《平面及其方程【专业教学】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面及其方程【专业教学】（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.4 平面及其方程平面及其方程 6.4.1 1 平面方程平面方程6.4.2 两平面间的夹角两平面间的夹角6.4.3 点到平面的距离点到平面的距离1苍柏课资 一个平面的法向量有无穷多一个平面的法向量有无穷多个个, 它们之间都是相互平行的它们之间都是相互平行的6.4.1 平面方程平面方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量该平面的法线向量设平面设平面 的一个法向量的一个法向量且平面过点且平面过点M0(x0, y0, z0).下面建立平面有下面建立平面有 的方程的方程1 平面的点法式方程平面的点法式方程 2苍柏课资平面的点法式方程平面的
2、点法式方程 平面平面 上任一点上任一点M (x, y, z)的坐标都满足上面的的坐标都满足上面的方方程程, 而当点而当点M (x, y, z) 不不在平面在平面 上时上时, 点点M (x, y, z)的的坐标不满足该坐标不满足该方程方程设设M (x, y, z)是平面是平面 上的任一点上的任一点(6.15)3苍柏课资例例1 设一平面过点设一平面过点M0(1, 0, 2)平面的法向量为平面的法向量为求此平面方程求此平面方程.解解 根据平面的点法式方程，得所求平面方程为根据平面的点法式方程，得所求平面方程为即即4苍柏课资2 平面的一般方程平面的一般方程 由平面的点法式方程由平面的点法式方程反之，三
3、元一次方程反之，三元一次方程 表示一平面。表示一平面。这是因为：这是因为：5苍柏课资以上两式相减以上两式相减 , , 得平面的点法式方程得平面的点法式方程为为平面的一般平面的一般方程方程.任取一组满足上述方程的数任取一组满足上述方程的数则则显然方程显然方程与此点法式方程等价与此点法式方程等价, , 的平面的平面, ,此方程称此方程称因此方程因此方程的的图形是图形是法向量为法向量为 6苍柏课资平面方程的几种特殊情况：平面方程的几种特殊情况：(1) D = 0, 平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；(2) A = 0, 平面平行于平面平行于x 轴；轴；(3) A = B = 0, 平面平行于平面平
4、行于xoy 面或垂面或垂直于直于z 轴；轴；(4) A = D = 0, 平面通过平面通过x 轴轴.Ax+By+Cz = 0By+Cz+D = 0Cz +D = 0By+Cz = 07苍柏课资解解所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得例例2 求过三点求过三点的平面方程的平面方程.取取-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=02x+ 3y- 3z- 3=0.8苍柏课资例例3 一平面一平面过两个点过两个点M1(1,-5,1)及及M2(3,2,-2),),且平行于且平行于y 轴轴, ,求其方程求其方程. .解解 由于所求平面由于所求平面与与y 轴平行轴平行, , 故其方程的故其方程的形式形式设
5、为设为Ax+Cz+D=0, , 因为点因为点M1 和和M2 都在都在上上, , 其坐标其坐标应当满足应当满足的方程的方程, ,将这两个点的坐标代入到这个方将这两个点的坐标代入到这个方方程中方程中, ,得到得到, ,A+C+D=0,=0,3A-2C+D=0,=0,解这个方程组解这个方程组, ,得得将这个结果代入到平面方程中将这个结果代入到平面方程中, ,得得3x+2z- - 5 = 0.= 0.9苍柏课资3 平面的截距式方程平面的截距式方程设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得将将代入所设方程得代入所设方程得10苍柏课资（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角
6、两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.6.4.2 两平面间的夹角两平面间的夹角设设11苍柏课资由两向量夹角余弦公式有由两向量夹角余弦公式有特殊的：特殊的：/12苍柏课资例例4 解解 由两平面夹角的余弦公式得由两平面夹角的余弦公式得求两平面求两平面x-4-4y+ +z-2=0-2=0与与2 2x-2-2y- -z-5=0-5=0的夹角的夹角.13苍柏课资6.4.3 点到平面的距离点到平面的距离 设设P0(x0, y0, z0)是平面是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点外一点, 求求P0到平面的距离到平面的距离.在平面上任取在平面上任取P1(x1, y1, z1), 则则 14苍柏课资 于
7、是得到点到平面距离公式于是得到点到平面距离公式由于由于P1(x1, y1, z1)在平面上在平面上, 故故 Ax1+By1+Cz1+D = 0A(x1 x0)+B(y1 y0) +C(z1 z0)= Ax1 + By1 + Cz1 A x0 By0 Cz0= A x0 By0 Cz0 D15苍柏课资例例5 求点求点P0 (- -1,2,3)到平面到平面x+2y- -2z- -6= 0的距离的距离. .解解由点到平面的距离公式得由点到平面的距离公式得= 316苍柏课资练习练习1练习练习2 求通过求通过 x轴和点轴和点的平面方程的平面方程.练习练习3练习练习4练习练习5 求平行于平面求平行于平面0
8、566= =+ + + +zyx而与三个坐而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. .17苍柏课资取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解练习练习118苍柏课资练习练习2 求通过求通过轴和点轴和点的平面方程的平面方程.解解 由于平面通过由于平面通过轴，从而它的法线向量垂直轴，从而它的法线向量垂直于是法线向量在于是法线向量在轴上的投影为零，轴上的投影为零，又由平面通过又由平面通过轴，它必须通过原点，轴，它必须通过原点，因此可设这平面的方程为因此可设这平面的方程为代入所设方程并除以代入所设方程并除以得所求方程为得所求方程为
9、19苍柏课资由平面过点由平面过点(6, 3, 2)知知 练习练习3设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知 D =0所求平面方程为所求平面方程为解解于是于是20苍柏课资练习练习4设平面为设平面为 由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得解解21苍柏课资化简得化简得令令所求平面方程为所求平面方程为代入体积代入体积于是于是22苍柏课资练习练习5 解解设所求平面得一个法线向量为设所求平面得一个法线向量为又因所求的平面垂直于已知平面又因所求的平面垂直于已知平面所以有所以有23苍柏课资由平面的由平面的点法式方程点法式方程 可知，所求平面方程为可知，所求平面方程为得得所以，所求的平面方程为：所以，所求的平面方程为：24苍柏课资
