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1、应应 用用 数数 学学 系系微积分（上）（下）微积分（上）（下）线性代数线性代数概率论与数理统计概率论与数理统计第二章第二章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三章第三章 函数的导数与微分函数的导数与微分第四章第四章 导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第一章第一章 函数函数本学期学习内容本学期学习内容第一章第一章 函函 数数1.1 实数实数1.2 函数的概念函数的概念1.3 函数的基本性质函数的基本性质1.4 复合函数与反函数复合函数与反函数1.5 初等函数初等函数1.6 简单的经济函数简单的经济函数1.1 实实 数数 (R)1. 实数的分类实数的分类实数实数无理数：无理数：有
2、理数有理数(Q)：无限不循环小数无限不循环小数正数正数负数负数正整数正整数分数分数2. 实数的性质实数的性质1).实数关于加、减、乘、除四种运算封闭实数关于加、减、乘、除四种运算封闭. 考虑自然数考虑自然数N、整数、整数Z、无理数、有理数、无理数、有理数Q是否关于上是否关于上述四种运算封闭述四种运算封闭?不是无理数，而是有理数不是无理数，而是有理数.只有有理数关于此四种运算封闭只有有理数关于此四种运算封闭.零零正分数正分数负整数负整数负分数负分数 可以把数轴看成是实数的直观图形可以把数轴看成是实数的直观图形( (几何模型几何模型),),即即一个实数可以理解为数轴上的一个点。一个实数可以理解为数
3、轴上的一个点。4).实数与数轴的上的点一一对应。实数与数轴的上的点一一对应。2).实数是有序的实数是有序的,即任意两个实数即任意两个实数a,b必满足下述三个关必满足下述三个关系系 之一：之一：ab,ab,a=b.实数的三歧性实数的三歧性3).实数具有稠密性实数具有稠密性.而实数不仅具有稠密性而实数不仅具有稠密性,而且具有连续性而且具有连续性(实数间无实数间无“空隙空隙”) 。例例.设设a为有理数，为有理数，x为无理数，证明：为无理数，证明：(1)a+x是无理数是无理数 (2)当当a0时，时，ax是无理数是无理数.证：反证法证：反证法3. 实数的绝对值实数的绝对值1).定义定义2).几何意义几何
4、意义3).性质性质思考：两个等号何时成立？思考：两个等号何时成立？4. 常用的实数集常用的实数集-区间和邻域区间和邻域设设a, b都是实数都是实数, 且且ab,有下面形式的区间有下面形式的区间abababa闭区间闭区间半开半半开半闭区间闭区间无穷区间无穷区间区间区间aaa无穷区间无穷区间邻域邻域定义定义1 以以x0为中心为中心, 以以 为半径为半径, 长为长为2 的开区间的开区间.即即 称为点称为点 x0 的的 邻域邻域 , 记为记为U(x0 , ).例例1 U(2 , 1) U(- , )=x|x-2|1=(1,3).= x|x + | 01.2 函数的概念函数的概念一、一、 函数的定义函数
5、的定义 定义定义 设设D为一个非空实数集为一个非空实数集,若对若对D中每一个中每一个值值 x,按照一定的对应法则按照一定的对应法则 ,总有确定的数值总有确定的数值y和它和它对应对应,则称则称 f是定义在是定义在D上的一个函数上的一个函数,记作记作 y=(x). 称称 x 为自变量为自变量, y 为因变量为因变量; D 为为 f 的定义域的定义域; 注：注：1. 要求定义域要求定义域D为非空集合为非空集合.当当 时时, ,称称 为函数在为函数在 的的函数值函数值. .函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集 Z =y|y=f(x), xD为为 f 的值域的值域.4. 定义域定义域D和对应法则和对
6、应法则f 是确定函数的两要素是确定函数的两要素.3. 函数的定义域是使函数有意义的自变量的全体。函数的定义域是使函数有意义的自变量的全体。所以一般情况下，函数的定义域都省略不写所以一般情况下，函数的定义域都省略不写. 在判断两个函数是否相同时，判断其是否具有在判断两个函数是否相同时，判断其是否具有相同的定义域及对应法则相同的定义域及对应法则.2. 由由f 确定的确定的y 值，必须是唯一的值，必须是唯一的.这类函数成为单值函数这类函数成为单值函数, 还有一类函数为多值函数还有一类函数为多值函数. 由于有些函数的对应法则虽然形式上不同，但由于有些函数的对应法则虽然形式上不同，但却表示同一个函数却表
7、示同一个函数,所以在判断过程中经常把两个所以在判断过程中经常把两个函数的定义域及值域是否相同作为一种判断方法函数的定义域及值域是否相同作为一种判断方法. 但要注意的是但要注意的是,函数的定义域及值域相同仅是两函数的定义域及值域相同仅是两个函数相同的必要条件而非充分条件个函数相同的必要条件而非充分条件.即一般用它即一般用它来判断两个函数不相同来判断两个函数不相同. 5.同一个函数不会因自变量同一个函数不会因自变量,因变量字符的改变因变量字符的改变而发生改变而发生改变.二、函数的表示法二、函数的表示法: :列举法、描述法、列表法、图列举法、描述法、列表法、图象法象法. .三、分段函数三、分段函数
8、问题：是否所有的函数都可用一个数学式子问题：是否所有的函数都可用一个数学式子表示呢？表示呢？ 有的函数在其定义域的不同范围内有的函数在其定义域的不同范围内, ,要用两个要用两个或两个以上的数学式子来表示或两个以上的数学式子来表示, ,这一类函数叫作这一类函数叫作分分段函数段函数. .例：绝对值函数例：绝对值函数 yxo oy=|x|例例 符号函数符号函数11o oxy例例 狄立克莱函数狄立克莱函数 例例 取整函数取整函数(阶梯曲线阶梯曲线) y = x 为不超过为不超过 x 的最大整的最大整数部分数部分. 实际上是取左端点实际上是取左端点. .o oxy1 12 21 11 12 20.3=0
9、2.8=2-0.3=-1-2.6= -3注：分段函数虽然有几个式子，但它们合起来注：分段函数虽然有几个式子，但它们合起来是一个函数，而不是几个函数是一个函数，而不是几个函数. .四、函数定义域的求法四、函数定义域的求法1.1.实际问题中的函数定义域实际问题中的函数定义域 例例 边长为边长为a的正方形铁皮，在四个角裁掉的正方形铁皮，在四个角裁掉边长为边长为x的四个小正方形后，所得铁皮折为一个的四个小正方形后，所得铁皮折为一个无顶的立方体，问无顶的立方体，问x多大时，可使容积最大？多大时，可使容积最大？集合表示法集合表示法区间表示法区间表示法2.2.一般函数的定义域一般函数的定义域例例 求函数求函
10、数 的定义域的定义域. .解：解：要使要使 有意义，必须有有意义，必须有从而，函数的定义域为从而，函数的定义域为 如未特别指明如未特别指明,函数定义域函数定义域Df 为使函数有意义的自变为使函数有意义的自变量的全体量的全体.例例 求函数求函数 的定义域的定义域. .解：解：要使要使 有意义，必须有有意义，必须有从而，函数的定义域为从而，函数的定义域为3.3.分段函数的定义域分段函数的定义域分段函数的定义域为各分段子定义域的并集分段函数的定义域为各分段子定义域的并集. .例例 求函数求函数 的定义域的定义域. .解：可以看出，函数的定义域为解：可以看出，函数的定义域为例例解解故故f f(x+3)
11、的定义域为：的定义域为：-3,-1确定分段函数的定义域并求确定分段函数的定义域并求f (1), f (0), f (1), f (x1).解解习题习题1.3 函数的基本性质函数的基本性质一、一、 单调性单调性单调性、有界性、奇偶性和周期性单调性、有界性、奇偶性和周期性对应曲线是对应曲线是的的. 则称则称(x)在区间在区间 I 上严格单调或单调上严格单调或单调xyoy= (x)y= (x)oxy 设设(x)为定义在区间为定义在区间 I 上的函数上的函数, ,若若x1, x2D,当当x10,使得使得对对x D,都有都有| f (x)| M 成立成立,则称则称f (x)在在D上上有界有界.oy=My
12、=Mxyy= (x) 函数在区域函数在区域D上有界的充要条件是在该区域上上有界的充要条件是在该区域上既有上界又有下界既有上界又有下界.例：说明函数例：说明函数例：说明函数例：说明函数 y y= =sin(sin(x x) )在（在（在（在（ ， ）上有界）上有界）上有界）上有界. .所以函数所以函数 y=sin(x)在（在（，）上有界）上有界.oxy有界性必须指明区间有界性必须指明区间有界性必须指明区间有界性必须指明区间函数的界不唯一函数的界不唯一函数的界不唯一函数的界不唯一 设函数设函数 f (x)在在D上有定义上有定义.如果如果M,使得使得对对x D,都都有有f (x) M 成立成立,则称
13、则称f (x)在在D上有上界上有上界. 设函数设函数 f (x)在在D上有定义上有定义.如果如果M,使得使得对对x D,都都有有f (x) M 成立成立,则称则称f (x)在在D上有下界上有下界. 设函数设函数 f (x)在在D上有定义上有定义.如果如果M0,使得使得对对x D,都有都有| f (x)| M 成立成立,则称则称f (x)在在D上有界上有界. 设函数设函数 f (x)在在D上有定义上有定义.如果如果 M,x0(M) D,使得使得 f (x0) M ,则称则称f (x)在在D上无上界上无上界. 设函数设函数 f (x)在在D上有定义上有定义.如果如果 M,x0 (M) D,使得使得
14、f (x0) 0,x0 (M) D,使得使得 f (x0) M或或 f (x0)| MM oxyx0 y =M y =M1x1oxy1三、三、 奇偶性奇偶性 设定义域设定义域D关于原点对称，关于原点对称，若若 x D,有有f (-x) = f (x)成立成立,则称则称f (x)在在D上为上为偶函偶函数数;若若 x D,有有f (-x) = -f(x)成立成立,则称则称f (x)在在D上为上为奇函奇函数数.偶函数偶函数(关于关于y轴对称轴对称)yxox-x奇函数奇函数(关于原点对称关于原点对称)yxox-x不不满足上述性质的函数为满足上述性质的函数为非奇非偶函数非奇非偶函数. .如如:(1)奇函
15、数奇函数(2)偶函数偶函数(3)既是偶函数又是奇函数既是偶函数又是奇函数(4)既非偶函数又非奇函数既非偶函数又非奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数 结论结论1:1:同一定义域上两个奇偶性相同的函数之积为偶函数同一定义域上两个奇偶性相同的函数之积为偶函数. .两个奇偶性不同的函数之积为奇函数两个奇偶性不同的函数之积为奇函数. . 结论结论2:任何一个函数任何一个函数 f (x)都可以表示为一个奇函数和一个偶都可以表示为一个奇函数和一个偶函数之和函数之和.偶函数偶函数奇函数奇函数四、四、 周期性周期性v设函数设函数f (x)的定义域为的定义域为D,若存在一个不为零的数若存在一个不为零的数l,使使得得对
16、任一对任一x D,恒有恒有( x l ) D,且且f (x l)= f (x)都成都成立，则称立，则称f (x)是是D上的周期函数，上的周期函数， l 称称f (x)的周期。的周期。v注意：通常说周期函数的周期是常指其最小正周期注意：通常说周期函数的周期是常指其最小正周期.如如:(1)(2)(3)Least Common Multiple，缩写，缩写L.C.M. 例例 分析狄立克莱函数的四条特性分析狄立克莱函数的四条特性 解：解： 单调性单调性 有界性有界性 奇偶性奇偶性 周期性周期性 并非所有的周期函数都有最小正周期并非所有的周期函数都有最小正周期. .1.4 复合函数与反函数复合函数与反函
17、数 复合函数与反函数本身就是普通的函数复合函数与反函数本身就是普通的函数,在这里加上前缀在这里加上前缀修饰词修饰词“复合复合”、“反反”,是强调它们与其它一些函数的关是强调它们与其它一些函数的关系系.一、一、 复合函数复合函数三个问题：三个问题：例例 求下列函数的复合函数求下列函数的复合函数 定义：设函数定义：设函数y=f (x)的定义域为的定义域为D, 值域为值域为Z, 若若 y Z, 在在D 中都有满足中都有满足 f (x)=y的的唯一唯一x与之与之对应对应,则则x是是y的函数的函数,记为记为 x = (y)(或或x = f -1 (y), 并称并称x = (y) (或或x = f -1
18、(y) )是是y=f (x) 的反函数的反函数,而原来的函而原来的函数数 y=f(x) 称为直接函数称为直接函数.亦称亦称x = f -1 (y) 与与y=f(x) 互为互为反函数反函数. 二、二、 反函数反函数 习惯上习惯上,自变量用自变量用x表示表示,因变量用因变量用y表示表示, 所以所以y=f (x)的反函数记为的反函数记为: y = (x) ( 或或 y = f -1 (x).它们的图形关系如下图：它们的图形关系如下图：DWDWDW 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.对函数的反函数做以下几点说明：对函数的反函数做以下几点说明： 函数函数 在在 上没
19、有反函数，上没有反函数，但在但在 及及 上分别有反函数上分别有反函数 及及 . . 又又 在在 上没有反函数，上没有反函数， 只是在只是在 上的反函数上的反函数解解整理原式得整理原式得( (舍舍去去“- -”) )将字母将字母 与与 互换互换, ,得得即即解解？1.5 初等函数初等函数 初等函数是微积分研究的主要对象之一初等函数是微积分研究的主要对象之一, ,我们必须对它们我们必须对它们有较清楚的认识有较清楚的认识. .究竟那些函数是初等函数究竟那些函数是初等函数? ?它们有那些性质它们有那些性质? ?一、一、 基本初等函数基本初等函数（1 1）常数函数）常数函数如下图所示如下图所示. .2.
20、幂函数幂函数3.指数函数指数函数4.对数函数对数函数5.三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数它们均为周期函数，它们均为周期函数， 和和 有界有界. .其余三其余三角函数无界角函数无界. . 为奇函为奇函数，数， 为偶函数为偶函数. . 6.反三角函数反三角函数奇函数奇函数奇函数奇函数2.2.初等函数初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算和有限由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算所得到的并可用一个式子表示的函次复合运算所得到的并可用一个式子表示的函数数，称为称为初等函数初等函数.例如例如 简单函数简单函数简单
21、函数简单函数：基本初等函数、或由基本初等函基本初等函数、或由基本初等函基本初等函数、或由基本初等函基本初等函数、或由基本初等函数只经过有限次的数只经过有限次的数只经过有限次的数只经过有限次的四则运算四则运算四则运算四则运算构成的函数。构成的函数。构成的函数。构成的函数。例例 分解下列复合函数分解下列复合函数 注意：一般来说，分段函数不是初等函数，但由于分注意：一般来说，分段函数不是初等函数，但由于分段函数在每个分段上的函数仍为初等函数段函数在每个分段上的函数仍为初等函数, ,所以也可用初所以也可用初等函数来研究它们。等函数来研究它们。是初等函数是初等函数不是初等函数不是初等函数v设设y=f (
22、x)g(x) (其中其中f (x), g(x)均为均为x的函数的函数,且且f (x) 0.) ,称称y为为幂指函数幂指函数.v问题：幂指函数是初等函数吗？问题：幂指函数是初等函数吗？v回答：回答：由于幂指函数可变形为复合函数由于幂指函数可变形为复合函数y = f (x)g(x) =e g(x)lnf (x) 故故当当 g(x) 和和 f (x)都是初等函数时都是初等函数时, y=f (x)g(x) 也是初等函数，如也是初等函数，如y=xx=exlnx. (x0)3.3.幂指函数幂指函数1.6 简单经济函数简单经济函数1. 总总成本函数成本函数 某商品的总成本是指生产一定数量的产品所某商品的总成
23、本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源的价格或费用总额需的全部经济资源的价格或费用总额. . 它由它由固定资本固定资本(生产准备费生产准备费,用于维修、添制用于维修、添制设备等设备等)a元和元和可变资本可变资本(每单位产品消耗原材料、每单位产品消耗原材料、劳力等费用劳力等费用)b元元,则生产则生产x件产品的总成本为件产品的总成本为 每件产品的成本每件产品的成本(叫单位成本或平均成本叫单位成本或平均成本)为为 C(x) = ax + b.2. 销售收入函数销售收入函数(总总收益函收益函数数)3.总总利润函数利润函数 总利润是收入总利润是收入 R(x) 与总成本与总成本 C(x) 之差之差.
24、. 总收益是产量的函数总收益是产量的函数.设某种产品的销售量为设某种产品的销售量为 x,价格为价格为 p,则销售收入函数为则销售收入函数为R(x) = p x.设设 x 件产品的总成本为件产品的总成本为 C(x), 销售收入为销售收入为R(x).则利润为则利润为L(x) = R(x) C (x)4.需求函数需求函数 (1) 商品的需求量商品的需求量Qd, ,受消费者的偏好、收受消费者的偏好、收入及商品价格等等因素的影响入及商品价格等等因素的影响. .但最主要的是但最主要的是价格因素价格因素; ;若不考虑其它因素若不考虑其它因素, ,把需求量把需求量Qd只看只看成价格成价格 p 的函数的函数,
25、,即即 需求函数需求函数 Qd= f (p)一般是一般是 p 的递减函数的递减函数. .最常见、最简单的需求函数是如下形式的线最常见、最简单的需求函数是如下形式的线性需求函数性需求函数(a、b均为正常数均为正常数).则称此函数为需求函数则称此函数为需求函数.例例 某产品销售某产品销售70元元/件件,可买出可买出10000件件,价格每价格每增加增加3元就少买元就少买300件件,求需求量求需求量 Qd 与价格与价格 p 的函的函数数.由已知得，由已知得，当当p=70时，需求量为时，需求量为10000件；件；当当p=73时，需求量为时，需求量为10000-300件；件；代入函数得代入函数得解得解得5
26、. 供给函数供给函数 生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的, ,其其中价格是最要的素中价格是最要的素; ; 一般地一般地, ,价格越高价格越高, ,就越要加大就越要加大供应供应, ,因此供给量因此供给量 Qs 是价格是价格 p 的单增函数的单增函数. .最简单的最简单的供给函数是如下形式的线性供给函数供给函数是如下形式的线性供给函数(c、d 均为正常数均为正常数)6. 均衡价格均衡价格 均衡价格就是使一种商品的市场需求量均衡价格就是使一种商品的市场需求量Qd与供给与供给量量Qs 相等时的价格相等时的价格; ; 即均衡价格就是使即均衡价格就是使 f(p
27、) = g(p)时时的价格的价格, ,记为记为 p*. .例例 某商品当价格为某商品当价格为50元时元时, 有有50单位投放市单位投放市场场, 当价格为当价格为75元时元时, 有有100单位投放市场单位投放市场, 求求供给供给Qs与价格与价格 p 的函数的函数.解解 设设Qs = cp d,由已知得由已知得 当当p=50时，需求量为时，需求量为50；当当p=75时，需求量为时，需求量为100；代入函数得代入函数得解得解得例：某商品的成本函数与收入函数分别为例：某商品的成本函数与收入函数分别为C=21+5q , R=8q,其中，其中，q为产量为产量, 求该商品的盈亏平衡点求该商品的盈亏平衡点解：
28、盈亏平衡点即使利润为零的产量值。解：盈亏平衡点即使利润为零的产量值。 故故L(q)=R - C=8q - (21+5q)=3q - 21=0 即即q=7.例：已知生产某种产品的总成本为例：已知生产某种产品的总成本为 C(x)502x0.1x2，该产品的需求函数为该产品的需求函数为x402p。 试求产量试求产量x为为10时的总利润和平均利润时的总利润和平均利润.解：总收益函数解：总收益函数R(x)=px=(20-x/2)x=20x-x2/2 总利润函数总利润函数L(x)=R(x)-C(x)=-0.6x2+18x-50 平均利润函数平均利润函数L(x)/x 产量产量x为为10时时,总利润总利润L(
29、10)=70 平均利润平均利润7例例 某工厂在一年内分若干批生产某种车床某工厂在一年内分若干批生产某种车床,年产量为年产量为 a 台台,每批生产准备费每批生产准备费 b 元元,设产品均匀投入市场设产品均匀投入市场(即平均即平均库存量为批量的一半库存量为批量的一半),每年每台库存费为每年每台库存费为 c 元元,显然显然, 生产批量大则库存费高生产批量大则库存费高;生产批量小则批数增多生产批量小则批数增多; 因而因而生产准备费高生产准备费高 . 试求出一年中库存费与生产准备费之试求出一年中库存费与生产准备费之和与批量的函数关系和与批量的函数关系.解解 设批量为设批量为 x,库存费与生产准备费之和为库存费与生产准备费之和为p(x),则全则全年的生产准备费为年的生产准备费为其中其中 a/x 为批数为批数, x/2 为库存量为库存量.库存费为库存费为 (x/2) c,故故(a/x) b,
