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1、 因式分解因式分解1 提公因式法提公因式法整式的乘法整式的乘法计计算下列各式算下列各式:x(x+1)= (x+1)(x1)= x2 + xx21请把下列多项式写成整式的乘积的形式请把下列多项式写成整式的乘积的形式: :(1)x2+x =_(2)x21=_x(x+1)(x+1)(x-1)上面我们把一个多项式化成了几个上面我们把一个多项式化成了几个整式整式的的积积的形式的形式, ,像这样的变形叫做这个多项式的像这样的变形叫做这个多项式的因式分解因式分解, ,也叫做把这个多项式也叫做把这个多项式分解因式分解因式. .整式的乘法与因式整式的乘法与因式分解有什么关系分解有什么关系？x2-1 因式分解因式
2、分解整式乘法整式乘法(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是方向因式分解与整式乘法是方向相反的变形相反的变形. .例例2、下列各式由左、下列各式由左边边到右到右边边的的变变形形,哪些是因式分解哪些是因式分解,哪些不是哪些不是?(1) a2-1=(a+1)(a-1）(2) (a+1)(a-1) = a2-1(3)(4) ab+ac+d=a(b+c)+d 不是不是是是不是不是不是不是把一个多项式写成几个把一个多项式写成几个整式整式的的积积的形式的形式观观察多察多项项式式ab+ac+ad的每一的每一项项，你有什么你有什么发现吗发现吗？a是多项式是多项式ab+ac+ad各项都含有的因式各项都含有的因式
3、。 一个多一个多项项式式各各项项都含有的因式都含有的因式，称称为这为这个多个多项项式各式各项项的的公因式公因式。例如例如a就是多就是多项项式式ab+ac+ad各各项项的的公因式公因式 例例1、下列多项式的各项是否有公因下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试找出公因式式？如果有，试找出公因式。 (1) 6a+8b (2) ab-ac (3) m3n2+m2n5 (4) 2x2-6x3 (5) ab+bc-cdam2n22x22思考思考: :如何找多项式的公因式如何找多项式的公因式?没有没有 公因式公因式: : (1)(1)系数系数: :取各项系数的取各项系数的最大公约数最大公约数(2)(2)字
4、母字母: :取各项取各项相同的字母相同的字母(3)(3)指数指数: :取各项相同字母指数取各项相同字母指数最低的次数最低的次数找出下列多项式各项的公因式找出下列多项式各项的公因式（1）9abc-6a2b2+12abc2 （2）3an+1-6an+9an-1（3）14(n+m)2-35(n+m)33ab3an-17(n+m)2写出下列多写出下列多项项式各式各项项的公因式的公因式.（1）ma+mb （2）4kx8ky （3）5y3+20y2 （4）a2b2ab2+ab m4k5y2ab 一般地，如果多一般地，如果多项项式的各式的各项项有有公因式公因式，可以把，可以把这这个公因式提取个公因式提取出来
5、，将多出来，将多项项式写成公因式与另式写成公因式与另一个因式的乘一个因式的乘积积的形式，的形式，这这种分种分解因式的方法叫做解因式的方法叫做提公因式法提公因式法.例例1 把把8a3b2 + 12ab3c 分解因式分解因式分析：分析：找公因式找公因式 1.1.系数的最大公约数系数的最大公约数 42.找相同字母找相同字母 a3. .相同字母的最低指数相同字母的最低指数 a1b2 公因式公因式为为：4ab2解：原式解：原式 =4ab22a2+4ab23bc =4ab2(2a2+3bc)（2）把）把6a3b-9a2b2c+3a2b分解因式分解因式解：解： 6a3b-9a2b2c+3a2b =3a2b.
6、2a-3a2b.3bc+3a2b.1 =3a2b（2a-3bc+1）注意：注意：1 1、如果提取公因式与多项式中、如果提取公因式与多项式中的某一项相同，那么提取后多项式中的的某一项相同，那么提取后多项式中的这一项剩下这一项剩下“1 1”结果中的结果中的“1 1”不能漏写不能漏写 2、多项式有几项，提取公因式后多项式有几项，提取公因式后另一项也有几项。另一项也有几项。（3）把）把 -8a2b2+4a2b-2ab分解因式分解因式解：解： -8a2b2+4a2b-2ab = -（8a2b2-4a2b+2ab） = -（2ab.4ab-2ab.2a+2ab.1） = -2ab（4ab-2a+1）当多项
7、式第一项的系数是当多项式第一项的系数是负数负数时，通常时，通常把把负号负号作为公因式的负号作为公因式的负号写在括号外写在括号外，使括号内第一项的系数化为正数，在提使括号内第一项的系数化为正数，在提出负号时，多项式的出负号时，多项式的各项都要变号各项都要变号！解：原式解：原式 =(x3)(a+2b)例例2：把把a（x3）+2b（x3）分解因式）分解因式分析：分析：这这个多个多项项式整体而言可分式整体而言可分为为两两大大项项，即，即a(x3)与与2b(x3)，每，每项项中中都含有（都含有（x3）,因此可以把因此可以把(x3)作作为为公因式提出来公因式提出来.把下列各式分解因式把下列各式分解因式:
8、:1. a（xy）+b（yx）分析：分析：虽然虽然a（xy)与与b(yx)看上去没有公因看上去没有公因式，但仔细观察可以看出式，但仔细观察可以看出（xy)与与(yx）互为互为相反数，如果把其中一个提取一个相反数，如果把其中一个提取一个“”号，号，则则可以出现公因式，如：可以出现公因式，如：yx=（xy）解：原式解：原式 = a（xy）b（xy） =（xy）（）（ab）解：原式解：原式 = 6（mn）312（mn）2 =6（mn）312（mn）2=6（mn）2（mn2）2. 6（mn）312（nm）2请在下列各式等号右边的括号前填入请在下列各式等号右边的括号前填入“+ +”或或“”号，使等式成立
9、号，使等式成立: :（1）2a=_（a2）（2）yx= _（xy）（3）b+a=_（a+b）（4）（）（ba）2=_（ab）2（5）mn=_（m+n）（6）s2+t2=_（s2t2）-+把下列各式分解因式把下列各式分解因式（1）8x72（2）a2b5ab（3）4m36m2（4）a2b5ab+9b（5）a2+abac=8（x9）=ab（a5）=2m2（2m3）=b（a25a+9）=（a2ab+ac）=a（ab+c）用提公因式法把下列各式分解因式用提公因式法把下列各式分解因式（1）6a3b-9a2b2c（2）6x3y-18xy2-3xy（3）-2m3+8m2-12m步骤步骤: :(1)找公因式找公
10、因式; ; (2)分解分解; ;(3)提公因式提公因式, ,写成积写成积. .4、把下列各式分解因式、把下列各式分解因式（1）3a(x+y)-2b(y+x)（2）2x(m-n)+4y(n-m)（3）(x-y)3x+(y-x)3y（4）(3x-y)(3x+y)-(2x+5y)(y-3x)1 1、(1)多多项项式中每一式中每一项项都含有的因都含有的因式，叫做式，叫做这这个多个多项项式各式各项项的的公因式公因式.(2) 把多把多项项式化成几个整式的式化成几个整式的积积的的形式叫做把形式叫做把这这个多个多项项式的式的因式分解因式分解(也叫做把也叫做把这这个多个多项项式的分解因式式的分解因式)特点特点:
11、整式的乘法的运算整式的乘法的运算过过程与因程与因式分解的运算式分解的运算过过程互逆程互逆 。(3)如果多如果多项项式的各式的各项项含有公因式，含有公因式，那么可以把那么可以把这这个公因式提出来个公因式提出来.把把多多项项式化成公因式与另一个多式化成公因式与另一个多项项式式的的积积的形式的形式,这这种分解因式的方法种分解因式的方法叫做叫做提公因式法提公因式法。2、方法、方法规规律：律： 一个多一个多项项式各式各项项的公因式：的公因式： (1) 各各项项整数系数的最大公整数系数的最大公约约数；数； (2)各各项项相同的字母且相同因式的相同的字母且相同因式的指数取最低。指数取最低。 3、方法技巧：方法技巧： 用提公因式法分解因式的一用提公因式法分解因式的一 般步骤：般步骤： a、确定公因式、确定公因式 b、把多、把多项项式的各式的各项项分成公因式与分成公因式与另一因式的乘另一因式的乘积积的形式的形式c、提取公因式、提取公因式,得到公因式与另一得到公因式与另一个多个多项项式的式的积积的形式的形式
