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1、课前准备 八年级下册教材 、笔记本、练习本. 饱满的求知精神状态 如图，为了促进当地旅如图，为了促进当地旅游业的发展，某地要在公路、游业的发展，某地要在公路、铁路、淇河的附近修建一个度铁路、淇河的附近修建一个度假村，要使这个度假村到三路假村，要使这个度假村到三路的距离相等，则这个度假村建的距离相等，则这个度假村建在哪里最合适？在哪里最合适？铁路淇河公路生活中的数学生活中的数学第第第第1313章章章章 全等三角形全等三角形全等三角形全等三角形13.5 13.5 逆命题与逆定理逆命题与逆定理逆命题与逆定理逆命题与逆定理鹤壁市淇滨中学张艳芬学习目标 1、会证明并掌握角平分线的性质定理及其逆定理（判定
2、定理）； 2、能运用角平分线性质定理及其逆定理解决有关问题；（重点） 难点：难点： 性质定理和判定定理的区别和灵活运用.自学指导 浏览教材P9697倒第三行结束。 （1）思考P96证全等的思路和依据。 （2）填一填P97上方的表格。 6分钟后，比谁能创造性地作出与例题类似的习题。开启智慧w角平分线的性质定理角平分线的性质定理 w角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等. .w如图如图, ,已知已知:OC:OC是是AOBAOB的平分的平分 线线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足垂足 分别是分别是D,E.D,E.w求证求证
3、:PD=PE:PD=PE证明证明: :因为因为PDPDOAOA，PEPEOBOB（已知），已知），所以所以PDOPDOPEOPEO9090（垂直的定义）垂直的定义）在在PDO PDO 和和PEO PEO 中，中，PDOPDOPEOPEO（已证），（已证），1 12 2（已知），（已知），POPOPOPO（公共边），（公共边），PDOPDOPEO PEO (A.A.S)(A.A.S)PD=PEPD=PE于是就有定理：于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等几何的几何的三种语言三种语言w角平分线的性质定理角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的
4、角平分线上的点到角两边的距离相等距离相等. .老师提示:这个结论是经常用来这个结论是经常用来证明证明两条线段相等两条线段相等的根据之一的根据之一. .开启 智慧几何语言：几何语言： 已知已知:OC是是AOB的平分的平分 线线,P是是OC上任意一点上任意一点, PDOA,PEOB,垂足垂足 结论结论:PD=PE 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）已知） = ，( ) 角的平分线上的点到这个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。BD CD判断对错：判断对错：（）ADCB 如图，如图， DCAC，DBAB （已知）已知） = ，( ) 角的平分线上的点到这个角的平分线上的
5、点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。BD CD（）ADCB AD平分平分BAC, DCAC，DEAB （已知）已知） = ，（ ） DBDC角的平分线上的点到这个角角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。的两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等温馨提示温馨提示:这个定理给我们提供了证明这个定理给我们提供了证明两条线段相等两条线段相等的新途径的新途径.练习练习1（98页）1 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等提示：作提示：作AOB的平分的平分线，交直线线，交直线l于于P就是所求的点就是所求的点 2 2 2 2、 、 、 、变变式一：式一：式一：
6、式一： 如如如如图图，在，在，在，在RtRtABCABC 中，中，中，中，ADAD平分平分平分平分BBAC AC 交交交交BCBC于于于于DD ， ， ， ，ABCE EDDC=90 C=90 ，且且且且,BD:CD=9,BD:CD=9：7 7，则则则则DD到到到到ABAB边的距离为边的距离为边的距离为边的距离为（ ） AA、18 B18 B、16 C16 C、 14 D14 D、1212C C 变变式二：式二：式二：式二： 如如如如图图，在，在，在，在RtRtABCABC 中，中，中，中，ADAD平分平分平分平分BBAC AC 交交交交BCBC于于于于DD ， ， ， ，ABCE EDDC=
7、90 C=90 ，若若若若CD=nCD=n，AB=mAB=m，则则则则ABDABD的面积是（的面积是（的面积是（的面积是（ ） A A、1/3mn B1/3mn B、 1/2mn C1/2mn C、 mnmn D D、2mn2mnB Bnm 变变式三：式三：式三：式三： 如如如如图图，在，在，在，在RtRtABCABC 中，中，中，中，ADAD平分平分平分平分BBAC AC 交交交交BCBC于于于于DD ， ， ， ，ACBE EDDC=90 C=90 ，DEDE ABAB于于于于E E，下列结论中正确的个数有（下列结论中正确的个数有（下列结论中正确的个数有（下列结论中正确的个数有（ ）个）个
8、）个）个 A A、3 B3 B、 2 C2 C、 1 D1 D、4 4A AADAD平分平分平分平分 CDECDE； BAC= BAC= BDE BDE；DEDE平分平分平分平分ADBADB； AB=AC+BEAB=AC+BE 变式四：变式四：已知：在等腰已知：在等腰RtABCRtABC中，中， AC AC BCBC，C C9090，ADAD平分平分 BACBAC， DEABDEAB于点于点E,AB E,AB 15cm.15cm. 求求DBEDBE的周长的周长. . EDCBA变式五变式五：在在ABC中，中， CD平分平分ACB ，AC=5，BC=3，求，求SACD/S CBDC CA AB
9、BD DF FE E进步的标志进步的标志思考分析w你能写出你能写出“定理定理 角平分线上角平分线上的的 点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等”的的逆命题吗逆命题吗? ? 角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等.题设：题设：结论：结论：逆命题：逆命题：一个点在角平分线上。一个点在角平分线上。它到这个角两边的距离相等。它到这个角两边的距离相等。如果一个点到一个角两边的距离相等，那如果一个点到一个角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。么这个点在这个角的平分线上。（角的内部到角两边距离相等的点在角的（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）平分线上）证明证明
10、: QDOA，QEOB（已知），已知）， QDOQEO90（垂直的定义）（垂直的定义）在在RtQDO和和RtQEO中中 QOQO（公共边）公共边） QD=QE （已知）（已知） RtQDO RtQEO（HL） QODQOE 点Q在AOB的平分线上已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上角的内部角的内部到角两边距离相等的点，在这个到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。角的平分线上。角平分线判定定理角平分线判定定理:用数学语言表示为： QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上(到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上到一个角的两边距离
11、相等的点，在这个角的平分线上.)温馨提示温馨提示:这个定理给我们提供了证明这个定理给我们提供了证明两个角相等两个角相等的新途径的新途径.求证：求证：三角形三条角平分线交于一点三角形三条角平分线交于一点.请把它转化为请把它转化为“已知已知.求证求证.”形式形式已知已知:ABC中，中，AD、BE、CF分别是三个内角的平分线分别是三个内角的平分线.ECAFDB求证求证:AD、BE、CF交于一点交于一点.推导 IAEFBCPGH证明：证明：设设ABCABC的角平分线的角平分线BE,CFBE,CF相交相交于点于点P,P,过点过点P P分别作分别作PGPG BCBC于点于点G,G, PHAC PHAC于点
12、于点H, PIABH, PIAB于点于点I IBEBE平分平分ABCABC， PIAB, PG BCPIAB, PG BCPI=PG(PI=PG(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).).同理同理,PG=PH.,PG=PH.PI=PH.PI=PH.点点P P在在BACBAC的平分线的平分线ADAD上上( (到角的两边距离相等到角的两边距离相等的点的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).ABCABC的三条角平分线相交于一点的三条角平分线相交于一点P.P.已知已知:ABC中，中，AD、BE、CF分别是三个内角的平分线分别是三个内角的平分线.求证求
13、证:AD、BE、CF交于一点交于一点.D根据这个例题的结论，我们可以在三角形内找到一点，根据这个例题的结论，我们可以在三角形内找到一点，使它到三角形三边的距离相等。使它到三角形三边的距离相等。 变式一：变式一：如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线的平分线 相交于点相交于点F F， 求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上. . （ 98页练习第2题. ） GHP证明：作证明：作FGAE于于G.FHAD于于HFPCB于于P,作射线作射线AF CF平分平分ECB FG=FP(角平分线上的点到角角平分线上的点到角两边距离相等两边距离相等)
14、同理可证同理可证:FH=FP FG=FH点点F在在EOD的平分线上的平分线上(到角两边距到角两边距离相等的点在这个角的平分线上离相等的点在这个角的平分线上) 变式二：变式二：如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和DAEDAE的平分的平分线相交于点线相交于点F F，求证：点求证：点F F在外角在外角BCEBCE的平分线上的平分线上. .E EC CA AB BD DF F 变式三：变式三：如图，点如图，点P P是是ABCABC两个外角平分线的交点，两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是则下列说法中不正确的是（ ）E EC CA AB BF FA.点点P P到到ABCA
15、BC三边的距离相等三边的距离相等B.点P在ABCABC的平分线上的平分线上C. P与与 B的关系是：的关系是：P+1/2P+1/2 B B =90D.PP与与 B B的关系是：的关系是：B=1/2B=1/2 P PDP P直线表示三种相互交叉的公路、铁路、水运交通方式，要使度假村到三条道路的距离相等,则可供选择的地址有( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处【分析】我们在考虑问题时，往往只顾三角形的内角平分线交点仅一个，而忽略了三路可看作直线，故外角平分线交点到三条路的距离也相等，所以符合要求的度假村选址共有四处。D到角的两边的距离相等的点到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平
16、分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE小结小小 结结学习了这两个定理以后，许多涉及角平分线的问学习了这两个定理以后，许多涉及角平分线的问题用定理或逆定理解决很方便。但是由于我们对题用定理或逆定理解决很方便。但是由于我们对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。角形，结
17、果相当于重新证明了一次定理。所以，能用简单方法的，不要饶远路，切记！所以，能用简单方法的，不要饶远路，切记！ 学习检测学习检测P P7979P P8181 B B层：层：1 15 5题题 A A层：层：1 19 9题题 如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。ABCEFDABCEFD变式一：在ABC中，D是BC的中点，DEAB DFAC，垂足分别是EF，AD是ABC的角平分线。 求证： BECFABCEFD变式二：在ABC中，AB=AC,AD平分BAC,DEAB, DFAC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中正确的是（ ）AD上任意一点到B、C 的距离相等； AD上任意一点到AB、AC 的距离相等；ADBC且BD=CD；BDE=CDF.D
