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1、1第三章第三章 双曲型方程定解问题双曲型方程定解问题 的有限差分法的有限差分法3.1 一阶线性常系数双曲型方程一阶线性常系数双曲型方程3.2 一阶线性常系数双曲型方程组一阶线性常系数双曲型方程组3.3 变系数双曲型方程及方程组变系数双曲型方程及方程组2u定义在定义在xt平面上的一个平面上的一个区域区域内内.(一一) 一阶线性常系数双曲型方程一阶线性常系数双曲型方程下面考察方程解下面考察方程解u在定义域内在定义域内直线直线x=at+C上的变化规律上的变化规律.解解u在在直线直线x=at+C上上的解等于的解等于常数常数.3解解u在直线在直线x=at+C上的等于常数上的等于常数任意在任意在xt平面上
2、方程定义域内取点平面上方程定义域内取点在此点做在此点做特征线特征线x=at+C, 那么那么特征线特征线与与t=0交于点交于点-特征线特征线由点由点任意性任意性, 可知可知解解u在在直线直线x=at+C上上的解等于的解等于常数常数.4对于定解问题对于定解问题方程方程的解为的解为见见1010页页51.迎风格式迎风格式关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来代替关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来代替。67条件稳定条件稳定条件满足条件满足8条件稳定条件稳定9绝对不稳定绝对不稳定课堂练习课堂练习证明：证明：差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。差分格式与微分方程的特征线走向一致，条
3、件稳定。1011迎风格式统一形式迎风格式统一形式122 Lax-Friedrichs格式格式13绝对不稳定绝对不稳定Lax-Friedrichs格式格式14则稳定则稳定15Lax-Friedrichs格式可以不考虑特征线走向，格式可以不考虑特征线走向，但截断误差比迎风格式的截断误差大。但截断误差比迎风格式的截断误差大。163. Lax-Wendroff格式（格式（2阶精度）阶精度）1718左偏心格式左偏心格式P点数值解依赖于点数值解依赖于DC内节点上的函数值内节点上的函数值-依赖区域依赖区域4. Courant-Friedrichs-Lewy条件（条件（C.F.L.条件）条件）19P点数值解依
4、赖于点数值解依赖于DC内节点上的函数值内节点上的函数值-依赖区域依赖区域 点微分方程点微分方程解依赖区域解依赖区域差分方程差分方程的的依赖区域端点构成的区间依赖区域端点构成的区间DC内内, 否则否则 没有关系。即没有关系。即差分格式的依赖区域应该包含微分方程解的差分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域。依赖区域。 C.F.L.条件条件,应在应在20不收敛不收敛21微分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域右偏心格式右偏心格式C.F.L.条件条件22Lax-Wendroff格式的格式的C.F.L条件条件23C.F.L.条件条件差分格式的依赖区
5、域差分格式的依赖区域包含包含微分方程的依赖区域微分方程的依赖区域C.F.L.条件是格式收敛的条件是格式收敛的必要必要条件条件.2425不稳定，不稳定，C.F.L.条件下不条件下不收敛（非充分条件）收敛（非充分条件）C.F.L.条件仍为条件仍为课堂练习课堂练习1. 试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中心差分格式的心格式、中心差分格式的C.F.L.条件。条件。右偏心格式右偏心格式C.F.L.条件条件27左偏心左偏心格式格式C.F.L.条件条件不收敛不收敛285.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式（两点式），
6、2930设设B,C,D处的值已知，下面来确定点处的值已知，下面来确定点P处的值处的值u(P)1.由由B、C线性插值求线性插值求u(Q):2.由由B、D线性插值求线性插值求u(Q):3.由由B、C、D二次插值求二次插值求u(Q):过过P做特征线做特征线Lax-Wendroff格式格式4.由由A、B、C二次插值求二次插值求u(Q):Beam-Warming格式格式Lax-Fridriches格式格式32B，C点插值点插值33B，D点插值点插值34B，C, D点插值点插值35Lax-Wendroff格式格式36A,B,C三点做抛物插值，可得三点做抛物插值，可得Q点函数值，即点函数值，即Beam-Wa
7、rming格式（二阶迎风格式，格式（二阶迎风格式，1976）稳定性条件：稳定性条件：376.蛙跳格式蛙跳格式3839详见详见p5340一阶双曲方程一阶双曲方程在快速变化的波形附近，例如在方波的跳跃间断点附近，在快速变化的波形附近，例如在方波的跳跃间断点附近，以上两种二阶格式通常会观察到由色散现象引起的数值震荡。以上两种二阶格式通常会观察到由色散现象引起的数值震荡。44一个好的数值方法不仅应该在真解充分光滑的区域一个好的数值方法不仅应该在真解充分光滑的区域一个好的数值方法不仅应该在真解充分光滑的区域一个好的数值方法不仅应该在真解充分光滑的区域有效的逼近真解，而且应该尽可能精确的捕捉和跟有效的逼近
8、真解，而且应该尽可能精确的捕捉和跟有效的逼近真解，而且应该尽可能精确的捕捉和跟有效的逼近真解，而且应该尽可能精确的捕捉和跟踪间断。踪间断。踪间断。踪间断。高阶格式一般有较大的高阶格式一般有较大的高阶格式一般有较大的高阶格式一般有较大的色散（相位误差）色散（相位误差）色散（相位误差）色散（相位误差）因此会因此会因此会因此会 在解间断附近产生数值震荡；在解间断附近产生数值震荡；在解间断附近产生数值震荡；在解间断附近产生数值震荡；低阶格式则有较大的低阶格式则有较大的低阶格式则有较大的低阶格式则有较大的耗散（振幅衰减）；耗散（振幅衰减）；耗散（振幅衰减）；耗散（振幅衰减）； 两者对间断解得逼近精度都不
9、高。两者对间断解得逼近精度都不高。两者对间断解得逼近精度都不高。两者对间断解得逼近精度都不高。解光滑处尽量使用高阶格式（保证差分格式在解解光滑处尽量使用高阶格式（保证差分格式在解解光滑处尽量使用高阶格式（保证差分格式在解解光滑处尽量使用高阶格式（保证差分格式在解 光滑处有较高的局部截断误差）；光滑处有较高的局部截断误差）；光滑处有较高的局部截断误差）；光滑处有较高的局部截断误差）；解间断的地方尽量使用低阶迎风格式，以保证差解间断的地方尽量使用低阶迎风格式，以保证差解间断的地方尽量使用低阶迎风格式，以保证差解间断的地方尽量使用低阶迎风格式，以保证差 分格式在解的间断有足够的数值黏性，从而避免分格
10、式在解的间断有足够的数值黏性，从而避免分格式在解的间断有足够的数值黏性，从而避免分格式在解的间断有足够的数值黏性，从而避免 在间断处产生过度的数值震荡；在间断处产生过度的数值震荡；在间断处产生过度的数值震荡；在间断处产生过度的数值震荡；如何切换或结合高阶和低阶格式以保证格式整体如何切换或结合高阶和低阶格式以保证格式整体如何切换或结合高阶和低阶格式以保证格式整体如何切换或结合高阶和低阶格式以保证格式整体 的实际逼近精度和稳定性绝不是一件简单的工作的实际逼近精度和稳定性绝不是一件简单的工作的实际逼近精度和稳定性绝不是一件简单的工作的实际逼近精度和稳定性绝不是一件简单的工作。45作业作业P802. 直接证明求解直接证明求解 的的Lax-Wendroff格式是二阶精度的格式。格式是二阶精度的格式。465.考虑初值问题考虑初值问题试用迎风格式试用迎风格式,LF格式，格式，LW格式计算上述问题，取格式计算上述问题，取计算到计算到t=0.5,1.
