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1、27.2 圆的对称性 优优 翼翼 课课 件件 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优九年级数学下（HS） 教学课件2.圆的对称性第2课时 垂径定理1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. .（难点）学习目标问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新课导入新课情境引入问题：如图,AB是 O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧
2、? 为什么?线段: AE=BE弧: AC=BC, AD=BD 理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合 OABDEC讲授新课讲授新课垂径定理及其推论一u垂径定理OABCDE 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. CD是直径，CDAB， AE=BE, AC =BC,AD =BD.u推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.归纳总结想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEO
3、ABCABOEABDCOE垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCABOC归纳总结 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心 ；垂直于弦； 平分弦；平分弦所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索 DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证： CD CD是直径是直径 CDAB CDAB，垂足为，垂足为E E AE=BE AE=BE AC=BC AD=BD AC=BC AD=BD 证明猜想如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CDAB吗？为
4、什么？（2）OABCDEAC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，AOEBOE（SSS），AEO=BEO=90，CDAB.证明举例思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.u垂径定理的推论OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.OABE解析：连接OA， OEAB， AB=2AE=1
5、6cm.16一 垂径定理及其推论的计算二cm.典例精析例2 如图， O的弦AB8cm ，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.OABECD解：连接OA， CEAB于D，设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得 x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，例3：已知：O中弦ABCD,求证：ACBD.MCDABON证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AMCMBMDMACBD 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结试一试：根据刚刚
6、所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用三ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. AB=37m，CD=7.23m.解得R27.3（m）. .即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2 AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_. C DCBOADOAB图a图b2cm或12cm 在圆中有关弦长a,半径r,
7、弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABC DOhrd d+h=r OABC归纳总结1.已知 O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .5cm2. O的直径AB=20cm, BAC=30则弦AC= . 10 3 cm3.（分类讨论题）已知 O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .14cm或2cm当堂练习当堂练习4.如图，在O中，AB、AC为互
8、相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：证明： 四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE. AECEBEDE 即 ACBD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600
9、m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC. OCDEF设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.这段弯路的半径约为545m.拓展提升：如图， O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .3cmOP5cmBAOP垂径定理内 容推 论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦; 平分弦（不是直径）; 平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两 条 辅 助 线 ：连半径，作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变 式 图 形课堂小结课堂小结见学练优本课时练习课堂作业课堂作业
