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1、垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。题设题设结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧回顾 垂径定理垂径定理: :垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, ,并且平分并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。符号语言符号语言: :文字语言：文字语言：图形语言图形语言 CD是直径是直径 CDABOCDMAB条件条件结论结论垂径定理的推论：垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于平分弦（不是直径）的直径
2、垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦，并且平分弦所对的两条弧。 ABCDO M直线直线CD过圆心过圆心O AM=BM，(AB不是直径不是直径) CDAB根据垂径定理与推论可知对于一个根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论可以推出其他三个结论注意注意辅助线：圆中常作辅助线，半径，垂直于半径的弦。辅助线：圆中常作辅助线，半径，垂
3、直于半径的弦。垂直于弦的直径。实际上从圆心作与弦垂直的线段。垂直于弦的直径。实际上从圆心作与弦垂直的线段。知识点一 垂径定理及其推论【示范题1】如图所示,等腰AOB中OA=OB,O与边AB交于C,D两点,求证:AC=BD(不用全等证明).【思路点拨】过点O作OEAB于E,根据垂径定理得CE,DE的关系,再根据等腰三角形的“三线合一”性质得AE,BE的关系,进而得结论.【自主解答】过点O作OEAB于E,由垂径定理得CE=DE,又OA=OB,AE=BE,AE-CE=BE-DE,即AC=BD.【方法一点通】根据垂径定理与推论“知二推三”对于一个圆和一条直线,若具备:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3
4、)平分弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.知识点二 垂径定理及其推论的应用【示范题2】(2013邵阳中考)如图所示,某窗户是由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=1m,现计划安装玻璃,请帮工程师求出 所在圆O的半径r.【思路点拨】由垂径定理可得,AF=BF= m,OF可表示为r-EF,由勾股定理可求出圆的半径.【自主解答】由题意知OA=OE=r,EF=1m,又OEAB,AF= AB= 3= (m).在RtOAF中,OF2+AF2=OA2,即(r-1)2+ =r2,解得r= m.即圆O的半径为m.【方法一点通
5、】垂径定理基本图形的四变量、两关系1.四变量:如图,弦长a,圆心到弦的距离d,半径r,弧的中点到弦的距离(弓形高)h,这四个变量知任意两个可求其他两个.2.两关系: +d2=r2;h+d=r.课堂小结1.圆的对称性圆的对称性2.垂径定理及推论垂径定理及推论BADCOE3.技巧：重要辅助线是过技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。圆心作弦的垂线。4.思路：（由）垂径定理思路：（由）垂径定理构造构造Rt（结合）勾股定理（结合）勾股定理建立方程建立方程推荐作业1、必做题 教材第89页习题24.1第8，9, 题。2、选做题已知：在半径为5cm的O中，两条平行弦AB，CD分别长8cm、6cm.求：两条平行弦间的距离。
