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1、1.1.利用利用(lyng)(lyng)平方差公式分解因式平方差公式分解因式a a2 2b b2 2= =（a+b)(a-b)a+b)(a-b)2.2.分解因式应注意分解因式应注意(zh y)(zh y)的问题的问题（1 1）左边是多项式的形式，右边应是整式）左边是多项式的形式，右边应是整式(zhn sh)(zhn sh)乘积乘积的形式的形式. .（2 2）因式分解的步骤是首先提取公因式）因式分解的步骤是首先提取公因式, ,然后考虑用公式然后考虑用公式. .（3 3）因式分解应进行到每一个因式不能分解为止）因式分解应进行到每一个因式不能分解为止. .第1页/共23页第一页，共24页。 判断下列
2、各式从左到右的变形，是不是因式分解？如果(rgu)是，运用了哪种方法？(1)(a-3)(a+3)=a2-9;(2)x2+x=x(x+1);(3)4x2-9=(2x+3)(2x-3);(4) x2+4x+4=(x+2)2.不是因式分解(yn sh fn ji)，是整式乘法提取(tq)公因式法运用平方差公式是因式分解，方法？一、复习引入一、复习引入第2页/共23页第二页，共24页。 我们知道，因式分解是整式乘法(chngf)(chngf)的反过程，逆用乘法(chngf)(chngf)公式，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法. .现在，大家自然会想，还有哪些乘法(chngf
3、)(chngf)公式可以用来分解因式呢？完全平方完全平方(pngfng)公式公式第3页/共23页第三页，共24页。二、新课引入二、新课引入试计算试计算(j sun)：9992 + 1998 + 129991= (999+1)2 = 106此处运用此处运用(ynyng)(ynyng)了什么公式了什么公式? ?完全平方完全平方(pngfng)公式公式逆用逆用 就像平方差公式一样，就像平方差公式一样，完全平方公式完全平方公式也可以也可以逆用逆用，从而进行一些简便计算与因，从而进行一些简便计算与因式分解。式分解。即：即：第4页/共23页第四页，共24页。完全平方式的特点：完全平方式的特点： 1. 1.
4、必须是三项式（或可以看成三项的）必须是三项式（或可以看成三项的） 2. 2.有两个有两个(lin )(lin )同号的平方项同号的平方项 3. 3.有一个乘积项（等于平方项底数的有一个乘积项（等于平方项底数的22倍）倍） 简记口诀：简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首平方，尾平方，首尾两倍在中央。三、完全(wnqun)平方式第5页/共23页第五页，共24页。将完全平方公式（abab）2=a22ab+b2 2=a22ab+b2 倒过来(gu(gu li)li)看看. .a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2= =（a+ba+b）2 2 ；a a2 22ab+b2ab+b2 2= =
5、（a ab b）2 2 . . 两个等式的左边都是三项，其中两项符号为两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”“+”，是一个整式，是一个整式的平方，还有一项符号可的平方，还有一项符号可“+”“+”可可“”，它是那两项乘积的两倍，它是那两项乘积的两倍. .凡凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成完全具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成完全平方形式，便实现平方形式，便实现(shxin)(shxin)了因式分解了因式分解. . 两个(lin )(lin )数的平方和加上（或减去）这两个(lin (lin )数的积的2 2倍，等于这两个(lin )(lin
6、)数的和（或差）的平方. .第6页/共23页第六页，共24页。下列各式是不是完全下列各式是不是完全(wnqun)(wnqun)平方式？平方式？（1 1）a2a24a+4; 4a+4; （2 2）x2+4x+4y2;x2+4x+4y2;（3 3）4a2+4ab+b2; 4a2+4ab+b2; （4 4）a2a2ab+b2;ab+b2;（5 5）x2x26x6x9; 9; （6 6）a2+a+0.25.a2+a+0.25.是是（2 2）不是，因为）不是，因为(yn wi)4x(yn wi)4x不是不是x x与与2y2y乘乘积的积的2 2倍倍. .是是（4 4）不是）不是(b shi)(b shi)
7、， ab ab不是不是(b shi)a(b shi)a与与b b乘积的乘积的2 2倍倍. .（5 5）不是，）不是，x x2 2与与9 9的符号不统一的符号不统一. .是是【跟踪训练】第7页/共23页第七页，共24页。【例【例1】 因式分解因式分解(yn sh fn ji)：(1) 16x2+24x+9分析：在分析：在(1)中，中，16x2=(4x)2,9=32,24x=24x3,所以所以16x2+24x+9是一个是一个(y )完全平方式，完全平方式，即即16x2+24x+9= (4x)2+ 24x3 +32a22abb2+解解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32=(4x+
8、3)2.四、新知识或新方法四、新知识或新方法(fngf)运用运用第8页/共23页第八页，共24页。【例1】 因式分解(yn sh fn ji)：(2) x2+4xy4y2.解：解：(2) x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -x2-2x2y+(2y)2 = - (x-2y)2 三、新知识或新方法三、新知识或新方法(fngf)运用运用第9页/共23页第九页，共24页。【例【例2 2】把下列完全】把下列完全(wnqun)(wnqun)平方式分解因式：平方式分解因式：（1 1）x2+14x+49;x2+14x+49;（2 2）(m+n)2(m+n)26 6（m +nm +n）+
9、9.+9.【解解】（1 1）x x2 2+14x+49+14x+49 =x =x2 2+27x+7+27x+72 2 = =（x+7x+7）2 2. . （2 2）(m +n)(m +n)2 26(m +n)+96(m +n)+9 = =（m +nm +n）2 222（m +nm +n）3+33+32 2 = =（m +nm +n）3 32 2 = =（m +nm +n3 3）2 2. .【例题(lt)】第10页/共23页第十页，共24页。【例【例3】因式分解】因式分解(yn sh fn ji): (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2-12(a+b)+36.分析分析(f
10、nx)：在（：在（1）中有公因式）中有公因式3a，应先，应先提出公因式，再进一步分解。提出公因式，再进一步分解。解解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2(a+b)6+62=(a+b-6)2.三、新知识或新方法三、新知识或新方法(fngf)运用运用第11页/共23页第十一页，共24页。【例【例4 4】把下列】把下列(xili)(xili)各式分解因式：各式分解因式：（1 1）3ax2+6axy+3ay2;3ax2+6axy+3ay2;（2 2）x2x24y2+4xy.4y2+4xy.【解解】（
11、1 1）3ax3ax2 2+6axy+3ay+6axy+3ay2 2 =3a =3a（x x2 2+2xy+y+2xy+y2 2） =3a=3a（x+yx+y）2 2. .（2 2）x x2 24y4y2 2+4xy+4xy = =（x x2 24xy+4y4xy+4y2 2） = =x x2 22 2x x2y+2y+（2y2y）2 2 = =（x x2y2y）2 2. .先提公因先提公因式式3a写成两数或式的平方的两项先变成正号第12页/共23页第十二页，共24页。1.1.判断下列各式哪些判断下列各式哪些(nxi)(nxi)是整式乘法是整式乘法? ?哪些哪些(nxi)(nxi)是是因式分解
12、因式分解? ? (1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2)2x(x-3y)=2x2-6xy (2)2x(x-3y)=2x2-6xy (3)(5a-1)2=25a2-10a+1 (3)(5a-1)2=25a2-10a+1 (4)x2+4x+4=(x+2)2 (4)x2+4x+4=(x+2)2 (5)(a-3)(a+3)=a2-9 (5)(a-3)(a+3)=a2-9 (6)m2-4=(m+2)(m-2) (6)m2-4=(m+2)(m-2) (7)2R+ 2r= 2(R+r) (7)2R+ 2r= 2(R+r)因式分解因式分解(yn sh
13、fn ji)整式整式(zhn sh)乘法乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分解【跟踪训练】第13页/共23页第十三页，共24页。【例【例5 5】把下列】把下列(xili)(xili)多项式因式多项式因式分解分解. .（1 1）x2x212xy+36y2.12xy+36y2.（2 2）16a4+24a2b2+9b4.16a4+24a2b2+9b4.【解解】（1 1）x x2 212xy+36y12xy+36y2 2 =x =x2 22 2x x6y+6y+（6y6y）2 2 = =（x x6y6y）2 2. .（2 2）16a16a4 4+24a+2
14、4a2 2b b2 2+9b+9b4 4 = =（4a4a2 2）2 2+2+24a4a2 23b3b2 2+ +（3b3b2 2）2 2 = =（4a4a2 2+3b+3b2 2）2 2. .第14页/共23页第十四页，共24页。（3 3）2xy2xyx x2 2y y2 2. .（4 4）4 41212（x xy y）+9+9（x xy y）2 2. .【解解】（3 3）2xy2xyx x2 2y y2 2 = =（x x2 2+2xy+y+2xy+y2 2） = =（x+yx+y）2 2. .（4 4）4 41212（x xy y）+9+9（x xy y）2 2 =2 =22 22232
15、23（x xy y）+ +3 3（x xy y）2 2 = =2 23 3（x xy y）2 2 = =（2 23x+3y3x+3y）2 2. .第15页/共23页第十五页，共24页。1.1.（眉山（眉山中考）把代数式中考）把代数式 分解因式，下列结果分解因式，下列结果(ji gu)(ji gu)中正确的是（中正确的是（ ）A A B B C C D D【解析【解析(ji x)(ji x)】选】选D. =mD. =m（x2x26x6x9)=m(x9)=m(x3)2.3)2.2.2.（常德(chn d)(chn d)中考）分解因式：【解析解析】原式是一个完全平方式，所以原式是一个完全平方式，所以
16、x x2 2+6x+9=+6x+9= 答案：答案： 第16页/共23页第十六页，共24页。3.3.（杭州（杭州中考中考(zhn ko)(zhn ko)）因式分解：）因式分解：9x29x2y2y24y4y4 4_【解析【解析(ji x)(ji x)】 9x2 9x2y2y24y4y4=9x24=9x2（y2+4y+4y2+4y+4）= =答案答案(d n)：4.4.（黄冈中考）分解因式：2a2a2 24a+2.4a+2.【解解】2a2a2 24a+2=24a+2=2（a a2 22a +12a +1）=2=2（a a1 1）2 2 第17页/共23页第十七页，共24页。5. 5. 计算计算(j
17、sun): 765217(j sun): 7652172352 17.2352 17. 【解】【解】7652177652172352 172352 17 =17(7652 =17(7652 2352)=17(765+235)(765 2352)=17(765+235)(765 235)235) =17 1000 530=9010000. =17 1000 530=9010000.6.2 0132+2 0136.2 0132+2 013能被能被2 0142 014整除整除(zhngch)(zhngch)吗吗? ? 【解】【解】20132+2013=2013(2013+1)=2013 201420
18、132+2013=2013(2013+1)=2013 2014 20132+2013 20132+2013能被能被20142014整除整除(zhngch).(zhngch).第18页/共23页第十八页，共24页。1.1.如何用符号如何用符号(fho)(fho)表示完全平方公式？表示完全平方公式？a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2= (a-b)22.2.完全平方公式的结构特点完全平方公式的结构特点(tdin)(tdin)是什么？是什么？四、小结四、小结(xioji)完全平方式的特点： （1）必须是三项式（或可以看成三项的） （2）有两个同号的平方项 （3）有一个乘积项（等于平方
19、项底数的2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。第19页/共23页第十九页，共24页。第119页习题(xt)14.3第3题第20页/共23页第二十页，共24页。心似平原之马，易放难收。心似平原之马，易放难收。学如逆水行舟学如逆水行舟(n shu xng zhu)(n shu xng zhu)，不进，不进则退。则退。第21页/共23页第二十一页，共24页。xx中学(zhngxu)x年级x班xxx第22页/共23页第二十二页，共24页。谢谢(xi xie)大家观赏！第23页/共23页第二十三页，共24页。内容(nirng)总结1.利用平方差公式(gngsh)分解因式。3.有一个乘积项（等于平方项底数的2倍）。将完全平方公式(gngsh)（ab）2=a22ab+b2 倒过来看看.。（2）不是，因为4x不是x与2y乘积的2倍.。（4）不是， ab不是a与b乘积的2倍.。所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即。【解】（1）3ax2+6axy+3ay2。【解析】原式是一个完全平方式，所以x2+6x+9=。4.（黄冈中考）分解因式：2a24a+2.第二十四页，共24页。
