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1、第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入3.1.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念问题提出问题提出 1.1.数的概念产生和发展的历史进程：数的概念产生和发展的历史进程： 正分数正分数正无理数正无理数零和负数零和负数N NQ QR RR R数系每次扩充的基本原则：数系每次扩充的基本原则： 第一，增加新元素；第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立；第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾第三，新数系能解决旧数系中的矛盾. . 2.2.若若 ，则，则 对此你有什么困惑？对此你有什么困惑？问题提出问题提出 3.3.唯物辨证法
2、认为，唯物辨证法认为，事物是发展变化事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力发展的根本动力. .由于实数的局限性，导致由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系还有比实数集更大的数系. .问题提出问题提出 1 1、由、由 得得 ，这与这与 矛盾的原因是什么？矛盾的原因是什么？ 方程方程x x2 2x x1 10 0无实根无实根 2 2、方程、方程x x2 2x x1 10 0无实根的根本原无
3、实根的根本原因是什么？因是什么？1 1不能开平方不能开平方 问题探究问题探究3 3、我们设想引入一个新数，用字母、我们设想引入一个新数，用字母i i表表示，使这个数是示，使这个数是1 1的平方根，即的平方根，即 i i2 21 1，那么方程，那么方程x x2 2x x1 10 0的根是什的根是什么？么？问题提出问题提出4 4、若、若x x4 41 1，利用，利用i i2 21,1,则则x x等于等于什么？什么？1 1，1 1，i i，i. i. 问题提出问题提出5 5、满足、满足i i2 21 1的新数的新数i i显然不是实数，显然不是实数，称为称为虚数单位虚数单位，根据数系的扩充原则，根据数
4、系的扩充原则，应规定虚数单位应规定虚数单位i i和实数之间的运算满和实数之间的运算满足哪些运算律？足哪些运算律？乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律乘法对加法满足分配律. .问题探究问题探究6 6、设、设aRR，下列运算正确吗？，下列运算正确吗？问题探究问题探究1 1、虚数单位、虚数单位i i与实数进行四则运算，与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？可以形成哪种一般形式的数？ abi i（a，bRR）2 2、把形如、把形如abi i（a，bRR）的数叫做）的数叫做复数复数，全体复数所成的集合叫做，全体复数所成的集合叫做复数集复数集，记作记
5、作C C，那么复数集如何用描述法表示，那么复数集如何用描述法表示？ C C abi|i|a，bRR 问题探究问题探究3 3、复数通常用字母、复数通常用字母z z表示，即表示，即 z zabi i（a，bRR），这一表示形式），这一表示形式叫做复数的叫做复数的代数形式代数形式，其中，其中a与与b分别分别叫做复数叫做复数z z的的实部实部与与虚部虚部，那么复数，那么复数 z z 3i3i的实部和虚部分别是什么？的实部和虚部分别是什么？实部为实部为 , ,虚部为虚部为3.3.问题探究问题探究4 4、两个实数可以相等，两个复数也、两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：可以相等，并且规定：ab
6、i icdi i（a，b，c，dRR）的充要条件是）的充要条件是ac且且bd，那么那么abi i0 0的充要条件是的充要条件是什么？什么？ ab0 0问题探究问题探究5 5、对于复数、对于复数z zabi i（a，bRR）当当b b0 0时，时，z z为什么数？由此说明实为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？数集与复数集的关系如何？当当b0 0时时z z为实数为实数. . 实数集实数集R R是复数集是复数集C C的真子集的真子集. . 问题探究问题探究6 6、对于复数、对于复数z zabi i（a，bRR）当）当b00时，时，z z叫做叫做虚数虚数，当，当a0 0且且b00时，时，z z
7、叫做叫做纯虚数纯虚数，那么虚数集与纯虚数集，那么虚数集与纯虚数集之间如何？之间如何？ 纯虚数集是虚数集的真子集纯虚数集是虚数集的真子集. . 问题探究问题探究思考思考7 7：复数集、实数集、虚数集、纯虚复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？数集之间的关系用韦恩图怎样表示？ 复数复数实数实数虚数虚数纯虚数纯虚数思考思考8 8：两个实数可以比较大小，一个实两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？吗？ 虚数不能比较大小虚数不能比较大小. .问题探究问题探究7 7、复数集、实数集、虚数集、纯虚、复数集、实数集、虚数集、纯
8、虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示数集之间的关系用韦恩图怎样表示？ 复数复数实数实数虚数虚数纯虚数纯虚数问题探究问题探究 例例1 1 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数z zm1 1( (m1)i1)i分别是实数，分别是实数，虚数和纯虚数？虚数和纯虚数？ 当当m1 1时，时，z z是实数；是实数；当当m11时，时，z z是虚数；是虚数；当当m1 1时，时，z z是纯虚数是纯虚数. . 典例讲评典例讲评 例例2 2 设复数设复数z z1 1(x(xy)y)(x(x3)i3)i，z z2 2(3x(3x2y)2y)yiyi，若，若z z1 1z z2 2，求实数，求实数x x，y y的值的值
9、. . x x9 9，y y6. 6. 典例讲评典例讲评 1.1.将实数系扩充到复数系是源于解将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的一套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支数学分支. .课堂小结课堂小结 2.2.虚数单位虚数单位i i的引入解决了负数不能的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成数集，它使得任何一个复数都可以写成 abi（a，bR）的形式的形式. .课堂小结课堂小结 3.3.复数包括了实数和虚数，实数复数包
10、括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如的某些性质在复数集中不成立，如x x2 200； 若若x xy y0 0，则，则x xy y等，今后等，今后在数学解题中，如果没有特殊说明，在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题一般都在实数集内解决问题.课堂小结课堂小结P P104104练习：练习：1 1，2 2，3.3. P P106106习题习题3.1A3.1A组：组：1 1，2.2.布置作业布置作业3.1 3.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念3.1.2 3.1.2 复数的几何意义复数的几何意义 1.1.虚数单位虚数单位i i的基本特征是什么？的基本特征是
11、什么？（1 1）i i2 21 1； （2 2）i i可以与实数进行四则运算，且原可以与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立有的加、乘运算律仍然成立. . 复习巩固复习巩固 2.2.复数的一般形式是什么？复数相复数的一般形式是什么？复数相等的充要条件是什么？等的充要条件是什么？ abi i（a，bR R）；）； 实部和虚部分别相等实部和虚部分别相等. . 复习巩固复习巩固 3.3.实数、虚数、纯虚数的含义分别实数、虚数、纯虚数的含义分别如何？如何？ 设设z zabi i（a，bRR）. .当当b b0 0时时z z为实数；为实数；当当b b00时，时，z z为虚数；为虚数；当当a0
12、0且且b b00时，时，z z为纯虚数为纯虚数. . 复习巩固复习巩固 4.4.复数集、实数集、虚数集、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如何？纯虚数集之间的关系如何？复数复数实数实数虚数虚数纯虚数纯虚数复习巩固复习巩固 5.5.实数与数轴上的点一一对应，从实数与数轴上的点一一对应，从而实数可以用数轴上的点来表示，这是而实数可以用数轴上的点来表示，这是实数的几何意义，根据类比推理，复数实数的几何意义，根据类比推理，复数也应有它的几何意义也应有它的几何意义. .因此，探究复数因此，探究复数的几何意义就成为一个新的学习内容的几何意义就成为一个新的学习内容. . 提出问题提出问题1 1、在什
13、么条件下，复数、在什么条件下，复数z z惟一确定？惟一确定？ 给出复数给出复数z z的实部和虚部的实部和虚部2 2、设复数、设复数z zabi i（a，bRR），以），以z z的实部和虚部组成一个有序实数对（的实部和虚部组成一个有序实数对（a，b），那么复数），那么复数z z与有序实数对（与有序实数对（a，b）之间是一个怎样的对应关系？）之间是一个怎样的对应关系？ 一一对应一一对应问题探究问题探究3 3、有序实数对（、有序实数对（a，b）的几何意义是什的几何意义是什么？复数么？复数z zabi i（a，bRR）可以用什）可以用什么几何量来表示？么几何量来表示？ 复数复数z zabi i（a，b
14、RR）可以用直角）可以用直角坐标系中的点坐标系中的点Z Z（a，b）来表示）来表示. .x xy yO Oab bZ Z：abi i问题探究问题探究用直角坐标系来表示复数的坐标平面用直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做叫做复平面复平面，x x轴叫做轴叫做实轴实轴，y y轴叫做轴叫做虚轴虚轴. .形成结论形成结论一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？象限内的点分别表示什么样的数？x xy yO Oab bZ Z：abi i实轴上的点表示实数，实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，各象都表示纯虚数，各象限内的
15、点表示虚部不限内的点表示虚部不为零的虚数为零的虚数. . 形成结论形成结论1 1、用有向线段表示平面向量，向量的、用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？大小和方向由什么要素所确定？ 有向线段的始点和终点有向线段的始点和终点. . 2 2、用坐标表示平面向量，如何根据向、用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？量的坐标画出表示向量的有向线段？ 以原点为始点，向量的以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画坐标对应的点为终点画有向线段有向线段. . x xy yO O(a，b)问题探究问题探究3 3、在复平面内，复数、在复平面内，复数z zabi i（a，b
16、R R）用向量如何表示？）用向量如何表示？x xy yO Oab bZ Z：abi i以原点以原点O O为始点，点为始点，点Z Z（a，b）为终点的）为终点的向量向量 . .问题探究问题探究4 4、复数、复数z zabi i（a，bRR）可以用向量）可以用向量 表示，向量表示，向量 的模叫做复数的模叫做复数z z的的模模，记作，记作|z|z|或或| |abi|i|，那么，那么| |abi|i|的计算公式是的计算公式是什么？什么？x xy yO Oab bZ Z：abi i问题探究问题探究5 5、设向量、设向量a，b分别表示复数分别表示复数z z1 1，z z2 2，若若ab，则复数，则复数z
17、z1 1与与z z2 2的关系如何？的关系如何？ 规定：相等的向量表示同一个复数规定：相等的向量表示同一个复数. .6 6、若、若|z|z|1 1，|z|z|1 1，则复数，则复数z z对应对应复平面内的点的轨迹分别是什么？复平面内的点的轨迹分别是什么？ 单位圆，单位圆内部单位圆，单位圆内部. .问题探究问题探究 例例1 1 已知复数已知复数对应的点在直线对应的点在直线x x2y2y1 10 0上，求实数上，求实数m的值的值. .典例讲评典例讲评 例例2 2 若复平面内一个正方形的三个顶若复平面内一个正方形的三个顶点对应的复数分别为点对应的复数分别为z z1 11 12i2i，z z2 22
18、2i i，z z3 31 12i2i，求这个正方形第四个顶点，求这个正方形第四个顶点对应的复数对应的复数. .x xy yO OZ Z1 1Z Z2 2Z Z3 3Z Z4 4z z4 42 2i i 典例讲评典例讲评 例例3 3 设复数设复数 ，若若|z|5|z|5，求，求x x的取值范围的取值范围. .典例讲评典例讲评1.1.复数集复数集C C和复平面内所有的点所成的集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即合是一一对应的，即复数复数z zabi i 复平面内的点复平面内的点 Z Z（a，b）一一对应一一对应2.2.复数集复数集C C与复平面内的向量所成的集合与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即也是一一对应的，即复数复数z zabi i 复平面内的向量复平面内的向量一一对应一一对应课堂小结课堂小结 3.3.复数复数zabi i与复平面内的点与复平面内的点 Z Z（a，b）和向量和向量 是一个三角对应关是一个三角对应关系，即系，即复数复数z zabi i点点 Z(Z(a，b) )向量向量课堂小结课堂小结P P105105练习：练习：1.1. P P106106习题习题3.1A3.1A组：组：4 4，5 5，6.6.布置作业布置作业
