《数理方程与特殊函数：7非齐次方程求解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理方程与特殊函数：7非齐次方程求解（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1/13数学物理方程第三章55非齐次方程求解方法非齐次方程求解方法 特解齐次化方法特解齐次化方法 固有函数展开方法固有函数展开方法2/13P.51例例6例例1. 求定解问题求定解问题的的形式解形式解.其中其中, A 和和 B 均为常数均为常数.解解:令令u(x, t )=V(x, t )+W(x) utt = Vtt , uxx = Vxx+ W” utt = a2uxx + A Vtt =a2Vxx + W” + A 取取 Vtt =a2Vxx 得常得常微分方程微分方程: a2W”+ A = 03/13求常微分方程问题求常微分方程问题 令令 u=V+W 得得4/13思考题思考题:分析分析:令
2、令u(x, t )=V(x, t )+W(x) utt = Vtt , uxx = Vxx+ W” utt = a2uxx C Vtt =a2Vxx + W” C取取 Vtt =a2Vxx 得常得常微分方程微分方程: a2W” = C5/13例例2令令 u(x，t) = v(x，t) + W(x) utt a2uxx= g vtt a2vxx + W” = g 边界边界: v(0, t)+W(0)=0, v(L, t)+W(L)=0初始初始: v(x，0) +W(x)=0, vt(x，0) = 0取取W(x), , 满足满足 6/13得齐次方程得齐次方程7/13非齐次非齐次方程方程令令 u(x
3、,t)= v + W ,问题分解为问题分解为问题问题I和和问题问题II 问题问题I8/13问题问题II设设问题问题II的解可以按固有函数展开的解可以按固有函数展开其中其中, Xn(x)是满足齐次边界条件的固有函数是满足齐次边界条件的固有函数9/13将将 f(x, t )也展开为固有函数也展开为固有函数Xn(x) 的级数的级数代入代入方程方程: Wtt a2Wxx = f(x,t)10/13由由初始条件初始条件：其中其中齐次齐次常微分方程通解常微分方程通解 非齐非齐次次方程特解方程特解( P.4P.5 )11/13习题习题3.5第第3题题固有值问题固有值问题:12/13固有值固有值固有函数固有函
4、数将右端函数按固有函数展开将右端函数按固有函数展开对比两端固有函数系数对比两端固有函数系数, 得得 fn(t) = 0, n = 2,3,13/13积化和差积化和差14/13思考题思考题1. 非齐次波动方程的特解齐次化方法的求解方法与非齐次波动方程的特解齐次化方法的求解方法与求非齐次线性方程组的解方法有何不同？求非齐次线性方程组的解方法有何不同？2. 特解齐次化方法中微分方程与原问题有何不同？特解齐次化方法中微分方程与原问题有何不同？3. 固有函数展开法所针对的微分方程有何特点固有函数展开法所针对的微分方程有何特点？4. 二阶线性常系数非齐次常微分方法的解是如何求二阶线性常系数非齐次常微分方法的解是如何求出的？出的？习题习题3. 3. 5: 25: 2，3 3
