《北师大版数学必修四课件：1.2角的概念的推广》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学必修四课件：1.2角的概念的推广（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精 品 数 学 课 件北 师 大 版 对推广后角的概念的理解对推广后角的概念的理解. .(1)(1)紧紧抓住紧紧抓住“旋转旋转”二字，用运动的观点来看角二字，用运动的观点来看角. .(2)(2)结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再限于限于0 0360360，已包括正角、负角和零角，已包括正角、负角和零角(3)(3)正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动有转动. .角的概念的
2、辨析问题角的概念的辨析问题 (1)(1)在不引起混淆的情况下，在不引起混淆的情况下，“角角 ”或或“ ”可以简化成可以简化成“ ”. (2). (2)表示角时，应注意箭头表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，因为箭头的方向代表角的正负的方向不可丢掉，因为箭头的方向代表角的正负. .【例例1 1】判断下列说法是否正确，并说明理由：判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)(1)集合集合P P钝角，集合钝角，集合Q Q第二象限角，则有第二象限角，则有P PQ Q；(2)(2)角角和角和角22的终边不可能相同；的终边不可能相同；(3)(3)若若是第二象限角，则是第二象限角，则22一定是第四象限角；一定是
3、第四象限角；(4)(4)设集合设集合A A 射线射线OPOP，集合，集合B B 坐标平面内的角坐标平面内的角 ，法，法则则f f：以：以x x轴正半轴为角的始边，以轴正半轴为角的始边，以OPOP为角的终边，那么对为角的终边，那么对应应f f：OPOPxOP BxOP B是一个映射；是一个映射；(5)(5)不相等的角其终边位置必不相同不相等的角其终边位置必不相同【审题指导审题指导】解答本题首先要明确角的范围不再限于解答本题首先要明确角的范围不再限于0 0360360，角的度数已经扩大到，角的度数已经扩大到(-(-，+)+)，其次要紧扣象限，其次要紧扣象限角、终边相同的角的概念角、终边相同的角的概
4、念. .【规范解答规范解答】(1)(1)不正确实际上不正确实际上P=|90P=|90180180,应有应有P QP Q(2)(2)不正确如不正确如0 0，则，则与与22终边相同终边相同(3)(3)不正确由不正确由9090+k+k360360180180+k+k360360,kZ,kZ知知180180+2k+2k36036022360360+2k+2k360360,kZ,kZ，故，故22是第三或四象限的角是第三或四象限的角, ,也可能终边在也可能终边在y y轴的负半轴上轴的负半轴上(4)(4)不正确以不正确以x x轴的正半轴为角的始边，以轴的正半轴为角的始边，以OPOP为终边的为终边的xOPxO
5、P不唯一不唯一(5)(5)不正确不相等的角其终边位置也可能相同，如不正确不相等的角其终边位置也可能相同，如3030与与390390 对终边相同的角的理解对终边相同的角的理解 (1)(1)终边相同的角的意义终边相同的角的意义 为定义任意角的三角函数作准备为定义任意角的三角函数作准备. . 三角函数周期性的根源所在三角函数周期性的根源所在. .终边相同的角的表示与应用终边相同的角的表示与应用(2)(2)把任意角化为把任意角化为+k+k360360(kZ(kZ且且0 0360360) )的的形式，关键是确定形式，关键是确定k.k.可以用观察法可以用观察法(的绝对值较小的绝对值较小) )也可也可用除法
6、用除法. .要注意：正角除以要注意：正角除以360360, ,按通常的除法进行；负角按通常的除法进行；负角除以除以360360, ,商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大商大1,1,使余数为正值使余数为正值. .(3)(3)以以x x轴的非负半轴为始边，终边落在某条直线上的角如轴的非负半轴为始边，终边落在某条直线上的角如图所示，终边落在图所示，终边落在x x轴上的角可表示为轴上的角可表示为=k=k180180，kZkZ，终边落在，终边落在y y轴上的角可表示为轴上的角可表示为=k=k180180+90+90, ,kZkZ，终边落在直线，终边落在直线
7、l上的角可表示为上的角可表示为=k=k180180+30+30, ,kZ.kZ. 相等的角终边相同，终边相同的角不一定相等相等的角终边相同，终边相同的角不一定相等. .【例例2 2】写出始边与写出始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合, ,终边在函数终边在函数 的图像上的角的集合的图像上的角的集合M M，并指出其中在，并指出其中在-360-360360360 内的角内的角【审题指导审题指导】由由 可知所求角在可知所求角在0 0180180范围内范围内的值为的值为 =30=30或或 150150，由此即可写出集合，由此即可写出集合 M M【规范解答规范解答】由已知得由已知得其图像如图所示：
8、其图像如图所示：在在0 0180180内终边在函数内终边在函数 的图像上的角为的图像上的角为3030或或 150150. .所以所以M=M=30=30+k+k360360或或150150+k+k360360，kZkZ，其中在其中在-360-360360360 内的角为内的角为3030+(-1)+(-1)360360=-330=-330，3030+0+0360360=30=30，150150+(-1)+(-1)360360=-210=-210，150150+0+0360360=150=150. . ,2, ,2, 等角终边位置的确定方法等角终边位置的确定方法(1)(1)不等式法不等式法一般首先利
9、用象限角的概念或已知条件，写出角一般首先利用象限角的概念或已知条件，写出角的范的范围，然后利用不等式的性质，求出围，然后利用不等式的性质，求出22、 等角的范围，最等角的范围，最后利用后利用“旋转旋转”的观点，确定角终边的位置，例如：如果的观点，确定角终边的位置，例如：如果得到得到 ，kZkZ，可画出，可画出 所所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120120( (如下图所示如下图所示).).、22、 等角终边位置的确定等角终边位置的确定(2)(2)几何法几何法( (或等分象限法或等分象限法) )若已知若已知所在的象限，确定所在的象限，确定
10、 所在的象限，可先将各个象所在的象限，可先将各个象限限n n等分，从第一象限离等分，从第一象限离x x轴最近的区域开始逆时针方向依轴最近的区域开始逆时针方向依次循环标注号次循环标注号1,2,3,4,1,2,3,4,直到将所有区域标完为止直到将所有区域标完为止. .如果如果在在第几象限，则第几象限，则 在图中标号为几的区域内在图中标号为几的区域内. .例如例如, ,已知已知为第四象限角，则为第四象限角，则 终边所在的位置为下图标终边所在的位置为下图标4 4的区域内的区域内. .【例例3 3】已知已知角是第三象限角，则角是第三象限角，则22， 各是第几象限各是第几象限角？角？【审题指导审题指导】由
11、由角是第三象限角知角是第三象限角知k k360360+180+180k k360360+270+270(kZ)(kZ)，由此可以求出，由此可以求出22， 取值范取值范围围, ,确定其终边位置确定其终边位置. .【规范解答规范解答】角是第三象限角，角是第三象限角，k k360360+180+180k k360360+270+270(kZ)(kZ)，因此，因此，2k2k360360+360+360222k2k360360+540+540(kZ)(kZ)，即即(2k +1)(2k +1)36036022(2k +1)(2k +1)360360+180+180(kZ)(kZ)，故故22是第一、二象限角
12、或终边在是第一、二象限角或终边在y y轴的非负半轴上的角轴的非负半轴上的角又又 方法一：当方法一：当k k为偶数时，令为偶数时，令k=2n(nZ)k=2n(nZ)，则，则n n360360+90+90 n n360360+135+135(nZ) (nZ) ，此时，此时， 属于第二象限角属于第二象限角当当k k为奇数时，令为奇数时，令k=2n+1 (nZ)k=2n+1 (nZ)，则，则n n360360+270+270n n360360+315+315(nZ) (nZ) ，此时，此时， 属于第四象限角属于第四象限角方法二：方法二： 终边所在区域如图所示终边所在区域如图所示因此因此 属于第二或第四
13、象限角属于第二或第四象限角 终边具备对称性的角之间的关系终边具备对称性的角之间的关系在平面直角坐标系中，若两个角的终边具备对称性，那么在平面直角坐标系中，若两个角的终边具备对称性，那么它们就有一定的关系它们就有一定的关系. .解此类问题时，要先利用逆转加正角，解此类问题时，要先利用逆转加正角，顺转加负角的方法，转化为两个角终边重合的情况，然后顺转加负角的方法，转化为两个角终边重合的情况，然后由终边相同的角的集合就可将所求角表示出来由终边相同的角的集合就可将所求角表示出来. .一般地：一般地： 终边与已知角的终边关于直线或特殊点对称的角终边与已知角的终边关于直线或特殊点对称的角的表示的表示(1)
14、(1)与与的终边关于的终边关于x x轴对称，则轴对称，则+=k+=k360360，kZ.kZ.(2)(2)与与的终边关于的终边关于y y轴对称，则轴对称，则+=(2k+1)+=(2k+1)180180，kZ.kZ.(3)(3)与与的终边在一条直线上，则的终边在一条直线上，则-=k-=k180180，kZ.kZ.【例例】(1)60(1)60与与-60-60角的终边有什么对称性？角的终边有什么对称性？(2)120(2)120与与-120-120角的终边有什么对称性？角的终边有什么对称性？(3)420(3)420与与-420-420角的终边有什么对称性？角的终边有什么对称性？(4)(4)试猜想角试猜
15、想角与与-的终边有什么对称性？的终边有什么对称性？【审题指导审题指导】解答本题的关键是注意逆时针旋转为正角、解答本题的关键是注意逆时针旋转为正角、顺时针旋转为负角，在平面直角坐标系中作出有关角进行顺时针旋转为负角，在平面直角坐标系中作出有关角进行判断，从中发现规律判断，从中发现规律. .【规范解答规范解答】(1)(1)如下图所示，如下图所示，6060与与-60-60角的终边关于角的终边关于x x轴对称轴对称. .(2)(2)如下图所示，如下图所示，120120与与-120-120角的终边关于角的终边关于x x轴对称轴对称. .(3)(3)如下图所示，如下图所示，420420与与-420-420
16、角的终边关于角的终边关于x x轴对称轴对称. .(4)(4)由由(1)(2)(3)(1)(2)(3)可猜想角可猜想角与与-的终边关于的终边关于x x轴对称轴对称. .【典例典例】(12(12分分) )已知集合已知集合A=A=3030+k+k1801809090+k+k180180，kZkZ，B=B=-45-45+k+k3603604545+k+k360360，kZkZ. .(1)(1)试在平面直角坐标系内画出集合试在平面直角坐标系内画出集合A A和和B B中的角的终边所在的中的角的终边所在的区域区域. .(2)(2)求求AB.AB.【审题指导审题指导】集合集合A A中的角的终边所在的区域是中的
17、角的终边所在的区域是“对角形对角形”区区域，集合域，集合B B中的角的终边所在的区域是扇形中的角的终边所在的区域是扇形. .终边在这两个区终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是域的公共部分内的角的集合就是AB.AB.【规范解答规范解答】(1)(1)如图所示如图所示 4 4分分集合集合A A中的角的终边在阴影中的角的终边在阴影()()内，内，集合集合B B中的角的终边在阴影中的角的终边在阴影()()内内. .6 6分分(2)(2)集合集合ABAB中的角的终边中的角的终边在阴影在阴影()()和和()()的公共部分内，的公共部分内，8 8分分所以所以AB=AB=3030+k+k360360454
18、5+k+k360360，kZkZ1212分分【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.1.将射线将射线OMOM绕端点绕端点O O按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转120120所得的角为所得的角为( ( ) )(A)120(A)120 (B)-120 (B)-120 (C)60 (C)60 (D)240 (D)240【解析解析】选选A.A.逆时针方向旋转得正角，故所得的角为逆时针方向旋转得正角，故所得的角为120120. .2.2.与与9595角终边相同的角是角终边相同的角是( )( )(A)-5(A)-5 (B)85 (B)85 (C)395
19、 (C)395 (D)-265 (D)-265【解析解析】选选D.95D.95角终边相同的角角终边相同的角=95=95+k+k360360，kZkZ所以所以9595+(-1)+(-1)360360=-265=-265. .3.3.与与210210角的终边相同的角连同角的终边相同的角连同210210角在内组成的角的集角在内组成的角的集合是合是_._.【解析解析】与与210210角的终边相同的角连同角的终边相同的角连同210210角在内组成的角在内组成的角的集合是角的集合是S=S=210=210+k+k360360，kZkZ. .答案答案: :=210=210+k+k360360，kZkZ4.4.
20、如下图所示，角的顶点与直角坐标系的原点重合如下图所示，角的顶点与直角坐标系的原点重合, ,始边与始边与x x轴的正半轴重合，终边落在轴的正半轴重合，终边落在OAOA位置时的角的集合是位置时的角的集合是_；终边落在终边落在OBOB位置时的角的集合是位置时的角的集合是_【解析解析】在在-180-180180180内终边落在内终边落在OAOA位置的角位置的角为为6060，故终边落在，故终边落在OAOA位置时的角的集合为位置时的角的集合为=60=60+k+k360360，kZkZ在在-180-180180180内终边落在内终边落在OBOB位置的角为位置的角为-135-135故终边落在故终边落在OBOB位置时的角的集合为位置时的角的集合为=-135=-135+k+k360360，kZkZ. .答案答案: :=60=60+k+k360360，kZkZ=-135=-135+k+k360360，kZkZ5.5.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合已知角的顶点与直角坐标系的原点重合, ,始边与始边与x x轴的正半轴的正半轴重合，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角：轴重合，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角：(1)495(1)495 (2)-105 (2)-105 (3)780 (3)780 (4)-390 (4)-390【解析解析】
