基金分离定理两基金分离定理两资产组合两资产组合 和和期望收益之差期望收益之差因为因为 所以所以与与之差的符号取决于之差的符号取决于A的符号。的符号。 （1）如果全局最小方差的资产组合的收益率为正，则）如果全局最小方差的资产组合的收益率为正，则 在相应的双曲线的上半叶上。在相应的双曲线的上半叶上。 （2）如果）如果 则相反，在允许卖空的情况下，这种情

36、况也可能出现。则相反，在允许卖空的情况下，这种情况也可能出现。 902.5 两基金分离定理两基金分离定理注注1 对于任意两个不同期望收益水平的最小方差资产组合对于任意两个不同期望收益水平的最小方差资产组合 和和他们与他们与 和和有相同的分离作用，有相同的分离作用， 即即可表示为可表示为 和和的组合。的组合。 91注注1证明：证明：由两基金分离定理，由两基金分离定理， 和和可由可由和和表示如下表示如下由式（由式（2.18a）和式（）和式（2.18b），）， 将将和和解出，得解出，得 92注注1证明：证明：由由将（将（2.19）和（）和（2.10）代入，得）代入，得显然显然 这说明 可用可用 和的

37、组合来表示。的组合来表示。 932.5 两基金分离定理两基金分离定理注注2 对任意的投资组合对任意的投资组合w,有有 设设和和是两个最小方差组合，是两个最小方差组合， 则则94注注2 证明证明95注注2 证明证明962.5 两基金分离定理两基金分离定理若若是一个最小方差资产组合，是一个最小方差资产组合， 其方差不是全局最小值，其方差不是全局最小值， 则存在最小方差资产组合则存在最小方差资产组合 使使称称和和为零为零 相关（即协方差为零）的有效投资组合。相关（即协方差为零）的有效投资组合。97第三节 具有无风险资产的均值-方差分析983.1 3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有

38、效投资组合假定市场存在假定市场存在n n种风险资产种风险资产 及无风险资产及无风险资产 无风险资产的收益率是一常数，无风险资产的收益率是一常数， 设为设为 以以w w表示风险资产组合的权系数表示风险资产组合的权系数， 是投资于无风险资产的权系数，是投资于无风险资产的权系数， 表示投资于表示投资于n+1n+1种资产的投资组合的期望收益，种资产的投资组合的期望收益， 则则即即993.1 3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合 当投资者在市场上可以获得无风险资产时，当投资者在市场上可以获得无风险资产时，资产组合问题在两方面发生了变化。资产组合问题在两方面发生了变化。（1）与

39、只有风险资产的预算约束不同的是，若投资者）与只有风险资产的预算约束不同的是，若投资者 在无风险资产的投资权重为在无风险资产的投资权重为 正时，表示储蓄；若权正时，表示储蓄；若权 重为负，则表示为购买风险资产而筹集资金，即借贷。重为负，则表示为购买风险资产而筹集资金，即借贷。（2）与只有风险资产的预算约束不同的是，平均收益率）与只有风险资产的预算约束不同的是，平均收益率 的限制必须表达成超额收益率形式。的限制必须表达成超额收益率形式。1003.1 3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合最小方差资产组合问题可表示为如下的优化问题最小方差资产组合问题可表示为如下的优化问题

40、利用利用拉格朗日拉格朗日乘数法，求解此二次规划问题，令乘数法，求解此二次规划问题，令1013.1 3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合最优解的一阶条件为最优解的一阶条件为 解得最优解解得最优解 1023.1 3.1 具有无风险资产的有效投资组合具有无风险资产的有效投资组合则1033.2 具有无风险资产的均值方差分析具有无风险资产的均值方差分析 1043.2 具有无风险资产的均值方差分析具有无风险资产的均值方差分析（1 1）在均值方差坐标系下，最小方差资产组合的图形是抛物线，）在均值方差坐标系下，最小方差资产组合的图形是抛物线， （2 2）在均值和标准差坐标系下，图形

41、是从点出发的两条射线，）在均值和标准差坐标系下，图形是从点出发的两条射线， 斜率分别为斜率分别为 1053.3 3.3 两基金分离定理两基金分离定理1063.3 3.3 无风险资产情况下的两基金分离定理无风险资产情况下的两基金分离定理 所有最小方差资产组合可表示成两个不同的资产组合的所有最小方差资产组合可表示成两个不同的资产组合的资产组合，在这种情况下，有一种自然的基金选择资产组合，在这种情况下，有一种自然的基金选择 即无风险资产和不含无风险资产的组合，即所谓切点资产组合，即无风险资产和不含无风险资产的组合，即所谓切点资产组合， 其中其中 这一性质称为无风险资产存在情况下的这一性质称为无风险资

42、产存在情况下的“两基金分离定理两基金分离定理”或或“货币分离定理货币分离定理”。1073.4 3.4 切点组合的含义切点组合的含义1083.4 3.4 切点组合的含义切点组合的含义切点资产组合全局最小方差组合1093.4 3.4 切点组合的含义切点组合的含义证明证明1103.4 3.4 切点组合的含义切点组合的含义切线方程为1113.5 3.5 具有无具有无风险资产情况下的超情况下的超额收益率收益率于是112113114例3.5115例3.5（续）116例3.5（续）117例3.5（续）1183.5 3.5 具有无具有无风险资产情况下的超情况下的超额收益率收益率由式(3.10)得,由式（3.1

43、1）得所以1193.3.5 3.3.5 具有无具有无风险资产情况下的超情况下的超额收益率收益率定义定义3.3： 定理定理3.2: 当市场存在无风险资产时, 任意资产收益率 的超额收益率可以用如下公式表示 1203.6 市场仅存在风险资产情况下的超额收益率市场仅存在风险资产情况下的超额收益率由式(3.3.13)和式(3.3.14)，得1213.3.6 市场仅存在风险资产情况下的超额收益率市场仅存在风险资产情况下的超额收益率对双曲线上其他的最小方差资产组合，可通过使用全局方差最小资产组合和可分散化资产组合的资产组合来表示其收益率。由两基金分离定理,有利用式(3.3.11)和式(3.3.13)，得1

44、223.3.6 市场仅存在风险资产情况下的超额收益率市场仅存在风险资产情况下的超额收益率由式(3.3.17)和式(3.3.18)解出 此时代入式(3.19)得1233.6 市场仅存在风险资产情况下的超额收益率市场仅存在风险资产情况下的超额收益率结论：上半叶上最小方差资产组合的零beta资产组合 必在双曲线的下半叶，反之也成立。1243.6 市场仅存在风险资产情况下的超额收益率市场仅存在风险资产情况下的超额收益率定理定理3.3： 假设市场上不存在无风险资产， 1253.7系统风险和非系统风险系统风险和非系统风险1263.7系统风险和非系统风险系统风险和非系统风险 由式(3.20a) 127128

45、系统性风险与非系统性风险可分散化的风险可分散化的风险非系统性风险非系统性风险 残留风险残留风险业务风险业务风险财务风险财务风险对于有效的投资组合，这种对于有效的投资组合，这种风险并不存在，已经被分散化。风险并不存在，已经被分散化。不可分散的风险不可分散的风险 系统性风险系统性风险市场投资者组合风险市场投资者组合风险市场风险市场风险购买力风险购买力风险利率风险利率风险对于有效的投资组合，这是唯一的风险源，对于有效的投资组合，这是唯一的风险源，是不可分散的。是不可分散的。总风险总风险=系统性风险系统性风险+非系统性风险非系统性风险 =市场风险市场风险+非市场风险非市场风险 =不可分散化风险不可分散

46、化风险+可分散化风险可分散化风险129系统性风险与非系统性风险0 10 20 30 40 50 60不可分散的（系统性）风险不可分散的（系统性）风险总总风风险险可分散的（非系统性）风险可分散的（非系统性）风险投投资资组组合合的的风风险险投资组合中股票的数量投资组合中股票的数量130第四节第四节 资本资产定价模型资本资产定价模型1313.4.1 资本资产定价模型的基本假设资本资产定价模型的基本假设1 1投资者具有均值投资者具有均值方差效用函数，投资行为依据方差效用函数，投资行为依据资产收益率和方差，在期望收益相同的条件下，资产收益率和方差，在期望收益相同的条件下，选择风险（方差）较小的资产组合，

47、在风险相同选择风险（方差）较小的资产组合，在风险相同下，选择期望收益较大的资产组合；下，选择期望收益较大的资产组合；2 2对所有投资者信息充分且畅通无阻，对资产收益对所有投资者信息充分且畅通无阻，对资产收益概率分布模式一致认同，因此市场有效前沿曲线概率分布模式一致认同，因此市场有效前沿曲线只有一条；只有一条；1323.4.1 资本资产定价模型的基本假设资本资产定价模型的基本假设3. 所有投资者都有相同投资日期和固定的投资期所有投资者都有相同投资日期和固定的投资期 限；限；4. 资产是无限可分的，而投资者可以以任意金额投资产是无限可分的，而投资者可以以任意金额投资于各种资产，市场上的资产数量是固

48、定的；资于各种资产，市场上的资产数量是固定的；5. 市场没有卖空限制；市场没有卖空限制；1333.4.1 资本资产定价模型的基本假设资本资产定价模型的基本假设6. 市场存在无风险资产，投资者能以固定无风险利市场存在无风险资产，投资者能以固定无风险利 率借入任意数量的这种资产；率借入任意数量的这种资产；7. 资本市场没有税收，交易成本，资产没有红利分资本市场没有税收，交易成本，资产没有红利分配；配；8.没有通货膨胀和利率变化；没有通货膨胀和利率变化；9.市场上的任何投资者均不能通过其投资行为影响市场上的任何投资者均不能通过其投资行为影响资产价格。资产价格。1343.4.2 市场投资组合1353.

49、4.2 市场投资组合1363.4.3 市场达到均衡的必要条件证明证明1373.4.3 市场达到均衡的必要条件极值的必要条件为 1383.4.3 市场达到均衡的必要条件1393.4.3 市场达到均衡的必要条件1403.4.4 市场投资组合和切点组合定理定理3.4证明证明1413.4.4 市场投资组合和切点组合1423.4.5 存在无风险资产情况下的 资本资产定价模型定理定理3.5 （Sharpe-Lintner CAPM）假设市场存在无风险资产时，当市场达到均衡时，任意风险资产的超额收益率与风险资产组合超额收益率成正比，即有关系式1433.4.5 存在无风险资产情况下的 资本资产定价模型证明证明

50、 由定理3.4，当市场达到均衡时 代入（3.3.12a）,得 写成分量形式，得1443.4.6 市场不存在无风险资产情况下 的资本资产定价模型定理定理3.6 （Black CAPM） 假设市场上不存在无风险资产时，当市场达到均衡时，任何风险资产的收益率可以表示为证明证明 当市场上不存在无风险资产时，相应的优化问题为1453.4.6 市场不存在无风险资产情况下 的资本资产定价模型一阶必要条件为最优投资组合是1463.4.6 市场不存在无风险资产情况下 的资本资产定价模型1473.4.6 市场不存在无风险资产情况下 的资本资产定价模型1483.4.7 证券市场线若市场存在无风险资产， 当市场达到均

51、衡时，由（3.4.6a）可得到1493.4.7 证券市场线图3.8 证券市场线01503.4.8 资本市场线在市场达到均衡时，所有的最小方差资产组合,可表示为 最小方差资产组合的方差为 1513.4.8 资本市场线对式（3.4.12）两边取数学期望得 将式（3.4.14）解代入式（3.4.15）得1523.4.8 资本市场线0图3.9 资本市场线1533.4.8 资本市场线资本市场线是证券市场线的特例，事实上在证券市场线中 1543.4.9 利用CAPM定价nCAPM给出了任意风险资产的超额收益率和市场给出了任意风险资产的超额收益率和市场组合超额收益率之间的关系，如果市场组合为已组合超额收益率

52、之间的关系，如果市场组合为已知，相应的系数为已知，就可求出风险资产的超知，相应的系数为已知，就可求出风险资产的超额收益率，而无风险资产的收益率为已知的常数，额收益率，而无风险资产的收益率为已知的常数，就可确定风险资产的收益率，如果我们可以估计就可确定风险资产的收益率，如果我们可以估计出投资期结束时的风险资产的价格，那么我们就出投资期结束时的风险资产的价格，那么我们就可确定当前风险资产的价格，这可是资本资产定可确定当前风险资产的价格，这可是资本资产定价问题所要解决的问题，所以价问题所要解决的问题，所以CAPM可以用于未可以用于未来收益率为已知的风险资产在当前的价格。来收益率为已知的风险资产在当前

53、的价格。 1553.4.9 利用CAPM定价由（3.4.6a）,我们得到1563.4.9 利用CAPM定价157例3.61583.5 单指数模型159单指数模型的定义160单指数模型的假定单指数模型的假定161有关单指数模型的公式有关单指数模型的公式证明：证明：而162有关单指数模型的公式有关单指数模型的公式类似可证于是得到163有关单指数模型的公式有关单指数模型的公式证明根据方差和协方差的性质以及假设（1），（2），（3），得出：164有关单指数模型的公式有关单指数模型的公式所以165证券组合收益率方差的单指数模型证券组合收益率方差的单指数模型 其中证明证明166证券组合收益率方差的单指数模

54、型证券组合收益率方差的单指数模型令167证券组合收益率方差的单指数模型证券组合收益率方差的单指数模型168证券组合收益率方差的单指数模型证券组合收益率方差的单指数模型169市场组合收益率方差的单指数模型市场组合收益率方差的单指数模型证明假如我们选择的投资组合就是市场组合，那么该组合的 170市场组合收益率方差的单指数模型市场组合收益率方差的单指数模型这个结果说明市场组合的系数为1，根据上面的结果得证。 1713.6标准的均值标准的均值方差资产选择模型方差资产选择模型 1723.6标准的均值标准的均值方差资产选择模型方差资产选择模型也是随机变量，因此我们考虑投资组合的期望收益率1733.6标准的

55、均值标准的均值方差资产选择模型方差资产选择模型并设资产组合的方差为1743.6标准的均值标准的均值方差资产选择模型方差资产选择模型定义定义3.4 1753.6标准的均值标准的均值方差资产选择模型方差资产选择模型用矩阵表求，我们假定则1763.6标准的均值标准的均值方差资产选择模型方差资产选择模型n定义定义3.5 如果存在另一个较大均值和不变方差的可行组合EV或存在较小方差，不变均值的可行EV组合，那么这个可行EV组合是无效的，n否则称该组合为有效的EV组合，或者有效的E组合，EV有效组合实际上是在某一确定的收益水平之下，风险最小的组合或者是在某一风险水平上，收益最大的投资组合。1773.6标准的均值标准的均值方差资产选择模型方差资产选择模型由有效组合构成的集合，称为资产组合的有效集。标准的均值方差资产选择模型可归结为如下模型1783.6标准的均值标准的均值方差资产选择模型方差资产选择模型179 第3章结束180