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1、定积分第五节定积分第五节calculus引例引例它的积分区间是无限长的，通常意义下的积分不存在，称之它的积分区间是无限长的，通常意义下的积分不存在，称之为为无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分。这一个积分虽然积分区间是有限的，但是它区间端点处不这一个积分虽然积分区间是有限的，但是它区间端点处不连续，而且函数值趋于无穷大，故通常意义下的积分不存连续，而且函数值趋于无穷大，故通常意义下的积分不存在，称之为在，称之为无界函数的广义积分无界函数的广义积分。calculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculus例例4. 考察下列函数的敛散性：
2、考察下列函数的敛散性：calculus注意到当注意到当时，时，故对任意故对任意Ae,由极限的保序性，得由极限的保序性，得calculus一般结论：一般结论：如果如果发散，且当发散，且当x 充分大时恒有充分大时恒有则则发散发散.如果如果收敛，且当收敛，且当x 充分大时恒有充分大时恒有则则收敛收敛.calculus例例5. 讨论广义积分讨论广义积分的敛散性。的敛散性。解：解：当当时，由于时，由于故原广义积分发散。当故原广义积分发散。当时，时，calculus二、二、 无界函数的广义积分无界函数的广义积分(瑕积分）瑕积分）定义定义6.2且且若极限若极限存在存在,称该极限值为函数称该极限值为函数在在上
3、的广义积分，上的广义积分，a叫叫瑕点瑕点记作记作:即即这时也称广义积分这时也称广义积分收敛收敛,否则否则发散发散.设函数设函数在在上连续，上连续，calculus 类似，设函数类似，设函数在在上连续，上连续， 且且定义定义 设函数设函数在在外连续，外连续，上除点上除点定义定义注意：注意：当且仅当右边两个广义积分都收敛时，左端的广义当且仅当右边两个广义积分都收敛时，左端的广义积分收敛，否则发散积分收敛，否则发散.calculus例例1. 计算广义积分计算广义积分解解. 因因所以所以另解另解calculus例例2. 讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解在在外连续，外连续，上除点上除点且且
4、因因所以所以,原广义积分发散原广义积分发散.另解另解所以所以,原广义积分发散原广义积分发散.因因calculus例例3.证明广义积分证明广义积分当当时时,收敛于收敛于当当时时,发散发散.证证. 当当时时,当当时时,得证得证.calculus当当时时,收敛于收敛于当当时时,发散发散.当当时时,收敛于收敛于当当时时,发散发散.注意对照！注意对照！calculus当时,收敛收敛于当时,发散发散.结论结论例例4. 计算计算解解calculus例例5. 计算解解所以所以,calculus练习：练习：判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，求出其值。判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，求出其值。解：解：cal
5、culuscalculus注：如果只需要判断上述广义积分的敛散性，而不要求其注：如果只需要判断上述广义积分的敛散性，而不要求其具体值，则有更简单的办法。具体值，则有更简单的办法。注意到当注意到当时有时有而广义积分而广义积分是收敛的，所以广义积分是收敛的，所以广义积分也是收敛的。也是收敛的。calculus求极限求极限解：令解：令则则calculus取取将区间将区间分成分成个小个小小区间小区间在第在第个小区间个小区间上取上取则则calculus的敛散性的敛散性解：解：由于由于calculus所以所以例例1.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性。的敛散性。calculus解：解：当当时，时，当当时，时，且且calculus所以所以综上所述，当综上所述，当时时收敛；收敛；当当时，时，calculus故故收敛；收敛；当当时，时，故故发散。由以上讨论得到发散。由以上讨论得到a.当当时，时，收敛；收敛；b.当当时，时，发散；发散；calculus注：注：被称为被称为（Gamma，伽马）函数，其定义域为，伽马）函数，其定义域为即即一个非常有用的性质：一个非常有用的性质：calculus练习：讨论练习：讨论函数函数的敛散性。的敛散性。结论：当且仅当结论：当且仅当时收敛。时收敛。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！33
