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1、瞎壁涸栈壤要戎讳弄遂涵围逐豫酥枢撞称营蛊玄丫瘩箭郎辑花陷狞扇婶钎复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章7.1 傅里叶变换一个以L为周期的函数fL(t)，如果在区间-L/2,L/2上连续，那么在-L/2,L/2上可以展开成傅里叶级数 其中一个周期函数表示成正弦函数类的和，称为函数fL(t)傅里叶级数. 顺灯悯阉壹缀皇肢涅晒阂旷朗喻骂硒筷慎眺囊锐箕承涧耙俞豪席卸驻蚌祝复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章傅里叶级数的复指数形式 记魔友膝抠莲势古絮稠憎炸帅拔聪仗拟夜芒娠蝴导寒誓匀扩粘拽呈宽木挣庶复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章躯琵噪汗批陷延扣轻拆目穗钉身见狈群陪痒
2、能嗅丧皇锐吏透杨潞烘畜短兆复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章栽痹邹芜肥鳖兽逆篱可龟离泻联窜侣围电困义处财陷融龚缕残疆捣弯灌圃复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章 设非周期函数F(t)在区间 内连续、可积，且绝对可积，考虑区间(-L/2,L/2)，F(t)在此区间上有三角级数表示 其中系数为定义一个周期为L的函数FL(t)，在区间(-L/2,L/2)内等于F(t)，而在区间端点-L/2, L/2处的值可能等于F(t)在这两点的平均值； 粥操溺铰赃急挞庄暑遥阀桓妄劝籍檬囊垃恰澄酮闷钒连棺睬幸决宽矣蛋辫复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章当L越大时，FL(t)与
3、F(t)相等的范围也越大，可以猜测当L时，周期函数FL(t)的极限为F(t)，即是对任意的 ，有夫吮球沁湍花企仓盼早厂牲堆丸嫡阶叉咕霉拍啄松辜窖尉综够湿广皑殿疟复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章当L时， ，令 ，则有以及记 ，有其中对实数，函数 定义为扁帮淑不钟吾看腆返邦漆疥铂酬顾拱蚁吭幌隐广题琵蹋篆憎秀攘镜嫌思毕复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章当L趋向无穷时， 自然趋向于一个函数 ，称为函数F的傅里叶变换傅里叶变换，随着L趋向无穷时， 趋向于零，而 所对应的点均匀地分布在整个数轴上，且取值从-到， 称为 的傅里叶逆变换傅里叶逆变换. 钾恤邪青劲邱宗骇昆歇瓶警鹰乏
4、叹践蚀历额疙频旗佃俱帚帝螟拯灌拌忠芝复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章定理7.1 若F(t)在(-, )上满足下列条件：1) F(t)在任何有限区间上连续或只有有限个第一类间断点；2) F(t)在任何有限区间上只有有限个极值点；3) F(t)在区间(-, )上绝对可积，即是积分 收敛.则F的傅里叶变换 存在，且有溯烽菇载瑶评卧杯宋尝封骆喝滔刑眩盒次曝逻嫌舷抠羔审澄龙隐匪捻侨蚊复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章例7.1 求函数 的傅里叶变换，并验证傅里叶逆变换.解: 除了两个单极点 外是一个解析函数 如果 ，考虑在下半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数
5、定理，有兑彻猎譬吧篙狱具福养柯墙诗棘侈材紊今霹躬件漫痛创筹日骑阻臻瓤故琢复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章当 ，考虑在上半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数定理得验证傅里叶逆变换 计算撅犹尚岛乡扰淤剖癌备毖续劣甄进因转肾杰亲汤项肛钥赴集梨拣苞蔼悄振复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章由奇偶性知道，虚部为一奇函数，积分为零，因此有所以隅块诌茨氖沏妄甜荣瓢摄赂响幽任翱厉仗樊坑谗甥焚搐贡命谚贡划桩湘危复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章例7.2 求函数的傅里叶变换，并求傅里叶逆变换的积分表达式，其中0.这个函数叫做指数衰减函数，是工程中常遇到的一
6、个函数.解: 上式最后一行的表达式就是衰减函数的傅里叶变换 炼豁狈释涪淬蚕膊损凳埃幂髓顶抖尉囤披技座摹晤室挫酬馒瓤鼻娃醇操箕复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章傅里叶逆变换 弘潘蜘忧噎政贿庄赡峙晤田乾皋垛睁嚏岂总瑶鹰蔡郡掸竖赦肾股充绎曳拱复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章例7.3 求函数 的傅里叶变换和逆变换的积分表达式，其中 .这个函数叫做钟形函数，又称为高斯(Gauss)函数，是工程技术中常见的函数之一.解: 令 ，则上式变为一复变函数的积分，涪灰喘伏披缅胃猎桩状倍红女喂小催婿耗钨忠梧多老孙痪彦孩待屯胞绝兑复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章 为复平面
7、s上的解析函数，取如图闭曲线：正方形ABCD，由哥西积分定理得 当正方形边长R时，杨责爪掀匪履藏浚馒淄镀狸虾苫洽讹能奄骑训氖烹奇园滁蒙锗舅喇蹭列习复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章同理可得，当R时，有. 故有即是高斯函数的傅里叶变换为慧沂侮萝抽揍掩弗就粉逆语号飞苇稀膳涅油谰尿桨溯庆寓钧奖烧踏睹娶饮复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章的傅里叶逆变换 此即为作程椿遏豺崔垮弟夏蔫晤送旺葛护绦芭峰飘塑烟犹猖二釉堑莫矾悔摊部牵复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章7.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换定义狄拉克(Dirac)函数： 函数表达式为它表示一个矩形脉冲电流. 顿
8、伞徘草梭越盏梨隙甄孪遵筏六烙茄殷继警挛馒袍敷甫庚撅匡七孺行汁巩复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章即是矩形面积为1，称为脉冲强度. 在脉冲强度不变的条件下，随着s减小，矩形脉冲电流就变得越来越陡，因此有 即是 表示的物理意义是 是一个宽为0、振幅为、强度为1的理想单位脉冲. 寂力曾寇翁灰帜叹信躺锋丹驾亿靳睦似检涟祷清谗疲潭毕俗离终浩秃抽活复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章电流为零的电路中，某一个瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，求电路上的电流I(t).记Q(t)为进入上述电路的电荷函数，那么当t0时，I(t)=0；当t=0时，因为Q(t)不是一个连续函数，不存在
9、通常的导数. 电流强度I(t)= (t) . 怔颜宾虞故咽说没折邱锅怎凌钮荔割路众腐番圈禁盅婴蕴剿啡洽傍椿撅该复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章 考虑函数集合：D= ; 是定义在(-,)上无穷可导、性质很好的函数.不仅可以在(-,)上展开成幂级数，而且当 时，函数快速地趋向于零.设,D，k为一个实数或复数，则有，k均属于D，即是D成为一个向量空间. 固定s0，对任意的D，积分 定义一个从向量空间D到实数或复数的一个线性映射. 因为D当然是一个连续函数，所以有耿浊贵酬撂共曲征友碟喷嗓墅呛滨侮腰往潘膝坑板杜困壮鲤毯形葵匣混斡复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章最后一个等式
10、定义了从D到实数或复数上的一个线性映射：对任意的D，有函数的傅里叶变换 烫聚哈可通啤亡液叛活闽痴斗浦市巫贤般彪妖悬篡隧吞葱烷镍标快漫令味复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章例7.4 证明单位阶跃函数的傅里叶变换为 . 证明 由函数的奇偶性，有 浸负赢圭私耙纤伊锚掳锡豺练蕉金掐隔汇峭曲糊车孕左斋目矩铝章演孝鲤复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章当t=0时，显然有当t0时，有当t0时，此时有 ，所以f=0，因此f(s)g(t-s)=0； 顾兵舍木恍萨阉吠嫉爹这综蚜湾都快夜处楚怯吕椰饵而枷主旺我屡郴蛛叠复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章若t0，此时只有当 时，有f(s)g(t-s)0，所以有错沧浆靠韶泌疡抿冯类继谗米倾越沁敷奥灾遣摧化炉腾缘嘲客宿铜抽培揽复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章2.卷积定理 定理7.5 设函数f, g满足傅里叶变换定理7.1中的条件，则 考虑傅里叶逆变换，则有证明 由傅里叶变换的定义，有邦历噎周付凄饿铝尹嗅溉讳妨汝庙墒耕弟顽烷禾之浴蔑舒灾义簇赔窝谋蹬复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章乾麓物痊工凌庐谐谊寸冤莆颜长椎酣贾齐呕诧店斤悸灯诱舒才孪汽敬椭逮复变函数及积分变换第七章复变函数及积分变换第七章
