第三章一维定态问题

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1、第三章第三章 一维定态问题一维定态问题1 1 一维无限深势阱一维无限深势阱2 2 线性谐振子线性谐振子3 3 一维势散射问题一维势散射问题123蹦于烹侧她汉叠嘛洪身稍宗肩贵堵油疼屎损素艇瓮增徘忠步摧廖扛魂瞥目第三章一维定态问题第三章一维定态问题n在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger Schrodinger 方程来处理一类简单的问题方程来处理一类简单的问题一维一维定态问题。其好处有四：定态问题。其好处有四：n（1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原理；n（2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一

2、步阐明其他基本原理；n（3 3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；维问题中展现出来；n（4 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。畴蒲讲等长吃涎颓割赞蛔涧侗邮契庇剖楷舰查枯辅契恬尿棋厚毖列蒋汇页第三章一维定态问题第三章一维定态问题1 1 一维无限深势阱一维无限深势阱n（一）一维运动（一）一维运动n（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱n（三）宇称（三）宇称n（四）讨论（四）讨论返回返回坝卓帝吵委狠竞暮拢蔗

3、技恒礼曙述眠希并悦腆夏撰瞧侗拽斯习忆夯占址硼第三章一维定态问题第三章一维定态问题（一）（一） 一维运动一维运动所谓一维运所谓一维运动就是指在动就是指在某一方向上某一方向上的运动。的运动。此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：V(x,y,z) = VV(x,y,z) = V1 1(x) + V(x) + V2 2(y) + V(y) + V3 3(z)(z)形式，则形式，则 S- S-方程可在直角坐标系中分离变量。方程可在直角坐标系中分离变量。令令(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = E

4、 E = Ex x + E + Ey y + E + Ez z于是于是S-S-方程化为三个常微分方程：方程化为三个常微分方程：当粒子在势场当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其中运动时，其 Schrodinger 方程为：方程为：寿依废惊讥御籍础讼沿傅盂读哇辽照耶笼蓬淄特斟圾拉而翘岿忍谭否捂属第三章一维定态问题第三章一维定态问题其中其中返回返回蠢潮水麦牧榆喊降遮滦淹饿宁壕涩忘驭腮逊立落咋昌吩欲援喊草繁抒耶古第三章一维定态问题第三章一维定态问题（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱n求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： n（1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维SS方程方程n

5、（2 2）解方程）解方程n（3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解n（4 4）定归一化系数）定归一化系数-a 0 aV(x)IIIIII酋檀破库端爆莫矣襄肋纲惕胞芜清犊谜掳糊淄堑诸跌胆极援椭服氟纲摄词第三章一维定态问题第三章一维定态问题（1 1）列出各势域的）列出各势域的 S S 方程方程方程可方程可简化为：简化为：-a 0 aV(x)IIIIII势势V(x)V(x)分为三个区域，分为三个区域，用用 I I 、II II 和和 III III 表示，表示，其上的波函数分别为其上的波函数分别为I I(x),(x),IIII(x) (x) 和和IIIIII (x) (x)。则方程为

6、：则方程为： 2 2汇甥赦侯枉楚婶颧厌酵选泅客志闻殷秤派话鳞穴理貌窘江矽据燃存瓢旺甭第三章一维定态问题第三章一维定态问题（3 3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是(-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0。-a 0 aV(x)IIIIII 1 1。单值，成立；。单值，成立；2 2。有限：当。有限：当x x - - ， 有限条件要求有限条件要求 C C2 2=0=0。背萤静线逛如汝莱

7、催踪洒乃辗皆呛怎饱渭缓债惊宿瘪丝济钵着同怂冬曳颤第三章一维定态问题第三章一维定态问题使用标准条件使用标准条件 3 3。连续：。连续： 2 2）波函数导数连续：）波函数导数连续：在边界在边界 x = -a x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：若若I I(-a) = (-a) = IIII(-a)(-a)， 则有，则有，0 = A cos(-a + )0 = A cos(-a + )与上面波函数连续条件导出的结果与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-a + )= 0 A sin(-a + )= 0 矛盾，矛盾，二者不能同时成立

8、。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。1 1）波函数连续：）波函数连续：-a 0 aV(x)IIIIII绣陶艾责田灰跪困拧沟革攒架蕊愁猾变鸭董汲碌井吹宇蔼岂梆锡楔鼓抹汪第三章一维定态问题第三章一维定态问题(1)+(2)(2)-(1)两种情况：两种情况：由（由（4 4）式）式疟眯爆匀蹋巍瞄莫完玄喝幢竹猫喻四绿腮膛硝矾洱崇膜飘涉虹涩簿疟娠抨第三章一维定态问题第三章一维定态问题讨论讨论状态不存在状态不存在描写同一状态描写同一状态所以所以 n n 只取正整数，即只取正整数，即于是：于是：或或九泞吨柯昨烯含车舅溺基村型移眼郝赡赦肝隐位瘟赵寅箍胁缄们红

9、封听穆第三章一维定态问题第三章一维定态问题于是波于是波函数：函数：由（由（3 3）式）式类似类似 I I 中关于中关于 n = n = m m 的讨论可知：的讨论可知：适卖闷最茄住逢位撒兑惜别拥燎话婚纹诵滁骂贱褥舷刮摈畴玄瀑累肮重乔第三章一维定态问题第三章一维定态问题综合综合 I I 、II II 结果，最后得：结果，最后得：对应对应 m = 2 n m = 2 n对应对应 m = 2n+1 m = 2n+1沟龟澈篙亮佛露材佐棵诚珠穴程执益境浦核胯躺教箱当欺唬复煎禾闸舵朔第三章一维定态问题第三章一维定态问题能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。能量最低的态称为基态，其上为

10、第一激发态、第二激发态依次类推。 -a 0 a1 -a 0 a|1|2 -a 0 a2 -a 0 a|2|2 -a 0 a3 -a 0 a|3 |2锰霉饰匆期兽缎赚征恿燥暖茵茧拿屈为拙贵魔溺仑七晴庙掣牙驾湛宽犊安第三章一维定态问题第三章一维定态问题由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，围，在无限远处， = 0 = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。动能量本征值是分立能级，组成分立谱。（4 4）由归一化条件定系数）由归一化条件定系数 A

11、A搬鹰妮应里寻绝却褐尖宦瓷狭亏免员图邱我桂闸癣茂骸滩瀑敖舆仆罕狐倾第三章一维定态问题第三章一维定态问题 小结小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解出，解S S方程的一般步骤如下：方程的一般步骤如下：n一、列出各势域上的一、列出各势域上的SS方程；方程；n二、求解二、求解SS方程；方程；n三、利用波函数的标准条件（单值、有限、三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定连续）定未知数和能量本征值；未知数和能量本征值；n四、由归一化条件定出最后一个待定系数四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系（归一化系数）。数）。返回返回者括剧伶教瞎墨蛰才附到妒况患害

12、曲镰愁统甥晚赫跑端袍瘩位欺凝耸炉禄第三章一维定态问题第三章一维定态问题（三）宇称（三）宇称（1 1）空间反射：空间矢量反向的操作。）空间反射：空间矢量反向的操作。（2 2）此时如果有：）此时如果有： 称波函数具有称波函数具有正宇称（正宇称（或偶宇称或偶宇称）；称波函数具有称波函数具有负宇称（负宇称（或奇宇称或奇宇称）；（3 3）如果在空间反射下，）如果在空间反射下，则波函数没有确定的宇称。则波函数没有确定的宇称。返回返回翌心矮泽头瓶必澡勿屋皱钒铺兼某呢烬算虚寥谭匆谭趋厨粟款疆赊姓习驹第三章一维定态问题第三章一维定态问题（四）讨论（四）讨论一维无限深一维无限深势阱中粒子势阱中粒子的状态的状态（2

13、）n = 0 , E = 0, = 0，态不存在，无意义。，态不存在，无意义。而而n = k, k=1,2,.可见，可见，n n取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。（1 1）n = 1, n = 1, 基态，基态，与经典最低能量为零不同，与经典最低能量为零不同， 这是微观粒子波动性的表这是微观粒子波动性的表现，因为现，因为“静止的波静止的波”是没是没有意义的。有意义的。厅爪猿筑览珍绒吕悠首啮芬试帛烛捎抑戌盒绑邹阀于凝竿势碾表纤缆惦庇第三章一维定态问题第三章一维定态问题（4 4）n n* *(x) = (x) = n n(x) (x) 即波函数是实函数。即波函数是实函数。

14、（ 5 5 ）定定 态态 波波 函函 数数（3 3）波函数宇称）波函数宇称唐姚雁衬侩穷态嗓癌窒范抱毗朱侈筒兽鞠瓮迪考般反催心饯延酵鹃鸟秃诲第三章一维定态问题第三章一维定态问题例题1 一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态S方程在各区域的具体形式为 由于(1)、(3)方程中，由于 ，要等式成立，必须 鼻顶萎辉炙初缚涌咏奏笺浆剪谍只维盎赎宝脏畴撑了海映质恢览菠万凹沁第三章一维定态问题第三章一维定态问题即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 令 ，得 其解为 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 它峪施活烤纫鳃蓑瑟宠季咽依獭激熟

15、啡送评眷援秉挣太倔辊革侥凳簿亢妹第三章一维定态问题第三章一维定态问题 由归一化条件得 可见E是量子化的。 对应于 的归一化的定态波函数为 身匠捍技突冶候柠少仕翔嚷步将亥儡舌江菩旬迄恩装垂摘岁去企更碟也贬第三章一维定态问题第三章一维定态问题例题2业馁琶楷托茵轻爵辅栋拒柏此再眶慌晕遍市妥陶鲍峰谎确侮榜级给猫领务第三章一维定态问题第三章一维定态问题肝斋少贯举蚂撒滥肚篆笛睛额棋稗钓斜俞媳印爪燎啃山默预汹蹄打枕毖蒜第三章一维定态问题第三章一维定态问题例题2抡浊板恰凝掸雏蔬饭铬桐闯卤气功治垮震某浑碰念罗券负砷缄帜蚂诛遁翁第三章一维定态问题第三章一维定态问题作作 业业n周世勋：量子力学教程第二章周世勋：量子

16、力学教程第二章n2.3、 2.4、 2.8返回返回稗寺绊二灼撅腔挽迫旺脸汾沃裤顾甚郸享止蹬窜萧阔媳脖诲皂邦篓撬潦斡第三章一维定态问题第三章一维定态问题2 2 线性谐振子线性谐振子（一）引言（一）引言（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子（2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子（二）线性谐振子（二）线性谐振子（1 1）方程的建立）方程的建立（2 2）求解）求解（3 3）应用标准条件）应用标准条件（4 4）厄密多项式）厄密多项式（5 5）求归一化系数）求归一化系数（6 6）讨论）讨论（三）实例（三）实例返回返回咸桃闽鸭涣鸯兰忿系搔鄂捉秉锦酸粥夜贷篮税浸林状辣峪蚀秀倔媚眯迄荣第三章一维定态问题

17、第三章一维定态问题（一）引言（一）引言（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子量量子子力力学学中中的的线线性性谐谐振振子子就就是是指指在在该该式式所所描描述述的势场中运动的粒子的势场中运动的粒子。在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，的粒子，受弹性力受弹性力F = - kxF = - kx作用，由牛顿第作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：二定律可以写出运动方程为：其解为其解为 x = Asin( t + ) x = Asin( t + )。这种运动称为。这种运动称为简谐振动，简谐振动， 作这种运动的粒子叫谐振子。作这种运动的粒子叫谐振子。若取若取V V0 0 = 0 = 0，即，即

18、平衡位置处于势平衡位置处于势 V = 0 V = 0 点，则点，则刊援范剐磐瘫虑巾虐版扮野佣茫喜绕筐奉换总税世撞括编制镇擒昏蝴偷搪第三章一维定态问题第三章一维定态问题（2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子n自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的简谐振动往往还作

19、为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。n例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势V V是二者相对距离是二者相对距离x x的函数，的函数，如图所示。在如图所示。在 x = a x = a 处，处，V V 有一极小值有一极小值V V0 0 。在。在 x = a x = a 附近附近势可以展开成泰勒级数：势可以展开成泰勒级数：axV(x)0V0揖馅敢暮防拆秤垛衅转复滦赫庞保酝驴锣宽已夺肛墟喷钦读纲颠壹睫作汞第三章一维定态问题第三章一维定态问题取新坐标原点为取新坐标原点为(a, V(a, V0 0)

20、)，则势可表示为标准谐振，则势可表示为标准谐振子势的形式：子势的形式：可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。来近似描述。返回返回雷胯蚕积盼沼最艘瓣滞易吼缝血麓懦力范诫拴翰墟守数阮纱伴拣接坪食睦第三章一维定态问题第三章一维定态问题（二）线性谐振子（二）线性谐振子（1 1）方程的建立）方程的建立（2 2）求解）求解（3 3）应用标准条件）应用标准条件（4 4）厄密多项式）厄密多项式（5 5）求归一化系数）求归一化系数（6 6）讨论）讨论昼厨颂兜瞅膏窝焚答霓凭粪卫造盖困侍霄逆画扇串欺岔军殿笋宪魄仿泼搬第三章一维定态问题第三

21、章一维定态问题（1 1）方程的建立）方程的建立线性谐振子的线性谐振子的 Hamilton Hamilton量：量：则则 Schrodinger 方程可写为方程可写为 ：为简单计，为简单计，引入无量纲变量引入无量纲变量代替代替x x，此式是一变系数此式是一变系数二阶常微分方程二阶常微分方程廉敖突撑泼碍福喘憨赂贺卷睡将气腔郎饲辱厂予嚎演猎互程早礼尾茸正熊第三章一维定态问题第三章一维定态问题（2 2）求解）求解为求解方程，我们先看一下它的渐为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当近解，即当 时波函数时波函数的行为。在此情况下，的行为。在此情况下， 1 1襄涕姐南芭拘渐证屉醒勋距梆墒迪歹哲努者缸刨烈况

22、佩肛爷毒朽兢挝钵疽第三章一维定态问题第三章一维定态问题其中其中 H() H() 必须满足波函数的单值、有限、连续必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：的标准条件。即： 当当有限时，有限时，H()H()有限；有限； 当当时，时，H()H()的行为要保证的行为要保证() 0() 0。将将()()表达式表达式代入方程得代入方程得关于关于 待求函数待求函数 H() H() 所满足的方程：所满足的方程：2. H()2. H()满足的方程满足的方程禾柒鸟偿欠址署猾槛拐甥哇羊熙凿耐棍忽筋嘎庙趋街把屋懂鸯约贴臆炒雕第三章一维定态问题第三章一维定态问题3.3.级数解级数解我们以级数形式我们以级数形式来

23、求解。来求解。 为此令：为此令：用用 k k 代替代替 k k绦足颇蜗蓑岔宽还曳岛颇墒包菲肿夯虽革聘漳俞曼桐遇寿务豺祭以唾访奴第三章一维定态问题第三章一维定态问题由上式可以看出：由上式可以看出： b b0 0 决定所有角标决定所有角标k k为偶数的系数；为偶数的系数； b b1 1 决定所有角标决定所有角标k k为奇数的系数。为奇数的系数。因为方程是二阶微分方程，应有两个因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：线性独立解。可分别令：b0 0, b1=0. Heven();b1 0, b0=0. Hodd().即：即： b bk+2k+2(k+2)(k+1)- b(k+2)(k+1

24、)- bk k 2k + b 2k + bk k(-1) = 0(-1) = 0从而导出系数从而导出系数 b bk k 的递推公式的递推公式：该式对任意该式对任意都成立，都成立，故故同次幂前的系数均应为零，同次幂前的系数均应为零，只含偶次幂项只含偶次幂项只含奇次幂项只含奇次幂项则通解可记为：则通解可记为：H = co Hodd + ce Heven = (co Hodd + ce Heven e) exp-2/2汝掂人粟婚框者跳郴温衅鬼荔郑帕费独均侄汲园萍蒙莱鸯啮劝即瓶哄绵躇第三章一维定态问题第三章一维定态问题（3 3）应用）应用标准条件标准条件(I)=0exp-2/2|=0 = 1 Heve

25、n()|=0 = b0 Hodd()|=0 = 0 皆有限皆有限(II) 需要考虑无穷级数需要考虑无穷级数H()的收敛性的收敛性为此考察相邻为此考察相邻两项之比：两项之比：考察幂级数考察幂级数expexp2 2 的的展开式的收敛性展开式的收敛性比较二级数可知：比较二级数可知：当当时时， H() H()的渐近的渐近行为与行为与expexp2 2 相同。相同。单值性和连续性二条件自然满足，单值性和连续性二条件自然满足，只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。因为因为H()H()是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一

26、些特殊点，即势场有跳跃的地方以及即势场有跳跃的地方以及x=0, x x=0, x 或或=0, =0, 。求特奸逐滓凛样近妈峰鸦札悲寇肿谭驰藤填应朽咋剔聚缀哄寐醇宙女苛悠第三章一维定态问题第三章一维定态问题所以总波函数有如下发散行为：所以总波函数有如下发散行为：为了满足波函数有限性要求，幂级数为了满足波函数有限性要求，幂级数 H()H() 必须从某一项截断必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求变成一个多项式。换言之，要求 H()H() 从某一项（比如第从某一项（比如第 n n 项）项）起起 以后各项的系数均为零，即以后各项的系数均为零，即 b bn n 0, b 0, bn+2n+2 =

27、0. = 0.代入递推关系代入递推关系)得得：结论结论基于波函数基于波函数在无穷远处的在无穷远处的有限性条件导致了有限性条件导致了能量必须取能量必须取分立值。分立值。掖频瑰狠椰辕攫号翔舌箭武娜升荤饰弦秆朝扛佰衣蔓宅炉拒舜瞅吗天郴粳第三章一维定态问题第三章一维定态问题（4 4）厄密多项式）厄密多项式附加有限性条件得到了附加有限性条件得到了 H() H()的的一个多项式，该多项式称为厄密一个多项式，该多项式称为厄密多项式，记为多项式，记为 H Hn n()()，于是总波，于是总波函数可表示为：函数可表示为：由上式可以看出，由上式可以看出，Hn() 的最高次幂是的最高次幂是 n 其系数是其系数是 2

28、n。归一化系数归一化系数H Hn n() () 也可写成封闭形式：也可写成封闭形式： = 2n+1 = 2n+1氯撅社架九殊雌涸醚默郡献晾卜霖舵烘婴仟缅忆航排违钳阶畏蜕呻烤帅烽第三章一维定态问题第三章一维定态问题厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：从上式出发，可导出从上式出发，可导出厄密多项式的递推关系：厄密多项式的递推关系：应应用用实实例例例：已知例：已知 H H0 0 = 1, H = 1, H1 1=2=2，则，则根据上述递推关系得出：根据上述递推关系得出：H H2 2 = 2H = 2H1 1-2nH-2nH0 0 = 4 = 42 2-2-2下面给

29、出前几个厄密下面给出前几个厄密多项式具体表达式：多项式具体表达式：H H0 0=1 =1 H H2 2=4=42 2-2-2H H4 4 = 16 = 164 4-48-482 2+12+12H H1 1=2=2H H3 3=8=83 3-12-12H H5 5=32=325 5-160-1603 3+120+120基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数(x)(x)的的递推关系：递推关系：棍僚亩帜标哼蜗饱恰始鹤帧疤离贪标判曹彰怕氟毗爪虱瘟袜栗霓稚郡斜黍第三章一维定态问题第三章一维定态问题（5 5）求归一化系数）求归一化系数 ( 分分 步步 积积

30、 分分 )该式第一项是一个多项式与该式第一项是一个多项式与 exp- exp-2 2 的的乘积，当代入上下限乘积，当代入上下限=后，该项为零。后，该项为零。继续分步积分到底继续分步积分到底因为因为H Hn n的最高次项的最高次项n n的系数是的系数是2 2n n，所以，所以d dn nH Hn n /d /dn n = 2 = 2n n n! n!。于是归一化系数于是归一化系数则谐振子则谐振子波函数为：波函数为：(I)(I)作变量代换，因为作变量代换，因为=x=x，所以所以d= dxd= dx；(II)(II)应用应用H Hn n()()的封闭形式。的封闭形式。臀倒榔吹录尘秉冰匣懊谅拒着搜孜泞

31、秽瓜郧棠剐脯谐三郎褂都僚葱孩特国第三章一维定态问题第三章一维定态问题（6 6）讨论）讨论3. 3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E E0 0=1/2=1/2 0 0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。波是没有意义的，零点能是量子效应。

32、1 1。上式表明，。上式表明，H Hn n()()的最高次项是的最高次项是(2)(2)n n。所以：。所以： 当当 n= n=偶，则厄密多项式只含偶，则厄密多项式只含的偶次项；的偶次项； 当当 n= n=奇，则厄密多项式只含奇，则厄密多项式只含的奇次项。的奇次项。2. 2. n n具有具有n n宇称宇称上式描写的谐振子波函数所包含的上式描写的谐振子波函数所包含的 exp-exp-2 2/2/2是是的偶函数，的偶函数，所以所以n n的宇称由厄密多项式的宇称由厄密多项式 H Hn n() () 决定为决定为 n n 宇称。宇称。通懊陀芭戚爹捣央镶丛孩摇柜厩碘瘦汗夸饭候礼盅断后送梗冕随涪打囤跪第三章

33、一维定态问题第三章一维定态问题n = 0n = 1n = 24. 4. 波函数波函数然而，量子情况与此不同然而，量子情况与此不同对于基态，其几率密度是：对于基态，其几率密度是：0 0() = |() = |0 0()|()|2 2 = = = N= N0 02 2 exp- exp-2 2 分析上式可知：一方面表分析上式可知：一方面表明在明在= 0= 0处找到粒子的处找到粒子的几率最大；几率最大；另一方面，在另一方面，在|1|1处，处，即在阱外找到粒子的几率即在阱外找到粒子的几率不为零，不为零，与经典情况完全不同。与经典情况完全不同。以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在以基态为例，在经典情

34、形下，粒子将被限制在| x| 1| x| VE V0 0 情况情况因为因为 E 0, E V0, 所以所以 k1 0, k2 0. 上面的方程可改写为：上面的方程可改写为：上述三个区域的上述三个区域的 Schrodinger Schrodinger方程可写为：方程可写为：租马鸡榆煌谍逼搀托锣则孤玉膊远歧漠坛讶利杜嵌吹隋稼漠是涩锚运走胎第三章一维定态问题第三章一维定态问题定态波函数定态波函数1 1,2 2,3 3 分别乘以含时因子分别乘以含时因子 exp-iEt/ exp-iEt/ 即可看出：即可看出：式中第一项是沿式中第一项是沿x x正向传播的平面波，第二项是沿正向传播的平面波，第二项是沿x

35、x负向传播的平面波。由于在负向传播的平面波。由于在 x x a a 的的III III 区没有反射波，所以区没有反射波，所以 C=0 C=0，于是解为，于是解为：利用波函数标准条件来定系数。利用波函数标准条件来定系数。首先，首先， 解单值、有限条件满足。解单值、有限条件满足。1. 波函数连续波函数连续综合综合整理整理记之记之2. 波函数导数连续波函数导数连续波函数意义波函数意义阅卖鼠笨囱囊虎灌独揖躺唱呢体涅滞视肩晚采撇悲元淹曳贿衅酵荒鲸房邪第三章一维定态问题第三章一维定态问题3. 3. 求解线性方程组求解线性方程组4. 4. 透射系数和反射系数透射系数和反射系数求解方程组得求解方程组得: :为

36、了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。I I 透射系数：透射系数：透射波几率流密度与入射波透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数几率流密度之比称为透射系数D = JD = JD D/J/JI III II 反射系数：反射系数： 反射波几率流密度与入射波反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数几率流密度之比称为反射系数R = JR = JR R/J/JI I其物理意义是其物理意义是：描述贯穿到：描述贯穿到 x a x a 的的 III III区中的粒子在单位时

37、间内流过垂区中的粒子在单位时间内流过垂直直 x x方向的单位面积的数目与入射粒子（在方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x 0 x a x a 的的IIIIII区，另一部分则被势垒反射回来。区，另一部分则被势垒反射回来。同理得反射系数：同理得反射系数：炒暑餐檀忱塌需乖甭躺型抠两览卡熬甥耘迪蚕吏肖外滁耻晕诬腾笑块才小第三章一维定态问题第三章一维定态问题（2 2）E VE V0 0情况情况故可令：故可令： k k2 2=ik=ik3 3， 其中其中k k3 3=2(V=2(V0 0-E)/ -E)/ 1/21/2。这样把前面公式中的这样把前面公式中的 k k2 2 换成换成 ik ik3 3 并注

38、意到：并注意到： sin ik sin ik3 3a = i sinh ka = i sinh k3 3a a即使即使 E V E V0 0，在一般情况下，透射系数，在一般情况下，透射系数 D D 并不等于零。并不等于零。0 aV(x)xV0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波因因 k k2 2=2(E-V=2(E-V0 0)/ )/ 1/21/2，当，当 E E V 1a 1时时故故4可略可略透射系数透射系数则变为：则变为：粗略估计，认为粗略估计，认为 k k1 1 k k3 3 （相当于（相当于E VE V0 0/2/2）, , 则则 D D0 0 = 4 = 4是一常数。下是一常数。下

39、面通过实例来说明透射系数面通过实例来说明透射系数 的量级大小。的量级大小。于是：于是：消绎任峻积念峻刻京犹晚印做浓哨昨盈无袁忆徽及毗鲤窄恫窿稽豺堰蘸踞第三章一维定态问题第三章一维定态问题例例1: 1: 入射粒子为电子。入射粒子为电子。设设 E=1eV, V0 = 2eV, a = 2 10-8 cm = 2，算得算得 D 0.51。若若a=5 10-8cm = 5 ，则则 D 0.024，可见，可见透射系数迅速减小。透射系数迅速减小。 质子与电子质量比质子与电子质量比 p/e 1840。 对于对于a = 2 则则 D 2 10-38。可见透射系数明显的依赖于可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和

40、势垒的宽度。粒子的质量和势垒的宽度。量子力学提出后，量子力学提出后，Gamow首先用势垒穿透成功的说明首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的了放射性元素的衰变现象。衰变现象。例例2: 2: 入射粒子换成质子。入射粒子换成质子。百沾逛贫汞侗缅漫柒断岭悯译铅徊危奋儿渤却蛆只熏昧鲤垂打捍搐缴迪榨第三章一维定态问题第三章一维定态问题（2 2）任意形状的势垒）任意形状的势垒则则 x x1 1 x x2 2贯穿势垒贯穿势垒V(x)V(x)的的透射系数等于贯穿这些小透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即方势垒透射系数之积，即此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。此式的推导是不太严格的，但

41、该式与严格推导的结果一致。0 a bV(x)E对每一小方势垒透射系数对每一小方势垒透射系数可把任意形状的势垒分割成许可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。似用方势垒处理。dx返回返回慨醉蒲彰铲韵殉茬挤墒逞钥窥校巡畅遵俞帝萧枣凡昼亏仲歹严烛罐泌琐聂第三章一维定态问题第三章一维定态问题（四）应用实例（四）应用实例除了大家熟悉的除了大家熟悉的衰变、隧道二极管衰变、隧道二极管是势垒穿透现象外，下面介绍两个典是势垒穿透现象外，下面介绍两个典型实例。型实例。（1 1）原子钟）原子钟（2 2）场致发射（冷发射）场致发射（冷发射）翌镍寂柔妈爬戒拒酋哺膊瓜

42、眨廖蛋服菇籍顾茸浊俩周乓火膘夜朽洽坠宅偶第三章一维定态问题第三章一维定态问题（1 1）原子钟）原子钟原子钟的频率标准就是利用氨分子原子钟的频率标准就是利用氨分子( ( N HN H3 3 ) ) 基态势垒贯穿的振荡频率。基态势垒贯穿的振荡频率。氨分子氨分子(NH(NH3 3) )是一个棱锥体，是一个棱锥体，N N原子在其顶点上，三个原子在其顶点上，三个 H H 原子原子在基底。如图所示：在基底。如图所示：NNHHHNNE如果如果N N原子初始在原子初始在N N处，则由于隧处，则由于隧道效应，可以穿过势垒而出现在道效应，可以穿过势垒而出现在NN点。当运动能量小于势垒高点。当运动能量小于势垒高度度

43、如图中能级如图中能级 E E 所示，则所示，则N N原子的原子的运动由两种形式组成。运动由两种形式组成。1. R-S1. R-S之间或之间或T-UT-U之间的振荡（谐振子）；之间的振荡（谐振子）；2. 2. 这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于NHNH3 3基态，基态，第二种振荡频率为第二种振荡频率为2.3786 102.3786 1010 10 HzHz。这就是原子钟在规定时间标准。这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。圃搐慷凯晃痕彤沤闽芳蹬迭幂品吕沈赢那畔掸迈哪撞帐冕悉崭侗拉歧十

44、所第三章一维定态问题第三章一维定态问题（2 2）场致发射（冷发射）场致发射（冷发射）图图 （a）图图 （b）欲使金属发射电子，欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所电子提供能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应。熟知的热发射和光电效应。但是，施加一个外电场，金属中但是，施加一个外电场，金属中电子的所感受到的电势如图电子的所感受到的电势如图(b)(b)所示。金所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓场致电子发射。致所谓场致电子发射。返回返回移唾涩牺檄讯诣只态舞咆辙卓啄漳靠怪馁驴新噪弘厉嫁逗痹况抗篓然的鼻第三章一维定态问题第三章一维定态问题