线性系统的综合PPT课件

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1、第第6章章 线性系统的综合线性系统的综合本本 章章 简简 介介本章讨论线性系统的系统综合问题。l l主要介绍状态空间分析方法在系统控制与综合中主要介绍状态空间分析方法在系统控制与综合中的应用的应用, ,主要内容为主要内容为 状态反馈与极点配置、状态反馈与极点配置、 系统镇定、系统镇定、 系统解耦、系统解耦、 状态观测器，状态观测器， 以及采用状态观测器的状态反馈系统。以及采用状态观测器的状态反馈系统。l l最后介绍基于最后介绍基于MATLABMATLAB的线性系统的系统综合问的线性系统的系统综合问题求解及闭环控制系统的运动仿真问题的程序设题求解及闭环控制系统的运动仿真问题的程序设计与仿真计算。

2、计与仿真计算。目目 录录qq6.1 引言引言qq6.2 状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈qq6.3 极点配置极点配置qq6.4 系统镇定系统镇定qq6.5 系统解耦系统解耦qq6.6 状态观测器状态观测器qq6.7 采用状态观测器的状态反馈系统采用状态观测器的状态反馈系统qq6.8 MATLAB的应用的应用qq本章小结本章小结6.1 引言引言6.1.1问题的提出6.1.2性能指标的类型6.1.3研究综合问题的主要内容6.1.4工程实现中的一些理论问题q6.1.1 问题的提出问题的提出系统综合是系统分析的逆问题。l l系统分析问题即为对已知系统结构和参数系统分析问题即为对已知系统结构和参数,

3、 ,以及确以及确定好系统的外部输入定好系统的外部输入( (系统激励系统激励) )下下, ,对系统运动进对系统运动进行定性分析行定性分析 如能控性、能观性、稳定性等如能控性、能观性、稳定性等和定量运动规律分析和定量运动规律分析 如系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。如系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。的探讨。的探讨。l l而系统综合问题为已知系统系统结构和参数而系统综合问题为已知系统系统结构和参数, ,以及以及所期望的系统运动形式或关于系统运动动态过程所期望的系统运动形式或关于系统运动动态过程和目标的某些特征和目标的某些特征, ,所需要确定的是则需要施加于所需要确定的是则需要施加于系统的外部输

4、入的大小或规律。系统的外部输入的大小或规律。必须考虑三个方面的因素：1)抗外部干扰问题；2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；3)控制规律的工程实现问题。l l一般情况下一般情况下, ,控制理论发展与控制系统设计的追控制理论发展与控制系统设计的追求目标为解析的反馈控制作用规律求目标为解析的反馈控制作用规律( (反馈控制律反馈控制律) )。 对复杂的动力学被控系统对复杂的动力学被控系统, ,在解析反馈控制规律难于在解析反馈控制规律难于求解的情形下求解的情形下, ,需要求系统的数值反馈控制规律或外需要求系统的数值反馈控制规律或外部输入函数的数值解序列部输入函数的数值

5、解序列( (开环控制输入开环控制输入) )。6.1.2 性能指标的类型性能指标的类型系统综合首先需要确定关于系统运动形式，或关于系统运动动态过程和目标的某些特征的性能指标函数,然后据此确定控制规律。l l综合问题的性能指标函数可分为优化型和非优综合问题的性能指标函数可分为优化型和非优化型性能指标化型性能指标, , 两者差别在于两者差别在于: :l l优化性能指标是一类极值型指标优化性能指标是一类极值型指标, ,综合的目的是使该性能指综合的目的是使该性能指标函数取极小标函数取极小( (极大极大) )；l l而非优化型性能指标是一类由不等式及等式约束的性能指而非优化型性能指标是一类由不等式及等式约

6、束的性能指标凸空间标凸空间, ,一般只要求解的控制规律对应的性能指标到达该一般只要求解的控制规律对应的性能指标到达该凸空间即可。凸空间即可。l l优化性能指标是一类极值型指标优化性能指标是一类极值型指标, ,综合的目的是使该性能指标综合的目的是使该性能指标函数取极小函数取极小( (极大极大) )；l l而非优化型性能指标是一类由不等式及等式约束的性能指标而非优化型性能指标是一类由不等式及等式约束的性能指标凸空间凸空间, ,一般只要求解的控制规律对应的性能指标到达该凸空一般只要求解的控制规律对应的性能指标到达该凸空间即可。间即可。l l对优化型性能指标，需要函数优化理论和泛函对优化型性能指标，需

7、要函数优化理论和泛函理论求解控制规律；理论求解控制规律； 而对非优化型性能指标一般存在解析方法求解控制而对非优化型性能指标一般存在解析方法求解控制规律规律, ,如极点配置方法。如极点配置方法。对于非优化型性能指标,按照对闭环系统期望的运动形式从不同的角度去规定性能,可以有多种提法和形式。l l常用的非优化型性能指标提法有以下几种。常用的非优化型性能指标提法有以下几种。 以系统渐近稳定作为性能指标以系统渐近稳定作为性能指标, ,相应的综合问题为镇相应的综合问题为镇定问题。定问题。 以一组期望的闭环系统极点位置或极点凸约束区域以一组期望的闭环系统极点位置或极点凸约束区域( (空间空间) )为性能指

8、标为性能指标, ,相应的综合问题为极点配置问题。相应的综合问题为极点配置问题。l l对线性定常系统对线性定常系统, ,系统的稳定性和各种性能的品质指标系统的稳定性和各种性能的品质指标( (如过如过渡过程的快速性、超调量、周期性渡过程的快速性、超调量、周期性), ),在很大程度上是由闭环在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。系统的极点位置所决定的。l l因此因此, ,在进行系统设计时在进行系统设计时, ,设法使闭环系统的极点位于设法使闭环系统的极点位于s s平平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的期望面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的期望极点上极点上, ,可以有效地改善系

9、统的性能品质指标。可以有效地改善系统的性能品质指标。 将一个将一个MIMOMIMO系统通过反馈控制实现一个输入只控系统通过反馈控制实现一个输入只控制一个输出的系统综合问题称为系统解耦问题。制一个输出的系统综合问题称为系统解耦问题。l l系统解耦对于高维复杂系统尤为重要。系统解耦对于高维复杂系统尤为重要。 以使系统的输出以使系统的输出y y( (t t) )无静差地跟踪一个外部信号无静差地跟踪一个外部信号y y0 0( (t t) )作为性能指标作为性能指标, ,相应得综合问题称为跟踪问题。相应得综合问题称为跟踪问题。优化型性能指标一般定义为关于状态x(t)和输入u(t)的积分型性能指标函数或关

10、于末态x(tf)的末值型性能指标函数。l l而综合的任务而综合的任务, ,就是要确定使性能指标函数取极就是要确定使性能指标函数取极值的控制规律值的控制规律, ,即最优控制律。即最优控制律。l l相应地性能指标函数值则称为最优性能。相应地性能指标函数值则称为最优性能。6.1.3研究综合问题的主要内容系统综合问题,无论是对优化型还是非优化型性能指标函数,首先存在2个主要问题。l l一个是控制的存在性问题一个是控制的存在性问题, ,即所谓可综合条件、控即所谓可综合条件、控制规律存在条件。制规律存在条件。 显然显然, ,只有对可综合的问题只有对可综合的问题, ,控制命题才成立控制命题才成立, ,才有必

11、要才有必要去求解控制规律。去求解控制规律。 对不可综合的问题对不可综合的问题, ,可以考虑修正性能指标函数可以考虑修正性能指标函数, ,或改变或改变被控系统的机理、结构或参数被控系统的机理、结构或参数, ,以使系统可综合条件成以使系统可综合条件成立。立。l l另一个是如何求解控制规律另一个是如何求解控制规律, ,即构造求解控制律即构造求解控制律的解析求解方法或计算机数值算法。的解析求解方法或计算机数值算法。 利用这些算法利用这些算法, ,对满足可综合条件的系统对满足可综合条件的系统, ,可确定控制可确定控制规律规律, ,如确定相应的状态反馈或输出反馈矩阵。如确定相应的状态反馈或输出反馈矩阵。

12、以现代技术的观点以现代技术的观点, ,这些方法应方便地使用计算机实这些方法应方便地使用计算机实现现, ,其相应的数值计算方法具有较好的数值稳定性其相应的数值计算方法具有较好的数值稳定性, ,即即在计算过程中可能出现的计算误差是否被不断放大、在计算过程中可能出现的计算误差是否被不断放大、传播传播, ,还是被抑制在一个小的范围还是被抑制在一个小的范围, ,其影响逐渐减弱。其影响逐渐减弱。6.1.4工程实现中的一些理论问题状态获取问题l l对状态反馈控制系统对状态反馈控制系统, ,要实现已求解的状态反馈要实现已求解的状态反馈规律规律, ,需要获取被控系统的状态信息需要获取被控系统的状态信息, ,以构

13、成反以构成反馈。馈。l l但对许多实际系统但对许多实际系统, ,所考虑的状态变量是描述系所考虑的状态变量是描述系统内部信息的一组变量统内部信息的一组变量, ,可能并不完全能直接测可能并不完全能直接测量或以经济的方式测量。量或以经济的方式测量。l l这就需要基于状态观测理论这就需要基于状态观测理论, ,根据系统模型根据系统模型, ,利利用直接测量到的输入输出信息来构造或重构状用直接测量到的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。态变量信息。l l相应的理论问题称为状态重构问题相应的理论问题称为状态重构问题, ,即观测器问即观测器问题。题。建模误差和参数摄动问题建模误差和参数摄动问题建模误差和参数摄

14、动问题建模误差和参数摄动问题l l对系统综合问题对系统综合问题, ,首先需建立一个描述系统动力学首先需建立一个描述系统动力学特性的数学模型。特性的数学模型。 并且并且, ,系统分析与综合都是建立在模型基础上的。系统分析与综合都是建立在模型基础上的。l l正如在第正如在第2 2章概述中指出的章概述中指出的, ,系统模型是理想与现系统模型是理想与现实实, ,精确描述与简化描述的折中精确描述与简化描述的折中, ,任何模型都会有建任何模型都会有建模误差。模误差。l l此外此外, ,由于系统本身的复杂性及其所处环境的复杂由于系统本身的复杂性及其所处环境的复杂性性, ,系统的动力学特性会产生缓慢变化。系统

15、的动力学特性会产生缓慢变化。 这种变化在一定程度上可视为系统模型的参数摄动。这种变化在一定程度上可视为系统模型的参数摄动。 这样这样, ,基于理想模型综合得到的控制器基于理想模型综合得到的控制器, ,运用于实际系运用于实际系统中所构成的闭环控制系统，对这些建模误差和参统中所构成的闭环控制系统，对这些建模误差和参数摄动是否具有良好的抗干扰性数摄动是否具有良好的抗干扰性( (不敏感性不敏感性), ),是否使是否使系统保持稳定系统保持稳定, ,是否使系统达到或接近预期的性能指是否使系统达到或接近预期的性能指标成为控制系统实现的关键问题。标成为控制系统实现的关键问题。l l该问题称为系统鲁棒性问题。该

16、问题称为系统鲁棒性问题。l l基于提高系统鲁棒性的控制综合方法也称为鲁棒控制方法。基于提高系统鲁棒性的控制综合方法也称为鲁棒控制方法。下面,本章将就这些系统综合的主要问题,如l l极点配置极点配置l l镇定镇定l l解耦解耦l l观测器问题观测器问题基于状态反馈理论作细致讨论。6.2状态反馈与输出反馈6.2.1状态反馈6.2.2输出反馈6.2.3反馈控制对能控性与能观测性的影响控制理论最基本的任务是,对给定的被控系统设计能满足所期望的性能指标的闭环控制系统,即寻找反馈控制律。l l状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策略要的反馈策略, ,其意

17、义分别为将观测到的状态和其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量以构成反馈律输出取作反馈量以构成反馈律, ,实现对系统的闭实现对系统的闭环控制环控制, ,以达到期望的对系统的性能指标要求。以达到期望的对系统的性能指标要求。l l在经典控制理论中在经典控制理论中, ,一般只考虑由系统的输出变一般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律量来构成反馈律, ,即输出反馈。即输出反馈。l l在现代控制理论的状态空间分析方法中在现代控制理论的状态空间分析方法中, ,多考虑多考虑采用状态变量来构成反馈律采用状态变量来构成反馈律, ,即状态反馈。即状态反馈。l l之所以采用状态变量来构成反馈律之所以采用状态变量来

18、构成反馈律, ,是因为状态空是因为状态空间分析中所采用的模型为状态空间模型间分析中所采用的模型为状态空间模型, ,其状态变其状态变量可完全描述系统内部动态特性。量可完全描述系统内部动态特性。l l由于由状态变量所得到的关于系统动静态的信息由于由状态变量所得到的关于系统动静态的信息比输出变量提供的信息更丰富、更全面比输出变量提供的信息更丰富、更全面, , 因此，若用状态来构成反馈控制律因此，若用状态来构成反馈控制律, ,与用输出反馈构成与用输出反馈构成的反馈控制律相比的反馈控制律相比, ,则设计反馈律有更大的可选择的范则设计反馈律有更大的可选择的范围围, ,而闭环系统能达到更佳的性能。而闭环系统

19、能达到更佳的性能。l l另一方面另一方面, ,从状态空间模型输出方程可以看出从状态空间模型输出方程可以看出, ,输输出反馈可视为状态反馈的一个特例。出反馈可视为状态反馈的一个特例。 因此因此, ,采用状态反馈应能达到更高的性能指标。采用状态反馈应能达到更高的性能指标。q本节讨论的主要问题：基本概念:状态反馈、输出反馈基本性质:反馈闭环系统的能控性/能观性q本节的讲授顺序为:状态反馈的描述式状态反馈的描述式输出反馈的描述式输出反馈的描述式闭环系统的状态能控性和能观性闭环系统的状态能控性和能观性q由于线性定常离散系统状态空间模型以及能控性判据的类同性,因此本节讨论的概念和方法也可推广到线性定常离散

20、系统的状态反馈和输出反馈系统的分析和设计问题。重点喔！6.2.1 状态反馈状态反馈对线性定常连续系统(A,B,C,D),若取系统的状态变量来构成反馈,则所得到的闭环控制系统称为状态反馈系统。l l状态反馈闭环系统的系统结构可如图状态反馈闭环系统的系统结构可如图6-16-1所示所示图6-1状态反馈系统的结构图其中K为rn维的实矩阵,称为状态反馈矩阵;v为r维的输入向量,亦称为伺服输入。将状态反馈律代入开环系统方程,q状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下:设开环系统状态空间模型和状态反馈律分别记为u=-Kx+vD=0则可得如下状态反馈闭环控制系统的状态空间模型:状态反馈闭环系统可简记为K(A-

21、BK,B,C),其传递函数阵为:WK(s)=C(sI-A+BK)-1B6.2.2 输出反馈输出反馈对线性定常连续系统(A,B,C,D),若取系统的输出变量输出变量来构成反馈,则所得到的闭环控制系统称为输出反馈控制系统。l l输出反馈控制系统的结构图如图输出反馈控制系统的结构图如图6-26-2所示。所示。与状态反馈有何不同?图6-2多输入多输出系统的输出反馈至参考输入结构q输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下:开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为其中H为rm维的实矩阵,称为输出反馈矩阵。将输出反馈律代入开环系统方程,u=-Hy+vy=Cx则可得如下输出反馈闭环控制系统的状态空间模型:输出反

22、馈闭环系统可简记为H(A-BHC,B,C),其传递函数阵为:WH(s)=C(sI-A+BHC)-1Bq由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知,输出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反馈。因此,在进行系统分析时,输出反馈可看作状态反馈的一种特例。反之,则不然。由此也可知,状态反馈可以达到比输出反馈更好的控制品质,更佳的性能。Understand?6.2.3反馈控制对能控性与能观测性的影响反馈控制对能控性与能观测性的影响q对于由状态反馈和输出反馈构成的闭环系统,其状态能控/能观性是进行反馈律设计和闭环系统分析时所关注的问题。下面分别讨论两种闭环系统的状态能控性状态能控性状态能观性状态能

23、观性1. 闭环系统的状态能控性闭环系统的状态能控性q由状态能控性模态判据状态能控性模态判据(定理定理3-3),被控系统(A,B,C)采用状态反馈后的闭环系统K(A-BK,B,C)的能控性可由条件rankI-A+BK B=n来判定,而上式即表明状态反馈不改变系统的状态能控性。q由于输出反馈可视为状态反馈在K=HC时的特例,故输出反馈亦不改变系统的状态能控性。2. 闭环系统的状态能观性闭环系统的状态能观性q对被控系统(A,B,C)有如下结论:采用输出反馈构成的闭环系统H(A-BHC,B,C)后状态能观性不变,即输出反馈不改变状态能观性输出反馈不改变状态能观性。q根据对偶性原理和输出反馈不改变状态能

24、控性的结论,可对上述结论证明如下:证明过程图解证明过程图解输出反馈闭环系统H(A-BHC,B,C)的状态能观性对偶原理经输出反馈H(A,C,B)的状态能控性对偶原理(A,B,C)的状态能观性对偶系统的状态能控性需证明的结论?证明过程证明过程:输出反馈闭环系统H(A-BHC,B,C)的状态能观性等价于其对偶系统(A-CHB,C,B)的状态能控性;而该对偶系统可以视为是系统(A,C,B)经输出反馈阵为H构成的闭环反馈系统;由于输出反馈不改变系统的能控性,因此闭环系统H(A-BHC,B,C)的状态能观性等价于系统(A,C,B)的状态能控性;又由对偶性原理有,系统(A,C,B)的状态能控性等价于其对偶

25、系统(A,B,C)的状态能观性。因此,证明得闭环系统H(A-BHC,B,C)的状态能观性等价于系统(A,B,C)的状态能观性。故输出反馈不改变状态能观性输出反馈不改变状态能观性。q对于采用状态反馈构成的闭环控制系统K(A-BK,B,C),状态反馈可能改变状态能观性。该结论可先由下面的例子来说明,在后述的极点配置部分再详细讨论。q例6-1设线性定常系统的状态空间模型为并设状态反馈阵K=31和输出反馈H=2。试分析该系统的状态反馈闭环系统和输出反馈闭环系统的状态能控/能观性。q解解 1：因为开环系统的能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为所以开环系统为状态能控又能观的。2.2. 经状态反馈经状态反馈u

26、u=-=-K Kx x+ +v v后的闭环系统的状态方程为后的闭环系统的状态方程为其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为所以状态反馈闭环系统为状态能控但不能观的,即状态反馈可能改变系统的状态能观性。3.经输出反馈u=-Hy+v后的闭环系统的状态方程为其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为所以输出反馈闭环系统为状态能控又能观的。6.3.1 状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理6.3.2系统状态反馈极点配置的算法系统状态反馈极点配置的算法6.3.3 输出反馈极点配置输出反馈极点配置6.3 极点配置极点配置本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定

27、的闭环极点。l l对线性定常离散系统的状态反馈设计问题对线性定常离散系统的状态反馈设计问题, ,有完全有完全平行的结论和方法。平行的结论和方法。对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。l l因此在进行系统设计时因此在进行系统设计时, ,设法使闭环系统的极点位设法使闭环系统的极点位于于s s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点指标的极点, ,是可以有效地改善系统的性能品质指是可以有效地改善系统的性能品质指标的。标的。 这样的控制系统设计方法称为极点配置。这样的控制系统设计方法称为极点配置。

28、 在经典控制理论的系统综合中在经典控制理论的系统综合中, ,无论采用频率域法还是无论采用频率域法还是根轨迹法根轨迹法, ,都是通过改变极点的位置来改善性能指标都是通过改变极点的位置来改善性能指标, ,本质上均属于极点配置方法。本质上均属于极点配置方法。l l本节所讨论得极点配置问题本节所讨论得极点配置问题, ,则是指如何通过状态则是指如何通过状态反馈阵反馈阵K K的选择的选择, ,使得状态反馈闭环系统的极点恰使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。好处于预先选择的一组期望极点上。反馈控制与极点配置反馈控制与极点配置(3/5)(3/5)q由于线性定常系统的特征多项式为实系数多

29、项式,因此考虑到问题的可解性,对期望的极点的选择应注意下列问题:1)对于n阶系统,可以而且必须给出n个期望的极点;2)期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数;3)期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。 本节主要讨论两方面的问题：其一，闭环极点可任意配置的条件；其二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。为简单起见，仅讨论单输入单输出系统。6.3.1采用状态反馈配置闭环系统极点1.采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件定理6-3采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统状态完全能控。证明先证必要性。由定理6-1知，若 不能控，则其不能控极点及其对应的不能控模

30、态不能通过状态反馈改变。证毕。 再证充分性。以下充分性证明过程实际上给出了单输入单输出系统设计反馈增益矩阵的规范算法。 (1)若被控系统 状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为（6-16）（6-17） 可通过如下变换（设 为能控标准型变换矩阵）（6-18）将 化为能控标准型 ，即（6-19）式中，（6-20） (2)针对能控标准型 引入状态反馈（6-21）式中， ，可求得对 的闭环系统 的状态空间表达式仍为能控标准型，即（6-22）式中，（6-23）则闭环系统 的特征多项式和传递函数分别为（6-24）（6-25） 式（6-24）、（6-25）表明， 的n阶特征多项式的n个系数可通过即

31、的特征值可任选。独立设置，故若被控系统 能控，则其状态反馈系统极点可任意配置。又(4)将式（6-18）代入式（6-21）得（6-28）则原被控系统 即对应于状态x引入状态反馈使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为（6-29）6.3.2 系统状态反馈极点配置的算法系统状态反馈极点配置的算法方法一 标准算法该算法适用系统维数n等于或大于4，控制矩阵中非零元素比较多的情况，所有的矩阵计算都可由计算机实现。具体可按下面步骤完成。1考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。2利用系统矩阵A的特征多项式确定出3确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P P。若给定的状态

32、方程已是能控标准形，那么P P =I I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。非奇异线性变换矩阵P P 可给出，即其中Q为能控性矩阵，即5此时的状态反馈增益矩阵为4利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为确定出方法二解联立方程如果是低阶系统（n3），则将线性反馈增益矩阵K直接代入闭环系统的特征多项式，可能更为简便。例如，若n=3，则可将状态反馈增益矩阵K写为进而将此代入闭环系统的特征多项式使其等于即由于该特征方程的两端均为 的多项式，故可通过使其两端的 同次幂系数相等，来确定 ，K1,K2,K3的值。如果n = 2或者n = 3，这种方法非常简便（对于n =4,5,6,，这种方法可

33、能非常繁琐）。还有其他方法可确定状态反馈增益矩阵K，比如著名的阿克曼公式算法、梅内默多克算法等，这里不作介绍，如有兴趣可以查阅相关文献。由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的，因此对实际控制系统，它可能不能直接测量，更甚者是抽象的数学变量，实际中不存在物理量与之直接对应。若状态变量不能直接测量，则在状态反馈中需要引入所谓的状态观测器来估计系统的状态变量的值，再用此估计值来构成状态反馈律。这将在下节中详述。 【例6-2】考虑如下线性定常系统利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s=-2j4和s=-10。试确定状态反馈增益矩阵K。 解：首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：所以得出

34、detQ=-1，因此，rankQ=3。因而该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。方法1：该系统的特征方程为：因此期望的特征方程为可得因此因此方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为并使和期望的特征多项式相等，可得6.3.3 输出反馈输出反馈极点配置极点配置由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间,因此输出反馈也称之为部分状态反馈。l l由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少息少, ,因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。态反馈弱。线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为:l l给定线性定常连续

35、系统给定线性定常连续系统输出反馈极点配置输出反馈极点配置(2/6)确定反馈控制律确定反馈控制律使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立q下面,先通过一输出反馈闭环系统的极点变化,考察输出反馈能否像状态反馈那样对能控系统进行极点配置,然后给出相关结论。例6-3考察下述能控能观的系统它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为其闭环特征多项式为s2+h。从而当h的值变化时,闭环系统的极点从2重的开环极点s=0配置到或,而不能任意配置。而不能任意配置。上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能进行任意的极点配置。l l因此因此, ,对某些系统对某些系统, ,采取

36、输出反馈可能不能配置闭环采取输出反馈可能不能配置闭环系统的所有极点系统的所有极点, ,使得闭环系统稳定或具有所期望使得闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点。的闭环极点。l l故故, ,欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点, ,要要尽可能采取状态反馈控制或动态输出反馈控制尽可能采取状态反馈控制或动态输出反馈控制( (动动态补偿器态补偿器) )。关于输出反馈可以任意配置极点数目p的问题,有如下定理(证明略)。定理定理6-4对能控能观的线性定常系统(A,B,C),可采用静态输出反馈进行“几乎”任意接近地配置p=minn,m+r-1个极点。定理6-4中的n,m,r

37、分别为状态空间、输出空间和输入空间的维数,“几乎”任意接近地配置极点的意义为可以任意地接近于指定的期望极点位置,但并不意味着能确定配置在指定的期望极点位置上。l l如如, ,对例对例6-36-3的的输出反馈问题输出反馈问题, ,由于由于minminn n, ,mm+ +r r- -1=1,1=1,则该系统可以通过输出反馈则该系统可以通过输出反馈“ “几乎几乎” ”任意任意接近地配置的极点数为接近地配置的极点数为1 1。 如期望的闭环极点为如期望的闭环极点为-1-1与与-2,-2,则输出反馈矩阵可以取则输出反馈矩阵可以取k k=-1=-1或或-4,-4,则可以将一个极点配置在则可以将一个极点配置

38、在-1-1或或-2,-2,但另一个但另一个闭环极点不能配置。闭环极点不能配置。 再如期望的闭环极点为再如期望的闭环极点为-1-1 2 2j j, ,则输出反馈矩阵可以取则输出反馈矩阵可以取k k=1,=1,则可以将一个极点配置在与期望极点则可以将一个极点配置在与期望极点-1-1 2 2j j 最接最接近的近的-1-1上上, ,但未能配置在期望的但未能配置在期望的-1-1 2 2j j上。上。6.4.1状态反馈镇定6.4.2输出反馈镇定6.4系统镇定受控系统通过状态反馈(或者输出反馈),使得闭环系统渐近稳定,这样的问题称为镇定问题。l l能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定能通过反馈控制而

39、达到渐近稳定的系统是可镇定的的l l镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内之内l l镇定问题的重要性主要体现在镇定问题的重要性主要体现在3 3个方面个方面: : 首首先先, ,稳稳定定性性往往往往是是控控制制系系统统能能够够正正常常工工作作的的必必要要条条件件, ,是对控制系统的最基本的要求是对控制系统的最基本的要求; ; 其其次次, ,许许多多实实际际的的控控制制系系统统是是以以渐渐近近稳稳定定作作为为最最终终设设计计目目标标; ; 最最后后, ,稳稳定定性性往往往往还还是是确确保保控控制制系系统统具具有有其其它它性性能能和和条条件件, ,如渐近

40、跟踪控制问题等。如渐近跟踪控制问题等。镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况,它只要求把闭环极点配置在s平面的左侧,而并不要求将极点严格配置在期望的极点上。l l为了使系统稳定为了使系统稳定, ,只需将那些不稳定因子只需将那些不稳定因子, ,即具有非即具有非负实部的极点负实部的极点, ,配置到配置到s s平面的左半开平面即可。平面的左半开平面即可。l l因此因此, ,通过状态通过状态( (输出输出) )反馈矩阵使系统的特征值得到反馈矩阵使系统的特征值得到相应配置相应配置, ,把系统的特征值把系统的特征值( (即的特征值即的特征值) )配置在平配置在平面的左半开平面就可以实现系统镇定。面的左半

41、开平面就可以实现系统镇定。下面分别介绍基于l l状态反馈状态反馈状态反馈状态反馈l l输出反馈输出反馈输出反馈输出反馈的2种镇定方法。6.4.1 状态反馈镇定状态反馈镇定 线性定常连续系统状态反馈镇定问题可以描述为:l l对于给定的线性定常连续系统对于给定的线性定常连续系统 ( (A A, ,B B, ,C C) ), ,找到一个找到一个状态反馈控制律状态反馈控制律: :使得闭环系统状态方程是镇定的,其中H为状态反馈矩阵,v为参考输入。对是否可经状态反馈进行系统镇定问题,有如下2个定理。定理定理6-5 状态完全能控的系统(A,B,C)可经状态反馈矩阵镇定。 证明证明根据状态反馈极点配置定理6-

42、1,对状态完全能控的系统,可以进行任意极点配置l l因此因此, ,也就肯定可以通过状态反馈矩阵也就肯定可以通过状态反馈矩阵K K将系统将系统的闭环极点配置在的闭环极点配置在s s平面的左半开平面之内平面的左半开平面之内, ,即即闭环系统是镇定的。闭环系统是镇定的。l l故证明了故证明了, ,完全能控的系统完全能控的系统, ,必定是可镇定的必定是可镇定的。定理定理6-6 若系统(A,B,C)是不完全能控的,则线性状态反馈使系统镇定的充要条件是系统的完全不能控部分是渐近稳定的,即系统(A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控部分。证明证明 (1)若系统(A,B,C)不完全能控,可以通过线性变换将

43、其按能控性分解为:其中, 为完全能控子系统; 为完全不能控子系统。(2)由于线性变换不改变系统的特征值,故有:(3)由于原系统(A,B,C)与结构分解后的系统在稳定性和能控性上等价,假设K为系统的任意状态反馈矩阵,对引入状态反馈阵,可得闭环系统的系统矩阵为l l进而可得闭环系统特征多项式为进而可得闭环系统特征多项式为: : 可以发现:引入状态反馈阵后,只能通过选择来使得的特征值具有负实部,从而使能控子系统渐近稳定。但的选择并不能影响不能控子系统的特征值分布。因此,当且仅当渐近稳定时(的特征值均具有负实部),整个系统是状态反馈能镇定的。从而定理得证。基于线性系统能控结构分解方法和状态反馈极点配置

44、方法,可得到如下状态反馈镇定算法。状态反馈镇定算法状态反馈镇定算法状态反馈镇定算法状态反馈镇定算法: : 步步步步1 1: :将可镇定的系统将可镇定的系统 ( (A A, ,B B, ,C C) )进行能控性分解进行能控性分解, ,获获得变换矩阵得变换矩阵P Pc c, ,并可得到并可得到其中,为完全能控部分,为完全不能控部分但渐近稳定。步步步步2 2: : 利用极点配置算法求取状态反馈矩阵利用极点配置算法求取状态反馈矩阵, ,使得使得具有一组稳定特征值。具有一组稳定特征值。步步步步3:3:3:3: 计算原系统计算原系统 ( (A A, ,B B, ,C C) )可镇定的状态反馈矩阵可镇定的状

45、态反馈矩阵例例6-4 给定线性定常系统试设计状态反馈矩阵K,使系统镇定.解解: 1)对系统进行能控性分解。表明系统不完全能控.l l取能控性分解变换矩阵取能控性分解变换矩阵P Pc c为为: :l l于是可得于是可得 原系统的能控性分解为原系统的能控性分解为l l由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点极点-1-1, ,因此不能控子系统是稳定的因此不能控子系统是稳定的, ,系统是可镇系统是可镇定的。定的。 2)对能控部分进行极点配置l l由上可知由上可知, ,系统的能控部分为系统的能控部分为l l设设A A* * 为具有期望特征值的闭环系统矩阵且

46、为具有期望特征值的闭环系统矩阵且, ,本例中设期望的闭环极点取为本例中设期望的闭环极点取为-3-3和和-2-2。l l因此有因此有 l l显然显然, ,当反馈阵当反馈阵 为为此时此时, ,闭环系统矩阵闭环系统矩阵A A* *为为3)求取原系统的状态反馈镇定矩阵l l经检验经检验, ,经状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为经状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。镇定的。 6.4.2 输出反馈镇定输出反馈镇定 线性定常连续系统书出反馈镇定问题可以描述为:l l对于给定的线性定常连续系统对于给定的线性定常连续系统(A A, ,B B, ,C C), ),找到一个找到一个输出反馈控制律输出反馈控制律

47、: :u u=-=-HyHy+ +v v式中式中, ,H H为输出反馈矩阵为输出反馈矩阵, ,v v为参考输入。为参考输入。l l引入输出反馈矩阵引入输出反馈矩阵H H后后, ,闭环系统状态方程为闭环系统状态方程为: :l l对是否可经输出反馈进行系统镇定问题对是否可经输出反馈进行系统镇定问题, ,有如下定有如下定理。理。定理定理6-7 系统(A,B,C)通过输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中的能控且能观部分是能输出反馈极点配置的,其余部分是渐近稳定的。 证明证明 对进行能控能观性结构分解,可得l l由于输出反馈可以视为状态反馈由于输出反馈可以视为状态反馈K K= =HCHC 的一种时的一种

48、时的特例的特例, ,且原系统且原系统(A A, ,B B, ,C C) )与结构分解后的系统与结构分解后的系统在能观性和能控性上等价在能观性和能控性上等价, ,同定理同定理6-66-6证明证明过程过程, ,对对系统系统引入输出反馈矩阵引入输出反馈矩阵, ,可得闭环系统可得闭环系统的系统矩阵的系统矩阵 l l相应的闭环系统特征多项式为相应的闭环系统特征多项式为: :l l由能控能观性分解知由能控能观性分解知, ,当且仅当当且仅当 的特征值均具有负实部时的特征值均具有负实部时, ,闭环系统才能获得渐近闭环系统才能获得渐近稳定。稳定。 因此因此, ,系统系统(A A, ,B B, ,C C) )通过

49、输出反馈能镇定的充要条件是通过输出反馈能镇定的充要条件是 结构分解中的能控且能观部分结构分解中的能控且能观部分是能输出是能输出反馈极点配置的反馈极点配置的, ,其余部分是渐近稳定的。其余部分是渐近稳定的。 由定理6-7可知,能输出反馈镇定,一定可以状态反馈镇定。l l但反之则不尽然但反之则不尽然, ,能状态反馈能镇定的能状态反馈能镇定的, ,并不一定能并不一定能输出反馈镇定。输出反馈镇定。 例例6-7 考虑线性定常系统(A,B,C),其中分析通过输出反馈的系统可镇定性。解解由系统的能控能观判据知,该系统是能控且能观的。l l因此因此, ,系统通过输出反馈能镇定的条件是整个系统系统通过输出反馈能

50、镇定的条件是整个系统都应是能镇定的。都应是能镇定的。l l首先求系统的特征多项式为首先求系统的特征多项式为: :由劳斯判据由劳斯判据, ,开环系统不稳定。开环系统不稳定。 l l设输出反馈矩阵为设输出反馈矩阵为H H=h h1 1 h h2 2 T T, ,则闭环系统的系统则闭环系统的系统矩阵为矩阵为: :l l相应的闭环系统特征多项式为相应的闭环系统特征多项式为: :l l由劳斯判据由劳斯判据, ,可以得出特征方程根均具有负实部可以得出特征方程根均具有负实部( (能够镇定能够镇定) )的的h h1 1及及h h2 2取值范围为取值范围为: :l l在本例中在本例中, ,若取若取h h1 1=

51、-3,=-3,h h2 2=-2,=-2,则闭环系统特征多项则闭环系统特征多项式化为式化为: :其特征根为其特征根为s s1 1=-0.57,=-0.57,s s2 2=-0.22+1.3j=-0.22+1.3j。 因此因此, ,原系统经过输出反馈原系统经过输出反馈H H=-3-2=-3-2T T 能够镇定。能够镇定。 6.5系统解耦 6.5.1补偿器解耦6.5.2状态反馈解耦耦合是生产过程控制系统普遍存在的一种现象。在一个MIMO系统中，每一个输入都受多个输出的影响，每个输出受多个输入的控制，当一个控制量的变化必然会波及其它量的变化，这种现象称为耦合。解耦，就是消除系统间耦合关联作用。如果一

52、个输入量只受一个输出量影响，即一个输出仅受一个输入控制，这样的系统称为无耦合系统。特别是过程控制中，解耦控制有着重要的意义。目前许多在航天、发电、化工等方面的控制系统难于投入运行，不少是因耦合的原因造成，因此解耦问题的研究十分重要。 设多变量线性定常系统 的输入向量维数与输出向量维数相等,其状态空间表达式为式中， 均为m维列向量； 为n维列向量;A,B,C分别为 实数矩阵,且设 。与式（5-74）对应的传递函数阵为(6-36)式中,为m阶严格真有理函数方阵;为 的第i行第j列元素,表示第i个输出量与第j个输入量之间的传递函数。若系统初始为零状态,则其输入输出关系为(6-37) 由式(6-37)

53、可见,一般情况下,多变量系统的每一输入分量对多个(或所有)输出分量均有控制作用,即每一输出分量受多个(或所有)输入分量的控制。这种第j个输入量控制第i个输出量()的关系称为输入输出间的耦合作用,这种耦合使多变量系统的控制通常十分困难,例如,就难以找到合适的输入量,达到控制某一输出分量而不影响其它输出分量的要求。因此,有必要引入合适的控制律,使输入输出相互关联的多变量系统实现解耦,即实现每个输出分量仅受一个对应输入分量控制,每个输入分量也仅能控制对应的一个输出分量。显然,解耦系统的传递函数矩阵必为对角线形的非奇异矩阵,由此解耦系统的定义出发,使多变量系统实现解耦的基本思路是通过引入控制装置使系统

54、传递函数矩阵对角化,而具体实现方法主要有前馈补偿器解耦、输入变换与状态反馈相结合解耦等。6.5.1前馈补偿器解耦 采用前馈补偿器实现解耦的方法如图6-3所示,在待解耦系统前串联一个前馈补偿器,使串联后总的传递函数阵成为对角形的有理函数矩阵。图6-3 前馈补偿器实现解耦 图6-3中,待解耦系统和前馈补偿器的传递函数阵分别为 和 ,则串接补偿器后整个系统的总传递函数阵为(6-38)令(6-39) 显然,只要待解耦系统传递函数阵 满秩,即 的逆 存在,则可采用如式(6-40)所示的前馈补偿器使系统获得解耦,即(6-40)式中,为串接补偿器后解耦系统的对角形传递函数阵,如式(6-39)所示。 串接前馈

55、补偿器解耦的原理虽然简单,但其增加了系统的维数,且其实现受到 是否存在及 物理上是否可实现的限制。6.5.26.5.2状态反馈解耦状态反馈解耦 采用输入变换与状态反馈相结合方式以实现闭环输入输出间解耦控制的系统结构如图6-5所示。图6-5采用输入变换与状态反馈相结合实现解耦 图6-5中,待解耦系统 状态空间表达式及传递函数阵分别如式(6-35)及式(6-36)所示;状态反馈增益阵K为 实常数阵;输入变换阵F为 实常数非奇异阵;v为m维参考输入信号列向量。 由图6-5可见,为实现闭环解耦控制,对 采用的控制律为得图6-5所示闭环系统 的状态空间表达式及传递函数矩阵,即因此,待解耦系统 采用所示控

56、制律实现闭环解耦问题在频域中可简单描述如下:寻找适当的状态反馈增益矩阵K和输入变换阵F,使闭环系统 的传递函数阵为对角形矩阵。 定义 是0(n-1)之间满足下式(6-44)的最小整数。式中,为 输出矩阵C的第i行向量,故相应的 的下标i表示行数 。若对,均有 ,则令 。 根据 ,定义 维矩阵(6-45)定理6-8系统采用式(6-41) 所示输入变换与状态反馈相结合控制律可解耦的充要条件是式(6-45)所示矩阵 非奇异。定理6-9当系统 可以式(6-41) 所示输入变换与状态反馈相结合控制律解耦时, 若取输入变换阵F及状态反馈增益阵K为 (6-46)则所得闭环系统(6-47)是积分型解耦系统,其

57、传递函数阵为(6-48)6.6状态观测器6.6.1全维状态观测器及其设计方法6.6.2降维状态观测器及其设计方法6.6 状态观测器状态观测器q前面已指出,对状态能控的线性定常系统,可以通过线性状态反馈来进行任意极点配置,以使闭环系统具有所期望的极点及性能品质指标。但是,由于描述内部运动特性的状态变量有时并不是能直接测量的,更甚者有时并没有实际物理量与之直接相对应而为一种抽象的数学变量。在这些情况下,以状态变量作为反馈变量来构成状态反馈系统带来了具体工程实现上的困难。为此,人们提出了状态变量的重构或观测估计问题?q所谓的状态变量的重构或观测估计问题,即设法另外构造一个物理可实现的动态系统,它以原

58、系统的输入和输出作为它的输入,而它的状态变量的值能渐近逼近原系统的状态变量的值或者其某种线性组合,则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态变量的估计值,并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为反馈量来构成状态反馈律。这种重构或估计系统状态变量值的装置称为状态观测器,它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统,亦可以是由计算机和计算模型及软件来实现的软系统。状态观测器指不考虑噪声干扰下状态值的观测或估计问题,即所有测量值都准确无差且原系统内外部无噪声干扰。对于存在噪声干扰时的状态观测或估计问题,则可用卡尔曼滤波器理论来分析讨论(最优估计)。q本节主要讨论状态观测器理论。重点掌握:状态观测器

59、的结构、误差分析、设计方法,以及带状态观测器的状态反馈闭环系统的分析。讨论的主要问题：1.基本概念:状态观测器2.基本方法:状态观测器设计方法、误差分析方法、带状态观测器的闭环系统分析方法。讲授的顺序为:全维状态观测器及其设计方法全维状态观测器及其设计方法降维状态观测器及其设计方法降维状态观测器及其设计方法q由于线性定常离散系统状态空间模型以及能观性判据的类同性,因此本节讨论的概念和方法也可推广到线性定常离散系统的状态观测问题。6.6.1 全维状态观测器及其设计方法全维状态观测器及其设计方法q下面分别介绍开环状态观测器开环状态观测器渐近状态观测器渐近状态观测器1.开环状态观测器q设线性定常连续

60、系统的状态空间模型为(A,B,C),即为在这里设系统的系统矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都已知。这里的问题是：若状态变量x(t)不能完全直接测量到,如何构造一个系统随时随时估计该状态变量x(t)。对此问题一个直观想法是：利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学性质(即有同样的系数矩阵A,B和C)的如下系统来重构被控系统的状态变量:其中 为被控系统状态变量x(t)的估计值。q该状态估计系统称为开环状态观测器,图6-8开环状态观测器的结构图其结构如下图所示。简记为q比较系统(A,B,C)和的状态变量,有则状态估计误差 的解为q显然,当 时,则有,即估计值与真实值完全相等。但是,一般情况下是很难

61、做到这一点的。这是因为:2.若矩阵A的某特征值位于s平面的虚轴或右半开平面上(实部0),则矩阵指数函数eAt中包含有不随时间t趋于无穷而趋于零的元素。1.有些被控系统难以得到初始状态变量x(0),即不能保证 ;v此时若 或出现对被控系统状态x(t)或状态观测器状态 的扰动,则将导致状态估计误差 将不趋于零而为趋于无穷或产生等幅振荡。所以,由于上述状态观测器不能保证其估计误差收敛到零,易受噪声和干扰影响,其应用范围受到较大的限制。q仔细分析便会发现,该观测器只利用了被控系统输入信息u(t),而未利用输出信息y(t),其相当于处于开环状态,未利用输出y(t)的观测误差或对状态观测值进行校正。为了和

62、下面讨论的状态观测器区分开来,通常把该观测器称为开环状态观测器。即,由观测器得到的 只是x(t)的一种开环估计值。2.渐近状态观测器q前面讨论的开环状态观测器未利用被控系统的可直接测量得到的输出变量来对状态估计值进行修正,所得到的估计值不佳,可以预见,若利用输出变量对状态估计值进行修正,即反馈校正,则状态估计效果将有本质性的改善。下面将讨论该类状态观测器系统的特性及设计方法。其估计误差 将会因为矩阵A具有在s平面右半闭平面的特征值,导致不趋于零而趋于无穷或产生等幅振荡。q如果对任意矩阵A的情况都能设计出相应的状态观测器,对于任意的被控系统的初始状态都能满足下列条件:即状态估计值可以渐近逼近被估

63、计系统的状态,则称该状态估计器为渐近状态观测器。q根据上述利用输出变量对状态估计值进行修正的思想和状态估计误差须渐近趋于零的状态观测器的条件,可得如下状态观测器:其中G称为状态观测器的反馈矩阵。该状态估计器称为全维状态观测器,简称为状态观测器,其结构如下图所示。q下面分析状态估计误差是否能趋于零。图6-9渐近状态观测器的结构图q先定义如下状态估计误差:其中A-GC称为状态观测器的系统矩阵。则有上述误差方程的解为根据上述误差方程,被控系统(A,B,C)的渐近状态观测器,亦可简记为。q显然,当状态观测器的系统矩阵A-GC的所有特征值位于s平面的左半开平面,即具有负实部,因此,状态观测器的设计问题归

64、结为求反馈矩阵G,使A-GC的所有特征值具有负实部及所期望的衰减速度,即状态观测器的极点是否可任意配置问题。对此有如下定理。q定理定理 渐近状态观测器的极点可以任意配置,即通过矩阵G任意配置A-GC的特征值的充要条件为矩阵对(A,C)能观。则无论 等于x(0)否,状态估计误差 将随时间t趋于无穷而衰减至零,观测器为渐近稳定的。q证明证明证明过程的思路为：证明过程的思路为：A-GC的极点可由G任意配置两者极点相等A-CG的极点可由G任意配置经状态反馈G系统(A,C)的极点可由G任意配置对偶原理(A,C)状态能观需证明的结论?系统(A,C)状态能控极点配置的充要条件证明过程为：证明过程为：由于A-

65、GC的特征值与A-CG的特征值完全相同,则A-GC的特征值可由G任意配置等价于A-CG的特征值可由G任意配置,即等价于系统(A,C)可通过状态反馈阵G进行任意极点配置。而,(A,C)的极点可任意配置的充分必要条件为矩阵对(A,C)能控,由对偶性原理知,即为矩阵对(A,C)能观。因此,A-GC的特征值可任意配置的充要条件为矩阵对(A,C)能观。可见,只要被控系统状态能观,则一定存在可任意极点配置的渐近状态观测器。q与状态反馈的极点配置问题类似,对状态观测器的极点配置问题,对期望的极点的选择应注意下列问题:1.对于n阶系统,可以而且必须给出n个期望的极点。2.期望极点必须是实数或成对出现的共轭复数

66、。3.为使基于状态观测器的状态反馈闭环控制系统有更好的暂态过渡过程,状态观测部分应比原被控系统和闭环系统的控制部分有更快的时间常数(衰减更快),即状态观测部分的极点比其它部分的极点应当更远离虚轴。q由上述分析过程,类似于状态反馈的极点配置技术,有如下状态观测器的设计方法。q方法一方法一方法一的思想方法一的思想:利用对偶性原理,将状态观测器设计转化为状态反馈极点配置,然后利用状态反馈极点配置技术求状态观测器的反馈阵G。其具体方法是,将能观矩阵对(A,C)转换成对偶的能控矩阵对(A,C),再利用极点配置求状态反馈阵G,使A-CG的极点配置在指定的期望位置上。相应地,G即为被控系统(A,B,C)的状

67、态观测器(A-GC,B,C)的反馈矩阵。计算过程可图解如下:能观性矩阵对(A,C)能控性矩阵对(A,C)由状态反馈极点配置技术计算G配置A-CG的极点由对偶原理计算由反馈矩阵G配置状态观测器的A-GC的极点由对偶原理计算q方法二方法二方法二的思想方法二的思想:先通过非奇异线性变换,将状态完全能观的被控系统(A,C)变换成能观规范II形,即有其中ai*和ai(i=1,2,n)分别为期望的状态观测器的极点所决定的特征多项式的系数和原被控系统的特征多项式的系数。对能观规范II形进行极点配置,求得相应的能观规范II形的观测器的反馈阵如下因此,原系统(A,B,C)的相应状态观测器的反馈阵G为上述结论的证

68、明与定理6-1的充分性的证明类似,这里不再赘述。q例6-8 设线性定常系统的状态空间模型为试设计一状态观测器,使其极点配置为-3,-4,-6。q解(1) 方法一方法一：1.先利用对偶性方法,求得原系统的如下对偶系统:2.将上述能控状态空间模型化为能控规范II形的变换矩阵为其中3. 求对偶系统的状态反馈阵。由于被控系统的特征多项式和期望极点的特征多项式分别为f(s)=|sI-A|=s3-3s+2f*(s)=(s+3)(s+4)(s+5)=s3+12s2+47s+60则对偶系统的状态反馈阵K为即所求状态观测器的反馈阵G=K=202512则相应状态观测器为(2) 方法二方法二。1.先将原系统化成能观

69、规范II形。能观规范II形的变换矩阵To2为其中2.因此能观规范II形的状态观测器的反馈矩阵为则原被控系统的状态观测器的反馈矩阵G为可见,用方法二求得的G矩阵与方法一完全相同。6.6.2 降维状态观测器及其设计方法降维状态观测器及其设计方法用上述方法设计的状态观测器是n阶的,即n维状态变量全部由观测器获得,所以该观测器又可称为全维状态观测器。l l由输出方程可知由输出方程可知, ,其实状态变量的部分信息可直接其实状态变量的部分信息可直接由输出变量的测量值提供由输出变量的测量值提供, ,如在特殊形式的输出方如在特殊形式的输出方程程中,状态变量向量x2即为输出变量y,故该系统只要仅对x1设计状态观

70、测器即可,对对x2就没有必要再设计状态观测器就没有必要再设计状态观测器。 因因此此, ,所所设设计计的的状状态态观观测测器器的的维维数数就就少少于于状状态态变变量量的的维维数数n n。 该类状态观测器称为降维状态观测器。该类状态观测器称为降维状态观测器。由线性代数知识可知,任何输出方程,只要输出矩阵C满秩(行满秩),总可以找到非奇异的线性变换将输出方程变换成(6-61)所示的输出方程。l l变换方法介绍如下变换方法介绍如下: : 首先首先, ,对任何输出矩阵为满秩矩阵的状态空间模型对任何输出矩阵为满秩矩阵的状态空间模型, ,经过经过对状态变量的重新排列顺序对状态变量的重新排列顺序, ,都可变换

71、成如下形式的状都可变换成如下形式的状态空间模型态空间模型其中矩阵C2为mm维的可逆方阵;状态变量向量x1和x2分别为n-m维和m维的。 当选取变换矩阵当选取变换矩阵P P为为则在状态变换 下,状态空间模型可变换为对状态空间模型,状态变量即为输出变量y(t),因此只需对状态变量设计降维状态观测器即可。在求得状态变量的状态估计值后,作上述线性变换的逆变换,则可求得原状态变量x(t)的估计值。经上述变换后,状态变量所满足的状态方程为q下面介绍降维状态观测器的设计方法。其中z是降维状态观测器的n-m维状态变量;l l仿照前面介绍的全维状态观测器的设计方法仿照前面介绍的全维状态观测器的设计方法, ,构构

72、造状态变量造状态变量的全维状态观测器如下的全维状态观测器如下: :是该降维状态观测器的输出变量,即变换后的系统的状态变量的估计值;矩阵F,G,H和L为适宜维数的待定常数矩阵。降维状态观测器的结构图如图6-10所示。图6-10降维状态观测器的结构图下面讨论如何选取降维状态观测器(6-66)的各矩阵,才能使得将上式及y=代入式(6-67),可得和由状态观测器方程(6-66),有将式(6-65)减去上式,可得状态估计误差所满足的动态方程l l将状态空间模型中将状态空间模型中所满足的状态方程代入上所满足的状态方程代入上式式, ,可可得得l l若取若取则状态观测误差所满足的状态方程(6-71)可记为若取

73、由式(6-72)可知,类似于前面所讨论的全维状态观测器,当矩阵对是状态完全能观的,则通过矩阵L的选择可任意配置矩阵F的特征值,即能使F的特征值都具有负实部。由上式(6-75)可知,欲使渐近逼近的充分必要条件为矩阵F的全部特征值都具有负实部。因此矩阵L的选择方法与全维状态观测器中的反馈矩阵G的选取方法完全一致,亦有相应的方法一和方法二。l l因此因此, ,由线性系统的输出方程和降维状态观测器由线性系统的输出方程和降维状态观测器, ,我们可得状态变量向量我们可得状态变量向量的如下估计值的如下估计值则原系统的状态变量向量x(t)的估计值为于是所设计的原系统的降维状态观测器为例例6-9设线性定常系统的

74、状态方程为试设计一降维状态观测器,使其极点配置为-3,-4。q解(1)将系统作结构分解。由于rankC=1,且C阵的最后一个元素不为零,所以不必再重新排列状态变量,只要按虚线所示方式将系统分解即可。l l按式按式( (6-636-63) )构造变换矩阵构造变换矩阵P P如下如下: : 相应地(2)计算:(3)由式(6-66)可知,降维状态观测器的特征多项式为(4)由给定的期望特征值得期望的特征多项式为f*(s)=(s+3)(s+3)=s2+7s+12令f(s)=f*(s),则可得(5)由F，G和H的计算公式,可得降维状态观测器的各矩阵为于是所得的降维状态观测器为则原系统的状态变量向量x的估计值

75、为6.7采用状态观测器的状态反馈系统q状态观测器解决了状态变量不能直接测量的系统的状态估计问题,它为用状态反馈实现系统闭环控制奠定了基础。但状态观测器对状态反馈闭环系统的稳定性和其它性能品质指标的影响如何,则是一个需要细致分析的问题。本节主要研究利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统的特性,以及它和直接采用状态变量为反馈量时的异同。下面我们先导出带状态观测器的状态反馈闭环控制系统的状态空间模型,并以此来进行该闭环系统的特性分析。q设系统(A,B,C)状态能控又能观,则该系统可通过状态反馈进行极点配置,以及能建立全维状态观测器并对其进行极点配置。若系统(A,B,C)的状态变量不能直接测量,则可由状

76、态观测器提供的状态变量的估计值来构成状态反馈律。即对线性定常连续系统其全维状态观测器为l l设基于状态观测值设基于状态观测值 的状态反馈律为的状态反馈律为q带全维状态观测器的状态反馈闭环系统的结构图如图6-11所示。图6-11带状态观测器的状态反馈闭环控制系统结构图q下面分析上述带状态观测器的状态反馈闭环系统的观测误差：首先，定义状态观测误差为l l另闭环控制系统的状态方程又可记为另闭环控制系统的状态方程又可记为代入被控系统和状态观测器的输出方程增加/减去-BKx项则有因此,带全维状态观测器的状态反馈闭环控制系统的状态空间模型为由上述带全维状态观测器的闭环控制系统的状态空间模型,可得该闭环系统

77、的如下几点特性:1. 1. 分离特性分离特性分离特性分离特性l l由闭环系统状态空间模型的状态方程可知由闭环系统状态空间模型的状态方程可知, ,整个整个闭环系统的特征值由矩阵块闭环系统的特征值由矩阵块A A- -BKBK的特征值和矩的特征值和矩阵块阵块A A- -GCGC的特征值所组成的特征值所组成, , 即由状态反馈部分的特征值和状态观测器部分的特即由状态反馈部分的特征值和状态观测器部分的特征值所组成。征值所组成。l l这两部分的特征值可单独设计这两部分的特征值可单独设计( (配置配置), ),互不影响互不影响, ,这种特性称为状态反馈控制与状态观测器的分离这种特性称为状态反馈控制与状态观测

78、器的分离特性。特性。l l一般在工程上一般在工程上, ,为保证有较好的控制精度、快速为保证有较好的控制精度、快速性和超调量等动态指标性和超调量等动态指标, ,状态观测器部分状态观测器部分A A- -GCGC的的特征值的实部应远小于状态反馈部分特征值的实部应远小于状态反馈部分A A- -BKBK的特的特征值的实部征值的实部, ,即更远离虚轴。即更远离虚轴。2. 2. 传递函数的不变性传递函数的不变性传递函数的不变性传递函数的不变性l l由闭环系统状态空间模型由闭环系统状态空间模型, ,可得带观测器的闭环可得带观测器的闭环系统的传递函数阵如下系统的传递函数阵如下: :因此,带观测器的闭环系统的传递

79、函数阵完全等于直接采用状态变量作反馈量的闭环系统的传递函数阵,即状态观测器不改变闭环系统的传递函数阵,也就是不改变闭环系统的外部输入输出特性。3. 3. 状态观测误差不能控状态观测误差不能控状态观测误差不能控状态观测误差不能控q上面讨论的是带全维状态观测器的状态反馈闭环系统的特性,对带降维状态观测器的状态反馈闭环系统亦存在相同的特性,这里从略。由闭环控制系统状态方程可知,状态观测误差是不能控的,即不能由外部输入去影响它。只要矩阵A-GC的特征值具有负实部,则 不管输入信号如何,则一定按A-GC所确定的衰减速度衰减至零。6.8MATLAB在极点配置及状态观测器设计中的应用6.8.1用MATLAB

80、实现极点配置6.8.2用MATLAB实现状态观测器设计6.8.3用MATLAB实现带状态观测器的闭环状态反馈系统6.8.16.8.1用用MATLABMATLAB实现极点配置实现极点配置单输入系统状态反馈极点配置函数单输入系统状态反馈极点配置函数acker()acker()的调用格式为的调用格式为k=acker(A,b,p)k=acker(A,b,p)其中，输入的其中，输入的A A和和b b分别为单输入系统的系统矩阵和输入矩阵分别为单输入系统的系统矩阵和输入矩阵; ;l lp p为给定的期望闭环极点所组成的一维数组为给定的期望闭环极点所组成的一维数组; ;输出输出k k为求得为求得的状态反馈矩阵

81、。的状态反馈矩阵。由于单输入系统状态反馈极点配置问题的反馈矩阵由于单输入系统状态反馈极点配置问题的反馈矩阵K K的解具的解具有惟一性有惟一性, ,因此函数因此函数acker()acker()求得的反馈矩阵与求得的反馈矩阵与6.26.2节介绍的求节介绍的求解结果完全一致。解结果完全一致。l lMatlabMatlab在求得反馈矩阵后在求得反馈矩阵后, ,就可以构造反馈系统就可以构造反馈系统, ,进行反馈进行反馈系统的仿真与分析了。系统的仿真与分析了。MatlabMatlab问题问题问题问题 试试在在MatlabMatlab中中计算计算 系统系统在期望的闭环极点为在期望的闭环极点为-1j2-1j2

82、时的状态反馈矩阵时的状态反馈矩阵, ,并计算闭环系统的并计算闭环系统的初始状态响应并绘出响应曲线。初始状态响应并绘出响应曲线。 MatlabMatlab程序程序程序程序如下如下如下如下。A=-1 -2; -1 3; b=2; 1;x0=2; -3;p=-1+2j -1-2j;k = acker(A,b,p);A_c=A-b*k;sys=ss(A_c,b,);y,t,x = initial(sys,x0);plot(t,x); % 赋值开环系统的系统矩阵和输入矩阵% 赋值系统的初始状态% 赋值期望的闭环极点% 计算基于极点配置的状态反馈矩阵% 计算闭环系统的系统矩阵% 建立闭环系统的状态方程%

83、求解状态反馈闭环系统的初始状态响应% 绘制状态轨线图 l lMatlabMatlab程序执行程序执行程序执行程序执行结果结果结果结果如下如下如下如下. .输出的闭环系统初始状态响应曲线如图6-12所示。k = -2.3333 8.6667 计算结果结果完全一致6.8.2用用MATLAB实现状态观测器设计实现状态观测器设计一、一、一、一、MATLABMATLAB设计状态观测器函数设计状态观测器函数设计状态观测器函数设计状态观测器函数 由于状态观测器反馈矩阵由于状态观测器反馈矩阵GG的求法和极点配置类似，的求法和极点配置类似，所以所以MATLABMATLAB设计状态观测器函数还是设计状态观测器函数

84、还是placeplace或函数或函数ackeracker，格式为，格式为G=place(G=place(AA，CC，P P) )G=acker(G=acker(AA，CC，P P) )式中，式中，P P为观测器的期望极点配置。为观测器的期望极点配置。二、利用二、利用MATLAB进行状态观测器的设计进行状态观测器的设计设计时，要注意状态观测器期望极点配置设计时，要注意状态观测器期望极点配置P P的选择。为了的选择。为了保证状态观测器输出的状态估计值保证状态观测器输出的状态估计值 快速跟踪实际状态值快速跟踪实际状态值x x，极点的绝对值应大些，但是如果极点的绝对值过大会使极点的绝对值应大些，但是如

85、果极点的绝对值过大会使系统产生饱和或引起噪声干扰。系统产生饱和或引起噪声干扰。【例例例例6 61212】设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为试设计一状态观测器，其极点为-3，-4，-5。首先检验系统是否状态完全能观，若是，则采用全维状态观测器，如不是，可采用降维观测器部分极点配置方案。6.8.3 用用MATLAB实现带状态观测器的实现带状态观测器的闭环状态反馈系统闭环状态反馈系统利用利用MATLABMATLAB可方便地构成状态方程并进行闭环系统的可方便地构成状态方程并进行闭环系统的时域和频域分析。时域和频域分析。上例中，若系统的期望极点上例中，若系统的期望极点P=-2+iP=-2+

86、i，-2-i-2-i，-15-15，用极点，用极点配置法求系统的状态反馈增益矩阵以及带状态观测器的闭环配置法求系统的状态反馈增益矩阵以及带状态观测器的闭环系统特征值。系统特征值。本本 章章 小小 结结本章讨论了基于状态空间描述综合线性定常系统问题中的极本章讨论了基于状态空间描述综合线性定常系统问题中的极点配置、镇定、解耦控制、状态观测器、稳态跟踪问题。其点配置、镇定、解耦控制、状态观测器、稳态跟踪问题。其中，极点配置、镇定、状态观测器是较为基本的问题，应正中，极点配置、镇定、状态观测器是较为基本的问题，应正确理解其所涉及的基本概念，掌握其所涉及的基本方法及基确理解其所涉及的基本概念，掌握其所涉

87、及的基本方法及基本运算。本运算。在现代控制理论中，反馈仍是基本的控制方式，且更多地在现代控制理论中，反馈仍是基本的控制方式，且更多地采用状态反馈。若被控系统状态完全能控，则利用状态反馈采用状态反馈。若被控系统状态完全能控，则利用状态反馈可任意配置闭环系统的特征值，这是状态反馈最重要的性质，可任意配置闭环系统的特征值，这是状态反馈最重要的性质，其体现了系统能控性概念的实用价值。本章关于定理其体现了系统能控性概念的实用价值。本章关于定理6-36-3充分充分性的证明过程给出了单输入单输出系统设计反馈增益矩阵的性的证明过程给出了单输入单输出系统设计反馈增益矩阵的规范算法，其很适合于计算机编程运算，但当

88、被控系统阶次规范算法，其很适合于计算机编程运算，但当被控系统阶次较低时，采用解联立方程的方法则较为简便。较低时，采用解联立方程的方法则较为简便。线性非动态输出反馈具有易于工程实现的突出优点，但不能线性非动态输出反馈具有易于工程实现的突出优点，但不能任意配置反馈系统的极点是它的局限，为了使输出反馈达到任意配置反馈系统的极点是它的局限，为了使输出反馈达到满意的性能，往往要加入动态补偿器。满意的性能，往往要加入动态补偿器。镇定问题是一类特殊的闭环极点配置问题，其期望闭环极镇定问题是一类特殊的闭环极点配置问题，其期望闭环极点均只要求具有负实部。分别给出了线性定常系统采用状态点均只要求具有负实部。分别给

89、出了线性定常系统采用状态反馈、输出反馈可镇定的充要条件。反馈、输出反馈可镇定的充要条件。输入量、输出量解耦控制是多变量线性定常系统综合理论输入量、输出量解耦控制是多变量线性定常系统综合理论的重要组成部分。使多变量系统实现解耦的基本思路是：通的重要组成部分。使多变量系统实现解耦的基本思路是：通过引入控制装置使系统传递函数矩阵对角化，而具体实现方过引入控制装置使系统传递函数矩阵对角化，而具体实现方法主要有前馈补偿器解耦、输入变换与状态反馈相结合解耦法主要有前馈补偿器解耦、输入变换与状态反馈相结合解耦等。等。状态观测器理论是为了克服状态反馈物理实现的困难而提出状态观测器理论是为了克服状态反馈物理实现

90、的困难而提出的，其是现代控制理论中具有工程实用价值的基本内容之一。的，其是现代控制理论中具有工程实用价值的基本内容之一。本章介绍了观测器理论中的基本问题，即观测器的存在性条本章介绍了观测器理论中的基本问题，即观测器的存在性条件、闭环观测器极点配置问题和降维观测器问题。若被控系件、闭环观测器极点配置问题和降维观测器问题。若被控系统状态完全能观，则闭环状态观测器的极点可任意配置。配统状态完全能观，则闭环状态观测器的极点可任意配置。配置状态观测器极点的方法也有规范算法和解联立方程的方法。置状态观测器极点的方法也有规范算法和解联立方程的方法。对采用状态观测器实现状态反馈的控制系统，可根据分离原对采用状态观测器实现状态反馈的控制系统，可根据分离原理即复合系统特征值的分离性质，分别独立设计状态反馈控理即复合系统特征值的分离性质，分别独立设计状态反馈控制器及状态观测器。制器及状态观测器。对对MATIABMATIAB在闭环极点配置、状态观测器设计中的应用本在闭环极点配置、状态观测器设计中的应用本章也作了介绍。章也作了介绍。