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1、学习必备 欢迎下载 第三讲 二次函数 二次函数是最简单的非线性函数之一， 而且有着丰富内涵。 在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。 学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a ，(4ac-b2)/4a ），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2
2、+(4ac-b2)/4a ）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴 x=-b/2a ，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x) ， xR） ， 单调区间 （-， -b/2a ） ，-b/2a,+ 、 极值 （(4ac-b2)/4a ） ，判别式（b2-4ac）与 X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。 一、“四个二次型”概述 在河南教育出版社出版的漫谈 ax2+bx+c一书中（作者翟连林等），有如下一个“框图”： （一元）二次函数 y=ax2+bx+c (a 0) a=0 （一元）一次函数 y=bx+c(b0) （一元）二次
3、三项式 ax2+bx+c(a0) a=0 一次二项式 bx+c(b 0) 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) a=0 一元一次方程 bx+c=0(b0) 一元二次不等式 ax2+bx+c0或 ax2+bx+c0或 bx+c0 或 y0 或 ax2+bx+c0， a0 fmin=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a) fmax= maxf (p),f (g) fmin=minf (p),f (g) fmax=maxf (p),f (g) a0 fmax=f (-b/2a)=(4ac-b2)/4a) fmin=minf (p),f (g) 例 5 当 X为何值时，函数 f(x)=(x-
4、a1)2+(x-a2)2+(x-an)2取最小值。 解：f (x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2+an)x+(a12+a22+an2) 当 x=(a1+a2+an)/n) 时，f(x) 有最小值。 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别
5、式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 评注 ：1994 年全国普通高考命制了如下一个填空题，在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 a1、a2、，an共 n 个数据。我们规定的所测物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，从 a1,a2, an推出 a=
6、 读者从例 5的解答中，能否悟到解决此题的灵感？ 例 6（1982 年全国高中数学联赛试题） 已知 x1,x2是方程 x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0 (k 为实数) 的两个实数根，x12+x22的最大值是： （A）19； （B）18； （C）50/9 (D) 不存在 解：由韦达定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5 x12x22（x1x2）2-2x1x2 =(k-2)2-2(k2+3k+5) =-k2-10k-6 =-(k+5)2+19 如果由此得 K-5 时，（x12+x22）max=19，选（A），那就错了。为什么？已知该 x1,x2是方程的两个“实数”根，即方程
7、必须有实数根才行，而此时方程的判别式0，即 (k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-160 解得：-4k-4/3 k=-5 -4,-4/3，设 f(k)=-(k+5)2+19 则 f(-4)=18,f(-4/3)=50/918 当 k=-4时，(x12+x22)max=18， 选（B） 评注 ：求二次函数最值时，必须首先考虑函数定义域。否则，审题不慎，忽略“实数”二字，就会掉进题目设置的“陷阱”中去了。 例 7 已知 f (x)=x2-2x+2，在 xt,t+1上的最小值为 g (t) ，求 g (t)的表达式。 解：f (x)= (x-1)2+1 (1) 当 t+11 即 t1
8、 时，g(t)=f (t)=t2-2t+2 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合
9、称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 综合（1）、（2）、（3）得： 例 8（1）当 x2+2y2=1 时，求 2x+3y2的最值； （2）当 3x2+2y2=6x 时，求 x2+y2的最值。 解：（1）由 x2+2y2=1 得 y2=1/2(1-x2) ，代入2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2)(x-(2/3)2+(13/6) 又 1-x2=2y20，x21，1x1 当 x=2/3 时，y=( 10)/6 ，（2x+3y2）max=16/3； 当 x=-1 时，y=0， （2x+3y2）min=2 (2) 由 3x2+2y2=6x，得 y
10、2=(3/2)x(2-x)，代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2 又 y2=(3/2)x (2-x)0，得 0x2 当 x=2，y=0 时，（x2+y2）max=4；当 x=0，y=0 时，(x2+y2)min=0 四、二次函数与二次方程 二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点( 图象与 x 轴的交点) 问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。 设 f (x)=ax2+bx+c(a 0) 的二实根为 x1,x2， (x1x2) ，=b2-4ac，且、( ) 是
11、预先给定的两个实数。 1当两根都在区间( , ) 内，方程系数所满足的充要条件： x1x2，对应的二次函数 f (x)的图象有下列两种情形( 图 1) 当 a0 时的充要条件是：0，-b/2a ，f( ) 0，f ( ) 0 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个
12、二次型概述在河南教育出版社出版次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 当 a0 时的充要条件是：0，-b/2a ，f( ) 0，f ( ) 0 两种情形合并后的充要条件是： 0，-b/2a ，af( ) 0，af ( ) 0 2当两根中有且仅有一根在区间（，）内，方程系数所满足的充要条件： x1或x2，对应的函数 f(x) 的图象有下列四种情形（图 2） 从四种情形得充要条件是： f ( ) f ( ) 0 3当两
13、根都不在区间，内方程系数所满足的充要条件： （1）两根分别在区间，之外的两旁时： x1x2，对应的函数 f(x) 的图象有下列两种情形（图 3）： 当 a0 时的充要条件是：f ( ) 0，f ( ) 0 当 a0 时的充要条件是：f ( ) 0，f ( ) 0 两种情形合并后的充要条件是： af () 0，af () 0 （2）两根分别在区间，之外的同旁时： x1x2或x1x2， 对应函数 f(x) 的图象有下列四种情形 （图4）： 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰
14、以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 当 x1x2时的充要条件是： 0，-b/2a ，af ( ) 0 当x1x2时的充要条件是： 0，-b/2a ，af ( ) 0 例
15、9已知方程 x2+2px+1=0有一个根大于 1，有一个根小于 1，则 P的取值为 。 解：记 f(x)=x2+2px+1 ，则 f(x)r的图象开口向上，当 f(x) 与 x 轴的两交点一个在（1,0 ）左方，另一个在（1,0 ）右方时，必有 f(1) 0，即： 12+2P10，即 P1 所以 P的取值为（，1） 例 10如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于 1，试确定 m的范围。 解：令 f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根据题设条件， f(x)的图形是下列两种情形之一（图 5）： 得充要条件：（1-m2）f(0) 0,(1-m2)f(1)0；即 1
16、-m20,(1-m2)(2m-m2) 0 解得：-1m 0 例 11已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0). 若方程 f(x)=x无实根，求证：方程 ff(x)=x也无实根，（北京市 1994 年高中一年级数学竞赛复赛试题）。 证明：已知 f(x)=ax2+bx+c(a 0) 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单
17、调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 方程 f(x)=x即 f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0 无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即=(b-1)2-4ac0 若 a0，则函数 y=f(x)-x的图象在 x 轴上方， y0，即 f(x)-x 0 恒成立，即：f(x) x 对任意
18、实数 x 恒成立。 对 f(x) ， 有 f(f(x)f(x) x 恒成立 f(f(x)=x无实根 若 a0，函数 y=f(x)-x的图象在 x 轴下方 y0，即 f(x)-x 0 恒成立 对任意实数 x，f(x) 0 恒成立 对实数 f(x) ，有：f(f(x)f(x) x 恒成立 f(f(x)=x无实根 综上可知，当 f(x)=x无实根时，方程 f(f(x)=x也无实根 五二次函数与二次不等式 前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等式成立，经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与 x轴的位置关系等。 例 12对二次函数 f(x)= ax2+
19、bx+c(a 0) ，求证，必存在 x=M 0，使 f( M)均与 a 同号。 分析：这是一道证明题。从图象上看，当 a0 时，抛物线开口向上，f(x) 0 的解集要么为全体实数集合 R（0) ；要么为（-,x0）(x0,+ )( =0,f(x0)=0) ，要么为（-,x1）(x2,+ ) ( 0,f(x1)=f(x2)=0) ，故总可以找到M 0，M R，或M （-,x0）(x0,+ ) ，或M （-,x1）(x2,+ ) ，使 f( M)0，因此 af( M)0，对于 a0 的情形，也是如此，只不过 f( M)0，从代数的角度看问题，af(x)0 即 a2x2+abx+ac0 它有解且解集
20、合中包含着 x=M与 x=-M （M 0）一对相反数，因此，需考虑所对应的二次方程的判别式。 证明：f(x)= ax2+bx+c(a 0) af(x)= a2x2+abx+ac=1/44a2x2+4abx+4ac =1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac) 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置
21、关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 af(x) 0 即:1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac) 0 亦即(2ax+b)2-(b2-4ac) 0 （1）当=b2-4ac0 时，af(x) 0 的解集为(-,+ ) （2）当=b2-4ac=0 时，af(x) 0 的解集为(-,-b/2a) （-b/2a,+ ) （3）当=b2-4ac0 时
22、，方程 af(x)=0有两个不等的实数根 x1,x2(x1x2) ，相应的不等式 af(x)0 的解集合为：（-,x1）(x2,+ ) 因为三种情况下的解集合均为无穷区间，故均存在-M与 M同属于解集合，使af( M)0，从而 a 与 f( M)同号。 例 13若 a1,a2, ,an,b1,b2, ,bn都是实数，求证：（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n) 证明：构造二次函数 f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+(anx-bn)2=(a12+a22+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+anbn)x+(b12+b22+b2n)
23、当 a12+a22+a2n0 即 a1,a2, ,an不全为零时，显然有对 xR，f(x) 0，故f(x) 0 的判别式：=4（a1b1+a2b2+anbn）2-4(a12+a22+a2n) (b12+b22+b2n)0 即（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n) (b12+b22+b2n) 当 a1=a2=an=0 时，结论显然成立，故命题成立。 评注 本例中的不等式即是著名的柯西不等式，有时它也写作。等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=an/bn时成立。 例 14设二次函数 f(x)= ax2+bx+c(a 0) ，方程 f(x)-x=0的两个根 x1,x2满足 0x
24、1x21/a 。 （1）当 x(0,x1) 时，证明 xf(x) x1 （2）设函数 f(x) 的图象关于直线 x=x0对称，证明：x0x1/2 。 分析该题是一九九七年全国普通高考理工类数学第 24 题，它综合考查二次函数、二次方程和不等式的基础知识，以及灵活运用数学知识和方法分析、解决问题的能力，当年没有几个考生能完整解答此题。可以从代数与几何两个角度展开思考： 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅函数的基本性质学习二次函数的
25、关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 从代数角度看，f(x) 是二次函数，从而方程 f(x)-x=0即 ax2+(b-1)x+c=0(a 0) 是二次方程，由于 x1,x2是它的两个根，且方程中 x2的系数是 a，因此有表达式：f(x)-x=
26、a(x-x1)(x-x2) 进而，利用二次函数的性质和题设条件，可得第（ 1）问的证明。 从几何角度看， 抛物线 y=f(x)-x开口向上， 因此在区间 x1,x2 的外部， f(x)-x0，（1）的左端得证。其次，抛物线 y=f(x)的开口也向上，又 x1=f(x1) ，于是为了证得（1） 的右端，相当于要求证明函数 f(x) 在区间0,x1 的最大值是 f(x1) ，这相当于证明 f(0) f(x1) ，也即 Cx1，利用韦达定理和题设，立即可得。 至于（）的证明，应用配方法可得 x0=-b/2a ，进而利用韦达定理与题设，即得证明。 证明：欲证：xf(x) x 只须证：0f(x)-xx1
27、-x 因为方程 f(x)-x=0的两根为 x1,x2,f(x)=ax2+bx+c(a 0) ， f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 式即: 0 a(x-x1)(x-x2) x1-x a0，x(0,x1),x1-x0, a(x1-x) 0 式两边同除以 a(x1-x) 0，得：0x2-x1/a ，即：xx21/a+x 这由已知条件：0xx1x21/a ，即得：xx2(1/a) 1/a+x ， 故命题得证。 （2）欲证 x0x1/2 ，因为 x0=-b/2a ，故只须证：x0-x1/2=-b/2a-x1/2 0 由韦达定理，x1+x2=(-b-1)/a ，(x1+x2)/2=-(b-1)/2
28、a，代入式，有(-(b/2a)-(x1/2)=(x2/2)-(1/(2a)0 即：x21/a 由已知：0x1x21/a ，命题得证。 评注证（1）用到了二次函数的零点式 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 证（2）用到了 x0=-(b/(2a),(x1+x2)/2)=-(b-1)/2a)，都是二次函数二次方程的基础知识。 六、“四个二次型”的综合运用 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住
29、顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 二次三项式、一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是相辅相成的一个有机整体，函数的研究离不开方程和不等式；方程和不等式的解的讨论同样要结合函数的性质。 例 15当 K为什么实数时，关于 X的二次方程 7x2-(
30、k+13)x+k2-k-2=0的两个实根和分别满足 01 和 12？ 分析它是一个一元二次方程的问题，利用求根公式解出、，再解不等式 01 和 12 顺理成章，但计算变形较繁难。如果把此题的方程的左端看作是一个二次函数的话，结合函数的图象和性质来解此题，那就简便得多了。 解：设 y=f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2，则因为 a=70，且方程 f(x)=0有两实根，所以它的图象是开口向上且与 X轴相交于两点（,0 ）、( ,0) 的抛物线。由于 01，12，可知在 x或 x时，f(x) 取正值；在x时，f(x) 取负值。于是，当 x 分列取 0,1 ，2 时，有：f(0)=k2-k
31、-20，f(1)=k2-2k-80，f(2)=k2-3k0 解这三个不等式组成的不等式组，可得-2k-1 和 3k4。 显然，上述三个一元二次不等式解起来要容易得多。 例 16函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在-3,3 上的最小值是 。 分析这是 1996 年北京高中一年级数学竞赛的复试题，是一个四次函数的最值问题。表面上看起来很难。但借助于配方法、换元法及二次函数极（最）值性质，可得结果。 解：y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 =(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+5 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)+5 =(x2+5x+5-1)(x2+5x
32、+5+1)+5 =(x2+5x+5)2+4 设 Z=x2+5x+5，则 y=Z2+4，对 Z=x2+5x+5=(x+5/2)2-5/4，x -3,3 ，易知Zmin=-5/4，Zmax=29 y=Z2+4，Z-5/4,29抛物线开口向上，对称轴 Z=0-5/4,29，ymin=4 故 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在-3,3 上的最小值是 4。 习题三 1f(x) 是定义在全体实数上的偶函数，它的图象关于 x=2 为轴对称，已知当x(-2,2 时 f(x) 的表达式为-x2+1，则当 x(-6,-2) 时，f(x) 的表达式是：(A)-x2+1，（B）-(x-2)2+1，(C
33、)-(x+2)2+1，（D）-(x+4)2+1。 （ ） 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等
34、式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整学习必备 欢迎下载 2已知 x2-4x+b=0的一个根的相反数为 x24x-b=0 的根，则 x2+bx-4=0的正根为 。 3 已知 f(x)=x2+(lga+2)x+lgb且 f(-1)=-2 ，又 f(x)2x 对一切 xR都成立，求 a+b=? 4设0, ，关于 x 的方程 x2-2xcos +1=0 有实根，则 4x2+13x+23= 。 5已知方程 ax2+bx+c=0(a0)有实根x1与 x2，设P=x12002+x22002,q=x12001+x22001,r=x12000+x22000则 ap+bq+cr= 。
35、6若二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0) 满足 f(x+2)=f(2-x)，那么f(0),f(-2002),f(2002)的大小关系是 （A） f(0) f(2002) f(-2002) ， (B)f(2002)f(0) f(-2002) ， (C)f(-2002)f(0) f(2002) ， (D)f(-2002)f(2002) f(0) 7若 sin2x+cosx+a=0 有实根，试确定实数 a 的取值范围是什么？ 8已知 x,y 都是实数，C=x2+y2-xy-x+y，则 C的最小值等于 。 9代数式 2x2+2xy+2y2+2x+4y+5 的最小值为：（A）0 （B）5 （C
36、）9/2 （D）3 10函数 f(x)=x4-2x2+2 的单调增区间是：（A）1,+ ) ，（B）(-,-1) 1,+ ) ，(C)-1,01,+ ) ，(D) 以上都不对 11若二次函数 f(x)=ax2+bx，有 f(x1)=f(x2)(x1x2) 则f(x1+x2)= 。 12给定函数 f(x)=x2+ax+b 设 P，q 是满足 P+q=1的实数，证明，若对于任意的实数 x,y ，均有：pf(x)+qf(y)f(px+qy)，则 0p1 参考答案 1（D）；2.2 ；3.110 ；4.40 ；5.0 ；6.(D) ；7.-5/4,1；8.-1/3 ；9.(D) ；10.(D) ；11
37、.0 ；12.( 略) 。 次函数和二次方程二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质都有深入和反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数学考试的一项重点考查内容历久不衰以它为核心内容的重点试题也年年有所变化不仅函数的基本性质学习二次函数的关键是抓住顶点顶点的由来体现了配方法图象的平移归为顶点的平移函数的对称性对称轴单调区间极值判别式与轴的位置关系相交相切相离等全都与顶点有关一四个二次型概述在河南教育出版社出版次函数一次二项式一元一次方程一元一次不等式或观察这个框图就会发现在的条件下从二次三项式出发就可派生出一元二次函数一元二次方程和一元二次不等式来故将它们合称为四个二次型其中二次三项式像一颗心脏一样支配着整
