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1、利用定积分求简单几何体的体积利用定积分求简单几何体的体积1（一）、复习：（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？）、求曲边梯形面积的方法是什么？ (2)、定积分的几何意义是什么？、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析（二）新课探析问题：求求函数函数，x=x=a,xa,x=b=b围成的平面成的平面图形形绕绕 轴旋旋转一周所得到的几何体的体一周所得到的几何体的体积。2设由曲线yf(x)，直线xa，xb与x轴围成的平面图形(如图甲绕x轴旋旋转一周一周所得旋转体的体积为V.思考： 1简单几何体的体积计算3在区间a，b内插入n1个分点
2、，使ax0x1x2xn1xn1，把曲线yf(x)，axb分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示设第i个“小长条”的宽是xixixi1，i1,2，n.这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是xi的小圆片，如图乙所示当xi很小时，第i个小圆片近似于底面半径yif(xi)的小圆柱，因此第i个小圆台体积Vi近似为Vif2(xi)xi.该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和Vf2(x1)x1f2(x2)x2f2(xi)xif2(xn)xn这个问题是积分问题，则有4(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数(2)分清端点(3)确定几何体的构造(4)利用定积分进行体积
3、表示2利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于3一个以y轴为中心轴的旋转体轴为中心轴的旋转体的体积 yox5例例1、求求由曲由曲线所所围成的成的图形形绕轴旋旋转所得旋所得旋转体的体体的体积。 例题研究例题研究 xyox=16变式式练习1 1、求曲求曲线，直，直线， 与与轴围成的平面成的平面图形形绕轴旋旋转一周所得旋一周所得旋转转体的体积。体的体积。答案：答案：例例2 2、如如图，是常，是常见的冰激凌的形状，其下方是的冰激凌的形状，其下方是一个一个圆锥，上方是由一段抛物，上方是由一段抛物线弧弧绕其其对称称轴旋旋转一周所成的形状，尺寸如一周所成的形状，尺寸如图所示，所示，试求其体求其体积。7分析：分
4、析：解此题的关键是如何建立数学模型。解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴截面按下图位置放置，并建立坐标系。将其轴截面按下图位置放置，并建立坐标系。则则A，B坐标可得，再求出直线坐标可得，再求出直线AB和抛物线和抛物线方程，方程， “冰激凌冰激凌”可看成是由抛物线弧可看成是由抛物线弧OB和线段和线段AB绕绕X轴旋转一周形成的。轴旋转一周形成的。 解：解：将其将其轴截面按下截面按下图位置放位置放置，并建立如置，并建立如图的坐的坐标系。系。则， ，设抛物抛物线弧弧OA所在的抛物所在的抛物线方程方程为：， 8代入代入求得：求得：抛物抛物线方程方程为：（） 设直直线ABAB的方程的方程为：，代入，代入
5、求得：求得：直直线ABAB的方程的方程为：所求所求“冰激凌冰激凌”的体的体积为： 9变式引申变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕双曲线的一部分绕其中轴其中轴(双曲线的虚轴双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中旋转所成的曲面，其中A,A是双曲是双曲线的顶点，线的顶点，C,C是冷却塔上口直径的两个端点，是冷却塔上口直径的两个端点，B,B 是是下底直径的两个端点，已知下底直径的两个端点，已知AA=14m,CC=18m,BB=22m,塔高塔高20m.(1)建立坐标系，并写出该曲线方程建立坐标系，并写出该曲线方程(2)求冷却塔的容积（精确到求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，塔壁厚度不计， 取取3.14）10课堂小堂小结：1.1.求体求体积的的过程就是程就是对定定积分概念的分概念的进一步理解一步理解过程，程，总结求求绕绕x x轴旋转的轴旋转的旋旋转体体体体积步步骤如下：如下： 1 1）先求出先求出2 2）代入公式代入公式P89-90、例题例题4，53一个以y轴为中心轴的旋转体轴为中心轴的旋转体的体积 yox11
