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1、一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 第三节极限运算法则 第二二章 则则定理定理 2.5 若若(1)(2)若若 B0 , 则有则有(3)一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则证证时时,有有取取则当则当时时,有有当当(1)由由可知可知使得当使得当时时,有有因此因此(2)使得使得 由由 及及 定理定理2.2 知，知， 及及 及及有有 又由又由 知知,使得当使得当取取则则对于上述对于上述 0,有有/ 2C因此因此时时, 有有当当 其中其中(3) 由由 及及 定理定理2.2 知，知， 及及使得当使得当时时, 有有由于由于 及及所
2、以所以由由(2), 需证当需证当B0时时因此因此从而从而(3)式成立式成立.若若则有则有注注运算法则运算法则 , 有相应的结论有相应的结论 .及及 x时函数极限的四则时函数极限的四则例如例如, 对于数列极限对于数列极限,对于数列极限对于数列极限有以下结论有以下结论: 数列是一种数列是一种 特殊的函数特殊的函数, 故此结论可故此结论可 由由定理定理2.5直直 接得出接得出 .(极限运算的线性性质极限运算的线性性质) 若若 以上运算法则对以上运算法则对有限个有限个函数成立函数成立.推论推论 和和是常数，是常数， 则则 于是有于是有 幂幂的的极限等于极限的幂极限等于极限的幂求求 解解例例1极限运算的
3、极限运算的线性性质线性性质 结论：结论： 幂的极限幂的极限等于极限等于极限的幂的幂解解例例2商的极限等商的极限等于极限的商于极限的商一般地，一般地， 设有分式函数设有分式函数其中其中都是多项式都是多项式 ,注注 若若不能直接用商的运算法则不能直接用商的运算法则 .请看下例请看下例: 结论：结论： 解解商的极限法则不能直接用商的极限法则不能直接用例例3由由极限定义极限定义x1，x1, 约去无穷小因子法约去无穷小因子法“ 抓大头抓大头”分析分析可以先用可以先用 x3 同时去除分子和分母同时去除分子和分母, 然后再取极然后再取极限限.例例4解解结论：结论：为非负常数为非负常数 )消去无穷大因子法消去
4、无穷大因子法: : 以分母中自变量的最高次幂以分母中自变量的最高次幂 除分子除分子, 分母分母, 以消去无穷大以消去无穷大 因子因子, 然后再求极限然后再求极限.例例5解解分析分析型，先通分，再用极限法则型，先通分，再用极限法则.例例6解解无穷多无穷多项和的项和的极限极限公式求和变公式求和变为有限项为有限项定理定理证证(有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小)则则例如，例如，= 0二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理2.6 设设 当当时时,又又则有则有注注1 定理定理2.6中的条件：中的条件：不可少不可少. 否则，否则，定理定理2.6 的结论的结
5、论不一定不一定成立成立.原因：原因：反例反例虽然虽然所以所以则则2 定理定理2.6的其他形式的其他形式(1)(2)则有则有由定理由定理2.6，知，知 在求复合函数极限时在求复合函数极限时,可以作变量代换，得到可以作变量代换，得到且且代换是双向的，即代换是双向的，即例例7 求求解解 令令于是于是从而从而 原式原式 =从左向右从左向右用用式式内容小结内容小结1. 极限运算法则极限运算法则(1) 极限四则运算法则极限四则运算法则(2) 复合函数极限运算法复合函数极限运算法则则注意使用条件注意使用条件2. 求函数极限的方法求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法分式函数极限求法时时, 用代入法用代入法
6、( 分母不为分母不为 0 )时时, 对对型型 , 约去零因子约去零因子时时 , 分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“ 抓大头抓大头”(2) 复合函数极限求法：复合函数极限求法：设设中间变量，变量代换中间变量，变量代换.或先有理化后约分或先有理化后约分 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 (1)是否一定不存在？为什么是否一定不存在？为什么?(2)是否一定不存在？是否一定不存在？(3) 又加条件：又加条件：是否一定不存在？是否一定不存在？思考题思考题2.答：答： 一定不存在一定不存在由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必
7、必存在存在，这与已知矛盾，这与已知矛盾，故假设错误故假设错误思考题解答思考题解答(1)是否一定不存在？为什么是否一定不存在？为什么? 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 答：答： 不一定不一定.反例：反例：(2)是否一定不存在？是否一定不存在？ 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 答：答： 一定不存在一定不存在.（可用反证法证明）（可用反证法证明）(3) 又加条件：又加条件：是否一定不存在？是否一定不存在？ 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限
8、过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 2.解解 原式原式备用题备用题例例3-1解解先有理化先有理化 再约去再约去无穷小无穷小 例例3-2解解因为上式极因为上式极限存在限存在解解可以先用可以先用同时去除分子和分母同时去除分子和分母,然后再取极限然后再取极限.例例4-1例例4-2解解根据前一极限式可令根据前一极限式可令再利用后一极限式再利用后一极限式 , 得得可见可见是多项式是多项式 , 且且求求故故例例5-1已知已知试确定常数试确定常数解解 分子的次数必比分母的次数低分子的次数必比分母的次数低故故即即例例6-1解解无穷多无穷多个因子个因子的积的的积的极限极限变为有限项变为有限项再求极限再求极限例例7-1解解先有理化先有理化 再约去再约去无穷小无穷小 令令1+ x =u 例例7-2解解分子分母同乘分子分母同乘以各自的有理以各自的有理化因式化因式约去无穷小约去无穷小
