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1、第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用1一、全微分的定义2全微分的定义全微分的定义34 对照一元函数的微分对照一元函数的微分, z = f (x , y), 若若 z = A x +0( x) 则则dz = A x = f (x0) x . 自然会提出以下问题自然会提出以下问题.(1)若若z = f (x, y)在点在点(x0, y0)可微可微, 微分式微分式 dz = A x +B y中系数中系数 A, B 如何求如何求, 是否与是否与z的偏的偏导有关导有关?(2)在一元函数中在一元函数中, 可微与可导是等价的可微与可导是等价的. 在在二元函数中
2、二元函数中, 可微与存在两个偏导是否也等价可微与存在两个偏导是否也等价?(3)在一元函数中在一元函数中, 可微可微连续连续, 对二元函数对二元函数是否也对是否也对?5证证二、可微的条件根据全微分的定义根据全微分的定义67证证总成立总成立,同理可得同理可得8一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，9则则当当 时，时，10说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证证11（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）12同理同理13习惯上，记
3、全微分为习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数14多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在15解解所求全微分所求全微分16解解17解解所求全微分所求全微分1819证证令令则则同理同理20不存在不存在.212223、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结24思考题思考题25
