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1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 必修必修4 平面向量平面向量第二章第二章第二章第二章章末归纳总结章末归纳总结知知 识识 梳梳 理理2知知 识识 结结 构构1专专 题题 探探 究究3限限 时时 巩巩 固固4知知 识识 结结 构构知知 识识 梳梳 理理(2)零向量长度为零的向量，叫作零向量，其方向是任意的我们规定：零向量和任意向量平行(3)单位向量模为1个单位的向量(4)相等向量具有方向的线段，叫作有向线段同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab(5)相反向量与向量a方向相反且等长的向
2、量叫作a的相反向量(6)向量共线向量共线也叫向量平行，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以相同2向量的运算(1)向量加法的三角形法则是两向量首尾相接，和向量是以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点向量加法的平行四边形法则，是两向量始点重合，在这一点上与三角形法则是不同，但本质是相同的数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小数乘向量运算满足的运算律 设，为实数，则()aaa；(a)
3、()a；(ab)ab(分配律)向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算(3)共线向量平行向量基本定理如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab3向量的分解与向量的坐标运算(1)平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2a1e1a2e2叫作向量a关于基底e1，e2的分解式专专 题题 研研 究究向量是既有大小又有方向的量，它具有代数和几何的双重身份，其有关概念，
4、如共线向量、相等向量、方向向量、单位向量、投影、夹角等都从不同侧面反映向量的本质属性向量的有关概念是向量基本运算的基础，所以应对这些相关概念及表达形式熟练掌握向量的有关概念下列命题是假命题的是()A两个向量的和仍是一个向量B当向量a与向量b不共线时，ab的方向与a，b的方向都不相同，且|ab|a|b|C当向量a与向量b同向时，ab，a，b都同向，并且|ab|a|b|D如果向量ab，那么a与b有相同的起点和终点答案D解析只要满足大小相等，方向相同，这些向量才是相等向量因为向量可以平移，所以向量的相等与向量的起始点无关，故选D1向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，主要是运
5、用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题2理解向量的有关概念如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面向量基本定理、单位向量等及其相应运算的几何意义；并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，是求解有关向量线性运算的基础向量的线性运算规律总结结合图形，用已知向量表示未知向量，借助于相等向量对应系数相等构造方程组解决问题向量的数量积运算，是向量作为研究问题和解决问题工具的根本体现根据向量数量积的定义及变形形式，可非常简便地求解有关距离、角度问题，可以判断垂直及三角形形状问题，还可以证明某些平面几何问题向量的数量积运算规律总结平面向量的数量积是向量的
6、核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等 例4如右图所示，在AOB中，若A，B两点坐标分别为(2,0)，(3，4)，点C在AB上，且OC平分BOA，求点C的坐标向量的坐标运算已知两个向量a(3,4)，b(2，1)，当axb与ab垂直时，x的值为_向量的综合应用思路分析(1)依条件式代入后判定；(2)代入求得mn可知结论规范解答(1)由于a(cos，sin)，则a21.ff(x)fx2(xa)ax2(xa)a2x2(xa)aaax2(xa)a2(xa)ax.所以ff(
7、x)的结果不会随着的取值范围的变化而变化规律总结对于新情境题，一定要在充分理解题意的基础上将其转化为我们熟知的情境对于本题而言，是将一个向量集合映射为它自身，这与我们熟悉的函数情境是不一致的，但若能将函数的有关知识迁移到本题中来，问题则转化成向量之间的数量积及线性运算限限 时时 巩巩 固固一、选择题1若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且|b|3，则b等于()A(3,6)B(3，6)C(6，3)D(6,3)答案A4(2014全国大纲文，6)已知a、b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b()A1B0C1D2答案B解析考查向量数量积的定义及性质(2ab)b2ab|b|22|a|b|cos60|b|20，正确运用数量积的定义是解决本题的关键二、填空题6已知向量a(2,4)，b(1,1)，若向量b(ab)，则实数的值是_答案3解析ab(2,4)(1,1)(2，4)b(ab)，b(ab)0，即(1,1)(2，4)24620，3.7 已 知 三 点 A(1,0)， B(0,1)， C(2,5)， 求 cosBAC_.8把函数yx24x7的图像按向量a经过一次平移以后得到yx2的图像，则平移向量a等于_(用坐标表示)答案(2，3)解析由y(x2)23，得yx2，所以a(2，3)
