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1、第六节第六节 空间直线空间直线及其方程及其方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程与参数方程与参数方程两直线的夹角两直线的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角定义定义 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线.空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程L注注(2) 直线直线L的一般方程形式不是唯一的的一般方程形式不是唯一的.方向向量的定义方向向量的定义如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程1.对称式方程对称式方程 一条直线一条直线可以可
2、以有许多有许多方向向量方向向量.一条已知直线一条已知直线, 这个向量称这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量. .方向数方向数. .若方向向量为若方向向量为直线的直线的对称式方程对称式方程令令直线的直线的参数方程参数方程因为因为故故/故故直线的方向向量的方向余弦也称为直线的直线的方向向量的方向余弦也称为直线的方向余弦方向余弦( (点向式、标准式）点向式、标准式）/ 例例解解所求直线方程为所求直线方程为 M1 M2求过两点求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方的直线方程程.向量向量与直线平行与直线平行解解 交点为交点为取取所求直线方程所求直线方程. A. B例例如对称
3、式方程为如对称式方程为1 将直线的对称式方程将直线的对称式方程 化为一般方程化为一般方程 各类直线方程形式的互换各类直线方程形式的互换则则问题：问题：是否唯一？是否唯一？如对称式方程为如对称式方程为可写成一般方程可写成一般方程1 将直线的对称式方程将直线的对称式方程又如又如可写成一般方程可写成一般方程化为一般方程化为一般方程 各类直线方程形式的互换各类直线方程形式的互换对称式方程的分母为对称式方程的分母为0时，其分子也为时，其分子也为0.例例 解解即得即得对称式方程对称式方程.化为对称式方程化为对称式方程.解出共同的变量解出共同的变量 x.2. 直线的一般方程化为对称式方程直线的一般方程化为对
4、称式方程先求直线上一定点先求直线上一定点:于是得直线上的一定点于是得直线上的一定点取取对称式方程对称式方程 将将 化为对称式方程化为对称式方程.因因所求直线与两平面的法向量都垂直所求直线与两平面的法向量都垂直.法二法二1 两个对称式方程两个对称式方程问题问题怎么不一样怎么不一样?2 对称式方程怎样转化为参数方程形式？对称式方程怎样转化为参数方程形式？得得解解再代入再代入代入平面方程代入平面方程,求直线求直线例例与平面与平面的交点的交点.得得解解 先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令. M垂直相交垂直相交
5、的直线方程的直线方程.例例交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为直线方程为直线方程为代入代入得得将将. M定义定义直线直线直线直线两直线的两直线的方向向量的夹角方向向量的夹角称两直线的夹角称两直线的夹角.两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角（锐角）（锐角）两直线的位置关系两直线的位置关系:/直线直线直线直线例例(两直线垂直、平行的条件两直线垂直、平行的条件) 求直线求直线与与 直线的方向向量分别为直线的方向向量分别为(1,-4,1),(2,-2,1).例例的夹角的夹角. 解解 所以所以C 提示提示例例直线和它在平面上的投影直线的直线和它在平面上的投影直
6、线的定义定义四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角夹角夹角 称直线与平面的夹角称直线与平面的夹角.直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的/(直线与平面垂直、平行的充要条件直线与平面垂直、平行的充要条件)位置关系：位置关系：解解为所求夹角为所求夹角.例例求求直线与平面的夹角直线与平面的夹角.解解 直线的方向向量为直线的方向向量为例例求过点求过点(1,-2,4)与平面与平面2x-3y+z=4垂直的直线方程垂直的直线方程.(2,-3,1).所以直线方程为所以直线方程为C/ 提示提示例例平面束的方程平面束的方程设有两块设有两块不平行不平行的平面的平面其中系数不互相其中系数不
7、互相成比例成比例交成一条直线交成一条直线L过直线过直线L平面束方程平面束方程.(3)表示过直线表示过直线L的所有平面的所有平面解解将点将点 代入代入(1)中中,得得将将代入代入(1)中中,得得例例过过已知直线的平面束方程已知直线的平面束方程为为例例上的投影直线方程上的投影直线方程.解解 过过已知直线的平面束方程已知直线的平面束方程为为即即此平面与此平面与x+y+z=0垂直表示两平面法向量垂直，垂直表示两平面法向量垂直，所以所以所以垂直平面的方程为所以垂直平面的方程为 y-z-1=0.所求直线方程为所求直线方程为例例解解 过过已知直线的平面束方程已知直线的平面束方程为为由此得由此得代回平面束方程
8、为代回平面束方程为 与直线与直线及及都平行且过原点的都平行且过原点的平面方程平面方程为为( ).提示提示平面过原点平面过原点由点法式方程即可得由点法式方程即可得.法向量法向量1.练习练习2. 提示提示3. 提示提示解解 设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为取取所求直线的方程所求直线的方程例例的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.空间直线的一般方程空间直线的一般方程两直线的夹角两直线的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角(两直线垂直、平行的充要条件两直线垂直、平行的充要条件)(直线与平面垂直、平行的充要条件直线与平面垂直、平行的充要条件)五、小结五、小结空间直线的参数方程空间直线的参数方程(关键确定直线的方向向量关键确定直线的方向向量)空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程各类直线方程的各类直线方程的作用及它们之间作用及它们之间的互换的互换作业作业练习册练习册 本节全部本节全部课下练习：教材课下练习：教材 全部（含总习题八）全部（含总习题八）下节课进行章节测验（下节课进行章节测验（60分钟的试题）分钟的试题）
