《直线与平面所成的角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线与平面所成的角（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、直线与平面垂直的定义：直线与平面垂直的定义：图形表示：图形表示：Pl如果一条直线如果一条直线l与与平面平面内的内的任意一条任意一条直线都垂直，直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直则称这条直线与这个平面垂直. .记作记作 垂足垂足平面平面的垂线的垂线直线直线l的垂面的垂面符号表示：符号表示：文字表示：文字表示：画法：画法：直线画成与表示平面的平直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。行四边形的一边垂直。复习回顾复习回顾直线与平面垂直的判定定理：直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的一条直线和一个平面内的两条相交直线两条相交直线都都垂直垂直，则这条直线垂直于这个平面则这条直线垂直于这
2、个平面.关键：线不在多，相交则行关键：线不在多，相交则行符号语言符号语言图形语言图形语言文字语言文字语言Pmnl3 3：如图，已知如图，已知PAPA平面平面ABCABC， ABBC.ABBC. AEPB.AEPB.求证：求证：PCAEPCAEPABCE 1.如图，直四棱柱如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足什满足什么条件时么条件时 ？ 底面四边形底面四边形 对对角线相互垂直角线相互垂直知识探究（一）：知识探究（一）：平面的斜线平面的斜线 斜线、斜线、当直线与平面相交时，它们可能垂当直线与平面相交时，它们可能垂直，
3、也可能不垂直，如果一条直线和一个直，也可能不垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的面的斜线斜线，斜线和平面的交点叫做，斜线和平面的交点叫做斜足斜足. .那那么过一点作一个平面的斜线有多少条？么过一点作一个平面的斜线有多少条？lP斜线斜线斜足斜足射影、射影、过斜线上斜足外一点向平面引垂线，过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的平面上的射影射影.那么斜线那么斜线l在平面在平面内的射影有内的射影有几条？几条？lPAB思考思考1 1、两两条平行直线、相交直线、异面
4、直线条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？在同一个平面内的射影可能是哪些图形？思考思考2 2、如图，过平面如图，过平面外一点外一点P P引平面引平面的的两条斜线段两条斜线段PAPA、PBPB，斜足为，斜足为A A、B B，再过点，再过点P P引平面引平面的垂线，垂足为的垂线，垂足为O O，如果，如果PAPAPBPB，那，那么么OAOA与与OBOB的大小关系如何？反之成立吗？的大小关系如何？反之成立吗？OPAB射影长定理：从平面外一点引的射影长定理：从平面外一点引的斜线段、垂线段中：相等的斜线斜线段、垂线段中：相等的斜线段对应的射影长相等、长的斜线段对应的射影长相等、
5、长的斜线段对应的射影较长。段对应的射影较长。思考、思考、如图，过平面如图，过平面内一点内一点P P引平面引平面的的两条斜线两条斜线PAPA、PBPB，这两条斜线段在平面，这两条斜线段在平面内内的射影分别为的射影分别为PCPC、PDPD，如果，如果PAPAPBPB，那么，那么PCPC与与PDPD的大小关系确定吗？的大小关系确定吗？CPABD如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（2）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影（3）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影A1D1C1B1ADCBO线段线段B1O巩固练习巩固
6、练习三垂线定理三垂线定理 在在平面内平面内的一条直线，如果它和这个平面的的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直P P P P A A A AO O O OaP P P P A A A AO O O Oa三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直内的射影垂直知识探究（二）：知识探究（二）：直线和平面所成的角直线和平面所成的角 思考思考1:1:平面的一条斜线与这个平
7、面总存在一平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点宜选在何处？宜选在何处？l思考思考2:2:如图，如图，ABAB为平面为平面的一条斜线，的一条斜线，A A为斜为斜足，足，ACAC为平面为平面内的任意一条直线，能否用内的任意一条直线，能否用BACBAC反映斜线反映斜线ABAB与平面与平面的相对倾斜度？为的相对倾斜度？为什么？什么？CAB思考思考3:3:如图，如图，BADBAD为斜
8、线为斜线ABAB与平面与平面所成的所成的角，角，ACAC为平面为平面内的一条直线，那么内的一条直线，那么BADBAD与与BACBAC的大小关系如何？的大小关系如何？DCABBACBAC BADBAD思考思考4:4:反映斜线与平面相对倾斜度的平面反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另一边在平面内的哪个位置最合适？为什么一边在平面内的哪个位置最合适？为什么？PAB定义定义: :我们把平面的一条斜线和它在平面上的我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面这条斜线和这个平面所成的角所成的角
9、. .PAB特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为90；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为成的角为0.强调强调: :任何一条直线和一个平面的相对倾斜度任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映，那么直线与平面所成都可以用一个角来反映，那么直线与平面所成的角的取值范围是什么？的角的取值范围是什么？思考思考1 1、比较异面直线所成的角、直线与平面、比较异面直线所成的角、直线与平面所成的角所成的角1.在立体几何中在立体几何中,异面直线所成的角异面直线所成的角是怎样
10、定义的？是怎样定义的？直线直线a、b是异面直线是异面直线,经过空间任意一点经过空间任意一点O,分别分别引直线引直线a /a, b/ b,我们把相交直线我们把相交直线a 和和 b所成所成的锐角的锐角 （或直角）叫做（或直角）叫做异面直线所成的角异面直线所成的角。 2.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角是怎样定义的？是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, , 叫叫做这条做这条直线和这个平面所成的角直线和这个平面所成的角。 两直线所成角的取值范围：两直线所成角的取值范围： 0o, 90o AB 1O 平面的平面
11、的斜线斜线和平面和平面所成的角的取值范围：所成的角的取值范围： (0o, 90o)直线直线和平面所成角的取值范围：和平面所成角的取值范围： 0o, 90o 比较比较思考思考2、两条平行直线与同一个平面所成的两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？何？O例题讲解：例题讲解：练习：已知练习：已知练习：已知练习：已知PAPAPAPA平面平面平面平面ABCD,ABCD,ABCD,ABCD,四边形四边形四边形四边形ABCDABCDABCDABCD为正方形，为正方形，为
12、正方形，为正方形，PA=ABPA=ABPA=ABPA=AB。1)1)1)1)求求求求PCPCPCPC和平面和平面和平面和平面ABCDABCDABCDABCD所成的角所成的角所成的角所成的角 2 2 2 2）求）求）求）求PCPCPCPC和平面和平面和平面和平面PADPADPADPAD所成的角所成的角所成的角所成的角 3)3)3)3)求求求求PCPCPCPC和平面和平面和平面和平面PABPABPABPAB所成的角所成的角所成的角所成的角P PA AB BC CD D拓展：拓展： 如图，如图，ABAB为平面为平面的一条斜线，的一条斜线，B B为为斜足，斜足，AOAO平面平面，垂足为，垂足为O O，直线，直线BCBC在平在平面面内，已知内，已知ABC=60ABC=60，OBC=45OBC=45，求，求斜线斜线ABAB和平面和平面所成的角所成的角. .ABCOD
