《高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件4 新人教A版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件4 新人教A版选修1-1（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时充要条件的应用【自主自主预习】1.1.充要条件充要条件(1)(1)定定义: :若若p pq q且且q qp p, ,则记作作_,_,此此时p p是是q q的充分的充分必要条件必要条件, ,简称充要条件称充要条件. .(2)(2)条件与条件与结论的等价性的等价性: :如果如果p p是是q q的充要条件的充要条件, ,那么那么q q也是也是p p的的_._.p pq q充要条件充要条件2.2.互互为充要条件充要条件如果如果_,_,那么那么p p与与q q互互为充要条件充要条件. .p pq q【即即时小小测】1.1.若若p p是是q q的必要条件的必要条件,s,s是是q q的充分条件的充分
2、条件, ,那么下列推理一那么下列推理一定正确的是定正确的是( () )A.A. p p s s B.B. s s p p C.C. p p s s D.pD.ps s【解析解析】选选A.A.因为因为p p是是q q的必要条件的必要条件,s,s是是q q的充分条件的充分条件, ,所所以以q qp,sp,sq q, ,所以所以s sp p, ,则根据逆否命题的等价性可知则根据逆否命题的等价性可知: : p p s s. .2.2.“|x|=|y|x|=|y|”是是“x=yx=y”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.
3、D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选B.|xB.|x|=|=|y|y|x x=y=y或或x=-x=-y,xy,x= =y y|x|x|=|y|.|=|y|.3.3.已知已知sinsin0,00”是是“为第三象限角第三象限角”的的( () )A.A.充分但不必要条件充分但不必要条件 B.B.必要但不充分条件必要但不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选C.C.当当sinsin000为第三象限角为第三象限角. .4.4.在在锐角角ABCABC中中, ,“A= A= ”是是“sinAsinA= = ”成立的成立的_条
4、件条件. .【解析解析】因为因为ABCABC是锐角三角形是锐角三角形, ,所以所以A= A= sinAsinA= .= .答案答案: :充要充要5.5.“loglog3 3M logM log3 3N N”是是“M NM N”成立的成立的_条件条件. .【解析解析】由由loglog3 3MlogMlog3 3N,N,又因为对数函数又因为对数函数y=logy=log3 3x x在定在定义域义域(0,+(0,+) )上单调递增上单调递增, ,所以所以MN;MN;当当MN,MN,由于不知道由于不知道M,NM,N是否为正数是否为正数, ,所以所以loglog3 3M,logM,log3 3N N不一定
5、有意义不一定有意义, ,故不能推出故不能推出loglog3 3MlogMlog3 3N,N,所以所以loglog3 3MlogMlog3 3N N是是M NM N成立的充分不必成立的充分不必要条件要条件. .答案答案: :充分不必要充分不必要【知知识探究探究】探究点探究点充要条件充要条件1.1.符号符号“”的含的含义是什么是什么? ?提示提示: :“”表示表示“等价等价”, ,如如“A A与与B B等价等价”指的是指的是“如如果果A,A,那么那么B B”, ,同时有同时有“如果如果B,B,那么那么A A”, ,或者说或者说“从从A A推推出出B B”, ,同时可同时可“从从B B推出推出A A
6、”. .2.p2.p的充要条件是的充要条件是q q与与p p是是q q的充要条件一的充要条件一样吗? ?提示提示: :从充要性来说一样从充要性来说一样, ,但但“p p的充要条件是的充要条件是q q”的充分的充分性是性是q qp p, ,而而“p p是是q q的充要条件的充要条件”的充分性是的充分性是p pq q. .【归纳总结】1.1.命命题按条件和按条件和结论的充分性、必要性可分的充分性、必要性可分为四四类(1)(1)充分必要条件充分必要条件( (充要条件充要条件),),即即p pq q且且q qp p; ;(2)(2)充分不必要条件充分不必要条件, ,即即p pq q且且q p;q p;
7、(3)(3)必要不充分条件必要不充分条件, ,即即p qp q且且q qp p; ;(4)(4)既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件, ,即即p qp q且且q p.q p.2.2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若若A AB,B,则则p p是是q q的充分条件的充分条件, ,若若A B,A B,则则p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件若若B BA,A,则则p p是是q q的必要条件的必要条件, ,若若B A,B A,则则p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件若若A=B,A=B,则则p,qp,q互为充要条件互为充
8、要条件若若A A B B且且B B A,A,则则p p既不是既不是q q的充分条件的充分条件, ,也也不是不是q q的必要条件的必要条件其中其中p:Ap:A=x|p(xx|p(x) )成立成立,q:Bq:B=x|q(xx|q(x) )成立成立.特特别提醒提醒:p:p是是q q的充要条件意味着的充要条件意味着“p p成立成立则q q成立成立;p;p不不成立成立则q q不成立不成立”. .类型一型一充要条件的判断充要条件的判断【典例典例】1.(20151.(2015重重庆高考高考) )“x1x1”是是“ (x+2)(x+2)00x0，yRyR，则“xyxy”是是“x|y|x|y|”的的( )( )
9、A.A.充要条件充要条件B.B.充分而不必要条件充分而不必要条件C.C.必要而不充分条件必要而不充分条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解解题探究探究】1.1.典例典例1 1中如何求中如何求满足足 (x+2)0(x+2)1.x+21.2.2.题题2 2中判断的关键是什么？中判断的关键是什么？提示：提示：分分y0y0和和y0y0去绝对值讨论去绝对值讨论. .【解析解析】1.1.选选B.B. (x+2)0 (x+2)1x+21x-1,x-1,因此若因此若x1,x1,则则x-1x-1成立成立, ,若若x-1,x-1,则则x1x1不一定成立不一定成立, ,所以是充分不必要条件所以是充
10、分不必要条件. .2.2.选选C. C. 当当y0y0时，时，xxy yx x|y|y|；当；当y0y|y|x|y|xyxy但但xy x|y|.xy x|y|.所以所以“xyxy”是是“x|y|x|y|”的必要而不的必要而不充分条件充分条件. .【方法技巧方法技巧】充要条件的常用判断方法充要条件的常用判断方法(1)(1)命命题判断法判断法: :设“若若p,p,则q q”为原命原命题, ,那么那么: :原命原命题为真真, ,逆命逆命题为假假时,p,p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件; ;原命原命题为假假, ,逆命逆命题为真真时,p,p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件; ;原命
11、原命题与逆命与逆命题都都为真真时,p,p是是q q的充要条件的充要条件; ;原命原命题与逆命与逆命题都都为假假时,p,p是是q q的既不充分也不必要的既不充分也不必要条件条件. .(2)(2)等价等价转化法化法: :p p是是q q的什么条件等价于的什么条件等价于 q q是是 p p的什么条件的什么条件. .【变式式训练】1.1.“a-2a-2”是是“函数函数f(xf(x)=ax+3)=ax+3在区在区间-1,2-1,2上存在零点上存在零点”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充
12、分也不必要条件【解析解析】选选A.A.若函数若函数f(xf(x)=ax+3)=ax+3在区间在区间-1,2-1,2上存在零上存在零点点, ,则则f(-1)f(-1)f(2)0,f(2)0,得得a3a3或或a- ,a- ,所以所以“a-2a-2”是是“函数函数f(xf(x)=ax+3)=ax+3在区间在区间-1,2-1,2上存在零点上存在零点”的充分的充分不必要条件不必要条件. .2.2.已知命已知命题p:x1p:x1或或y2,y2,命命题q:x+y3,q:x+y3,则命命题p p是是q q的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件
13、充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选B.B.命题命题p:xp:x1 1或或y y2,2,则则 p:xp:x=1=1且且y=2;y=2;命题命题q:x+yq:x+y3,3,则则 q:x+yq:x+y=3,=3,易知易知 p p q q, ,其等价命题为其等价命题为q qp p, ,故故p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件. .3.(20163.(2016北京高考北京高考) )设设a, ,b是向量，则是向量，则“| |a|=|=|b| |”是是“| |a+ +b|=|=|a- -b| |”的的( )( )A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.
14、B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解题指南解题指南】利用向量加法的平行四边形法则，减法利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则解决的三角形法则解决. .【解析解析】选选D.D.由由| |a+ +b|=|=|a- -b| |可得可得ab. .所以所以“| |a|=|=| |b| |”是是“| |a+ +b|=|=|a- -b| |”的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件. .类型二型二充要条件的充要条件的证明明【典例典例】(2016(2016广安高二广安高二检测) )求求证:0a :0a0-ax+1-
15、a0对一切一切实数数x x都成立的充要条件都成立的充要条件. .【解解题探究探究】典例中不等式成立的条件怎典例中不等式成立的条件怎样求求? ?提示提示: :分分a=0,a0a=0,a0两种情况求两种情况求. .【解析解析】充分性充分性: :当当0a 0a 时时, ,判别式判别式=a=a2 2-4a(1-a)=5a-4a(1-a)=5a2 2-4a=a(5a-4)0,-4a=a(5a-4)0-ax+1-a0对一切实数对一切实数x x都成立都成立. .而当而当a=0a=0时时, ,不等式不等式axax2 2-ax+1-a0-ax+1-a0可变成可变成10.10.显然当显然当a=0a=0时时, ,不
16、等式不等式axax2 2-ax+1-a0-ax+1-a0对一切实数对一切实数x x都成立都成立. .必要性必要性: :因为因为axax2 2-ax+1-a0-ax+1-a0对一切实数对一切实数x x都成立都成立, ,所以所以a=0a=0或或 解得解得0a .0a .故故0a 0a0-ax+1-a0对一切实数对一切实数x x都成立都成立的充要条件的充要条件. .【方法技巧方法技巧】充要条件的充要条件的证明策略明策略(1)(1)要要证明一个条件明一个条件p p是否是是否是q q的充要条件的充要条件, ,需要从充分性需要从充分性和必要性两个方向和必要性两个方向进行行, ,即即证明两个命明两个命题“若
17、若p,p,则q q”为真且真且“若若q,q,则p p”为真真. .(2)(2)在在证明的明的过程中也可以程中也可以转化化为集合的思想来集合的思想来证明明, ,证明明p p与与q q的解集是相同的的解集是相同的, ,证明前必明前必须分清楚充分性和必分清楚充分性和必要性要性, ,即搞清楚由哪些条件推即搞清楚由哪些条件推证到哪些到哪些结论. .【变式式训练】已知已知a,ba,b是是实数数, ,求求证:a:a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=1=1成立的成立的充分条件是充分条件是a a2 2-b-b2 2=1.=1.该条件是否条件是否为必要条件必要条件? ?试证明你明你的的结论. .【解析解析】
18、因为因为a a2 2-b-b2 2=1,=1,所以所以a a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=(a=(a2 2-b-b2 2)(a)(a2 2+b+b2 2)-)-2b2b2 2=(a=(a2 2+b+b2 2)-2b)-2b2 2=a=a2 2-b-b2 2=1.=1.即即a a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=1=1成立的充分条件是成立的充分条件是a a2 2-b-b2 2=1.=1.另一方面另一方面, ,若若a a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=1,=1,即即a a4 4-(b-(b4 4+2b+2b2 2+1)=0,+1)=0,a a4 4-(b-(b2 2+1)+
19、1)2 2=0,(a=0,(a2 2-b-b2 2-1)(a-1)(a2 2+b+b2 2+1)=0.+1)=0.又又a a2 2+b+b2 2+10,+10,所以所以a a2 2-b-b2 2-1=0,-1=0,即即a a2 2-b-b2 2=1.=1.因此因此a a2 2-b-b2 2=1=1是是a a4 4-b-b4 4-2b-2b2 2=1=1成立的必要条件成立的必要条件. .【补偿训练】(2015(2015西安高二西安高二检测) )若若M,A,BM,A,B三点不三点不共共线, ,且存在且存在实数数1 1,2 2, ,使使 , ,求求证: :“C C为ABAB的中点的中点”的充要条件是
20、的充要条件是“1 1=2 2= = ”. .【解题指南解题指南】证明时首先搞清楚条件证明时首先搞清楚条件p p和结论和结论q q分别指分别指什么什么, ,然后证明然后证明p pq q( (充分性充分性) )和和q qp p( (必要性必要性) )成立成立. .【证明证明】充分性充分性: :因为因为1 1=2 2= ,= ,所以所以即即即即 = =0, ,所以所以C C为为ABAB的中点的中点. .必要性必要性: :因为因为C C为为ABAB的中点的中点, ,所以所以所以所以所以所以 . .又因为又因为M,A,BM,A,B三点不共线三点不共线, ,所以所以 是平面向量的一组基底是平面向量的一组基
21、底, ,所以所以1 1=2 2= .= .所以所以“C C为为ABAB的中点的中点”的充要条件是的充要条件是“1 1=2 2= = ”. .类型三型三求充要条件求充要条件【典例典例】1.1.直直线x+y+mx+y+m=0=0与与圆(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=2相切的充相切的充要条件是要条件是_._.2.(20162.(2016运城高二运城高二检测) )求关于求关于x x的一元二次不等式的一元二次不等式axax2 2+1ax+1ax对于一切于一切实数数x x都成立的充要条件都成立的充要条件. .【解解题探究探究】1.1.直直线与与圆相切的充要条件是什么相切的充要
22、条件是什么? ?提示提示: :圆心到直线的距离等于半径圆心到直线的距离等于半径. .2.2.求一个求一个问题的充要条件的关的充要条件的关键是什么是什么? ?提示提示: :关键是把这个问题进行等价转化关键是把这个问题进行等价转化. .【规范解答规范解答】1.1.直线直线x+y+mx+y+m=0=0与圆与圆(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=2=2相切相切圆心圆心(1,1)(1,1)到直线到直线x+y+mx+y+m=0=0的距离等于的距离等于 |m+2|=2|m+2|=2m=-4m=-4或或0.0.答案答案: :m=-4m=-4或或0 02.2.由题可知等价于由题可知等价于
23、0a4.0a4.【延伸探究延伸探究】1.1.典例典例2 2中不等式改中不等式改为axax2 2-1ax,-1ax,求其求其对于一切于一切实数数x x都都成立的充要条件成立的充要条件. .【解析解析】不等式恒成立等价于不等式恒成立等价于解得解得-4a0.-4a0.2.2.典例典例2 2中的不等式改中的不等式改为方程方程, ,求方程有两个正根的充求方程有两个正根的充要条件要条件. .【解析解析】一元二次方程为一元二次方程为axax2 2-ax+1=0,-ax+1=0,设方程的两根为设方程的两根为x x1 1,x,x2 2, ,则方程有两个正根的充要条件是则方程有两个正根的充要条件是解得解得a4.a
24、4.【方法技巧方法技巧】求充要条件的方法求充要条件的方法求一个求一个问题的充要条件的充要条件, ,就是利用等价就是利用等价转化的思想化的思想, ,使得使得转化前后的两个命化前后的两个命题所所对应的解集是两个相同的的解集是两个相同的集合集合. .这就要求我就要求我们转化的化的时候思候思维要要缜密密. .【补偿训练】求一元二次方程求一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有一正根和有一正根和一一负根的充要条件根的充要条件. .【解析解析】方法一方法一: :设方程两根为设方程两根为x x1 1,x,x2 2, ,则方程有一正根则方程有一正根和一负根的充要条件是和一负根的充要条件是x x
25、1 1x x2 2= 0,= 0,即即ac0.ac0.方法二方法二:(1):(1)先求必要条件先求必要条件: :因为方程因为方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有一正根和一负根有一正根和一负根, ,设为设为x x1 1,x,x2 2, ,则则由根与系数的关系得由根与系数的关系得x x1 1x x2 2= 0,= 0,即即ac0;ac0;(2)(2)证明该条件是充分的证明该条件是充分的: :当当ac0ac0.4ac0.所以方程一定有两个不等实根所以方程一定有两个不等实根, ,设为设为x x1 1,x,x2 2, ,则则x x1 1x x2 2= 0,= 0,所以方程的两根异号所以方程的
26、两根异号. .即方程即方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有一正根和一负根有一正根和一负根. .由由(1)(2)(1)(2)可知可知, ,一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有一正根和一有一正根和一负根的充要条件是负根的充要条件是ac0.ac0.自我自我纠错充要条件的判断充要条件的判断【典例典例】若若a,ba,b为实数数, ,则“abab11”是是“0a 0a ”的的( )( )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【失失误案例案例】分析解分析解
27、题过程程, ,找出找出错误之之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. .提示提示: :错误的根本原因是应用不等式的性质由错误的根本原因是应用不等式的性质由abab11推导推导0a 0a 时出现错误时出现错误. .当当a,ba,b一个为正数一个为负数时一个为正数一个为负数时abab11成立成立, ,但但0a 0a 不成立不成立. .正确解答过程如下正确解答过程如下: :【解析解析】选选B.B.若若a,ba,b为实数为实数, ,abab1,1,令令a=-1,b=1,ab=-11,a=-1,b=1,ab=-11,推不出推不出0a ,0a ,若若0a ,0a0,b0,所以所以00abab11ab1,ab1,所以所以“abab11”是是“0a 0a ”的必要不充分条件的必要不充分条件. .
