《高中数学 探究导学课型 第二章 基本初等函数（I）2.1.2 指数函数及其性质 第2课时 习题课——指数函数及其性质课件 新人教版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 探究导学课型 第二章 基本初等函数（I）2.1.2 指数函数及其性质 第2课时 习题课——指数函数及其性质课件 新人教版必修1（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时习题课指数函数及其性质类型一类型一: :比较指数式的大小比较指数式的大小【典例【典例1 1】(1)(2016(1)(2016潍坊高一检测潍坊高一检测) )已知已知 函函数数f(xf(x)=a)=ax x, ,若实数若实数m,nm,n满足满足f(mf(m) )f(nf(n),),则则m,nm,n的大小关的大小关系是系是_._.(2)(2)比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：【解题指南【解题指南】(1)(1)利用指数函数利用指数函数f(xf(x)=a)=ax x的单调性及已的单调性及已知条件知条件f(mf(m) )f(nf(n) )即可比较即可比较m m与与n n的大小的大小. .
2、(2)(2)直接利用指数函数直接利用指数函数 的单调性即可比较的单调性即可比较与与 的大小的大小; ;先将先将 化为化为0.80.80.40.4, ,然后借助函数然后借助函数y=0.8y=0.8x x的单调性的单调性比较大小；比较大小；分别与分别与1 1比较大小比较大小. .【解析【解析】(1)(1)因为因为 所以所以f(xf(x)=a)=ax x在在R R上是增函上是增函数，又因为数，又因为f(mf(m) )f(nf(n),),所以所以m mn.n.答案：答案：m mn n(2)(2)因为因为 是减函数且是减函数且-1.8-1.8-2.5,-2.5,所以所以因为因为 =0.8=0.80.40
3、.4, ,又因为又因为y=0.8y=0.8x x是减函数且是减函数且0.50.50.4,0.4,所以所以0.80.80.50.50.80.80.40.4, ,即即因为因为0.60.6-2-20.60.60 0=1,=1,所以所以0.60.6-2-2【规律总结【规律总结】比较指数式大小的三种类型及处理方法比较指数式大小的三种类型及处理方法【巩固训练【巩固训练】已知已知a=a=-0.3-0.3，b=b=-0.1-0.1且且f(x)=f(x)=x x，试比，试比较较f(af(a) )与与f(bf(b) )的大小的大小. .【解析【解析】因为因为f(xf(x)=)=x x是增函数，所以是增函数，所以-
4、0.3-0.3 -0.1-0.1，即即abab，所以所以f(a)f(bf(a)aax+4x+4(a1)(a1)，求，求x x的取值范围的取值范围. .【解题指南【解题指南】(1)(1)将不等式左端利用分数指数幂的运算将不等式左端利用分数指数幂的运算性质化为以性质化为以2 2为底的指数式，然后利用指数函数为底的指数式，然后利用指数函数y=2y=2x x的的单调性即可求解单调性即可求解. .(2)(2)利用指数函数利用指数函数y=ay=ax x(a(a1)1)在在R R上是增函数，将原不等上是增函数，将原不等式化为一元一次不等式来求解式化为一元一次不等式来求解. .【解析【解析】(1)(1)原不等
5、式原不等式2 2-2x+1-2x+12 2-2x+1-2x+11 1x x0 0，故原不等式的解集为故原不等式的解集为00，+).+).(2)(2)因为因为f(x)=af(x)=ax x(a(a1)1)是是R R上的增函数，且上的增函数，且a a-3x-3xaax+4x+4，所以所以-3xx+4-3xx+4，即，即x-1x-1，故故x x的取值范围是的取值范围是x-1.x1a1”换为换为“0a10a1”，其他条件不变，则结果又是什么呢？，其他条件不变，则结果又是什么呢？【解析【解析】因为因为0a10aaax+4x+4-3xx+4-3x-1x-1，故故x x的取值范围是的取值范围是x-1.x-1
6、.2.(2.(变换条件变换条件) )若把本例若把本例(2)(2)中的中的“a1a1”换为换为“a0a0且且a1a1”，其他条件不变，则结果又是什么呢？，其他条件不变，则结果又是什么呢？【解析【解析】当当a1a1时，原不等式时，原不等式-3xx+4-3xx+4x-1x-1，当当0a10a1时，原不等式时，原不等式-3xx+4-3x-1x-1，故当故当a1a1时，时，x x的取值范围是的取值范围是x-1x-1，当当0a10a-1.x-1.【规律总结【规律总结】a af(xf(x) )aag(x)g(x)(a(a00且且a1)a1)型的指数不等式的型的指数不等式的解法解法(1)a1(1)a1时，时，
7、a af(xf(x) )aag(x)g(x)f(x)g(xf(x)g(x).).(2)0a1(2)0aaag(x)g(x)f(x)g(xf(x)bb的不等式，注意将的不等式，注意将b b化为以化为以a a为底的指数幂为底的指数幂的形式，再借助的形式，再借助y=ay=ax x的单调性求解的单调性求解. .(2)(2)形如形如a ax xbbx x的不等式，可借助图象求解，也可转化的不等式，可借助图象求解，也可转化为为 来解来解. . 【巩固训练【巩固训练】函数函数y= y= 的定义域是的定义域是. .【解析【解析】由由3 32x-12x-1-3-3x x0 0得得3 32x-12x-13 3x
8、x，所以所以2x-1x2x-1x，即，即x1.x1.答案：答案：11，+ +) )类型三：指数函数性质的综合应用类型三：指数函数性质的综合应用【典例【典例3 3】(2016(2016杭州高一检测杭州高一检测) )函数函数f(x)=kf(x)=ka a-x-x(k(k，a a为常数，为常数，a0a0且且a1)a1)的图象过点的图象过点A(0A(0，1)1)，B(3B(3，8).8).(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的解析式的解析式. .(2)(2)若函数若函数g(xg(x)= )= 试判断函数试判断函数g(xg(x) )的奇偶性，并的奇偶性，并给出证明给出证明. .【解题指南【解题指南
9、】(1)(1)要求要求f(xf(x) )的解析式，只需将的解析式，只需将A(0A(0，1)1)，B(3B(3，8)8)的坐标代入的坐标代入f(x)=kf(x)=ka a-x-x，列出，列出k k与与a a的方程组，的方程组，解方程组即可解方程组即可. .(2)(2)要判断要判断g(xg(x) )的奇偶性，只需判断的奇偶性，只需判断g(-xg(-x) )与与g(xg(x) )的的关系关系. .【解析【解析】(1)(1)由已知得由已知得所以所以k=1, k=1, 所以所以f(xf(x)=2)=2x x. .(2)(2)函数函数g(xg(x) )为奇函数为奇函数. .证明：证明：g(xg(x)= )
10、= 其定义域为其定义域为R,R,又又g(-xg(-x)=)=所以函数所以函数g(xg(x) )为奇函数为奇函数. .【规律总结【规律总结】1.1.形如形如y=f(ay=f(ax x)(a)(a00，且，且a1)a1)的函数的单调性的求法的函数的单调性的求法(1)(1)定义法，即定义法，即“取值取值作差作差变形变形定号定号”. .其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性. .(2)(2)利用复合函数的单调性利用复合函数的单调性“同增异减同增异减”的规律的规律. .2.2.由指数函数构成的复合函数的值域求法由指数函数构成的复合函数的值域求法一般用换元法即
11、可，但应注意在变量的值域和指数函一般用换元法即可，但应注意在变量的值域和指数函数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况. .3.3.判定函数奇偶性要注意的问题判定函数奇偶性要注意的问题(1)(1)坚持坚持“定义域优先定义域优先”的原则：如果定义域不关于原的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数数. .(2)(2)正确利用变形技巧：耐心分析正确利用变形技巧：耐心分析f(xf(x) )和和f(-xf(-x) )的关系，的关系，必要时可利用必要时可利用f(x)f(x)f(-xf
12、(-x)=0)=0判定判定. .(3)(3)巧用图象的特征：在解答有图象信息的选择、填空巧用图象的特征：在解答有图象信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于图象关于y y轴对称，进行快速判定轴对称，进行快速判定. .【巩固训练【巩固训练】已知函数已知函数f(xf(x)= (a1)= (a1)，(1)(1)判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性. .(2)(2)求该函数的值域求该函数的值域. .(3)(3)利用定义法证明利用定义法证明f(xf(x) )是是R R上的增函数上的增函数. . 【解题指南【解题指南】(1)(1)先求
13、定义域，再判断先求定义域，再判断f(-xf(-x) )与与f(xf(x) )相相等或互为相反数等或互为相反数. .(2)(2)采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子( (或或分母分母) )含有未知数的形式更容易求值域含有未知数的形式更容易求值域. .(3)(3)定义法证明函数单调性的基本步骤：设元、作差、定义法证明函数单调性的基本步骤：设元、作差、变形、判号、下结论，可用其证明变形、判号、下结论，可用其证明f(xf(x) )在在R R上是增函数上是增函数. .【解析【解析】(1)(1)因为定义域为因为定义域为x|xRx|xR,且且f(-x)= =-f(
14、xf(-x)= =-f(x),),所以所以f(xf(x) )是奇函数是奇函数. .(2)f(x)= (2)f(x)= 因为因为a ax x+11,+11,所以所以所以所以 即即f(xf(x) )的值域为的值域为(-1,1).(-1,1).(3)(3)任取任取x x1 1,x,x2 2RR，且，且x x1 1x1a1时，时，y=ay=ax x为为R R上的增函数，由上的增函数，由x x1 1xx2 2得得 ) )，所以，所以f(xf(x) )是是R R上的增函数上的增函数. .拓展类型拓展类型: :指数型复合函数的单调性指数型复合函数的单调性【典例【典例】(1)(1)函数函数 的单调递增区间的单
15、调递增区间是是( )( )A.(1A.(1，+) B.(+) B.(，1)1)C.(1C.(1，3) D.(3) D.(1 1，1)1)(2)(2)求函数求函数 的单调区间，并证明的单调区间，并证明. .【解题指南【解题指南】(1)(1)根据复合函数的单调性只需求根据复合函数的单调性只需求t=(x+1)(3-x)t=(x+1)(3-x)的单调递减区间的单调递减区间. .(2)(2)要求函数要求函数 的增区间，只需求的增区间，只需求u=xu=x2 2-2x-2x的减的减区间区间. .同理，要求同理，要求 的减区间，只需求的减区间，只需求u=xu=x2 2-2x-2x的增区间的增区间. .【解析【
16、解析】(1)(1)选选A.A.由定义域为由定义域为R R，令，令t=(x+1)(3-x)=t=(x+1)(3-x)=-x-x2 2+2x+3=-(x-1)+2x+3=-(x-1)2 2+4,+4,此函数在此函数在(-(-，1)1)上为增函数，上为增函数，在在(1,+)(1,+)上为减函数，又上为减函数，又 在在R R上为减函数，故函数上为减函数，故函数 在在(1,+)(1,+)上为上为增函数增函数. .(2)(2)函数函数 的单调递减区间为的单调递减区间为1,+)1,+)，单调递增区间为单调递增区间为(-,1).(-,1).证明如下：证明如下：设设u=xu=x2 2-2x-2x，则，则对任意的对任意的1x1x1 1xx2 2，有，有u u1 1uyy2 2，所以所以 在在1,+)1,+)上是减函数上是减函数. .对任意的对任意的x x1 1xx2 21uu2 2，又因为又因为 在在R R上是减函数，上是减函数，所以所以y y1 1y1a1时，函数时，函数y=ay=af(xf(x) )的单调性与的单调性与f(xf(x) )的单调性相的单调性相同同. .(2)(2)当当0a10a1时，函数时，函数y=ay=af(xf(x) )的单调性与的单调性与f(xf(x) )的单调性的单调性相反相反. .
