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1、第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三三章 一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1. 设函数则 在 I 内单调递增(递减) .证证: 无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,证毕例例1. 确定函数的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为说明说明: 1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,例例2. 证明时, 成立不等式证证: 令从而因此
2、且证证定义定义 . 设函数在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有则称图形是凹凹的;(2) 若恒有则称连续曲线上凹凸的分界点称为拐点拐点 .图形是凸凸的 .二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点定理定理2.(凹凸判定法)(1) 在 I 内则 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内则 在 I 内图形是凸的 .证证:利用一阶泰勒公式可得两式相加两式相加说明 (1) 成立;(2)设函数在区间I 上有二阶导数证毕例例3. 判断曲线的凹凸性.解解:故曲线在上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在 两侧异号异号,
3、 则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,例例4. 求曲线的拐点. 解解:不存在因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线的拐点 .凹凸例例5. 求曲线的凹凸区间及拐点.解解:1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得对应3) 列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点.凹凹凸内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上凹凸的分界点作业作业 P151 3 (1)(7) ; 4 (2) (4) ; 8 (3) (6) ;课堂练习课堂练习思考与练习思考与练习上则或的大小顺序是 ( )提示提示: 利用单调增加 , 及B1. 设在 .2. 曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:及及 ; ;有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线 证明：证明：备用题备用题令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.证明: 当时， 有证明证明: 令, 则是凸凸函数即 2 .(自证)
