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1、 第四讲第四讲利用全等三角形利用全等三角形 的证明技巧的证明技巧1三角形全等的基本思路：三角形全等的基本思路：2(1) (1) （2 2）（1 1）如图（）如图（1 1），已知），已知AC= =AD，请你添加一个条件，请你添加一个条件 ，使得使得ABCABD. .（2 2）如图（）如图（1 1），已知），已知C=D，请你添加一个条件，请你添加一个条件 ，使得使得ABCABD. .（3 3）如图（）如图（1 1），已知），已知CAB=DAB，请你添加一个条件，请你添加一个条件 ，使得，使得ABCABD. .（4 4）如图（）如图（2 2），已知），已知B=C，请你添加一个条件，请你添加一个条件
2、，使，使得得ABEACD. .例例1 1 BC=BD（BAC=BAD）ABC=ABD（BAC=BAD）AC=AD（ABC=ABD或或C=D ）AB=AC（AD=AE或或BE=DC ）3探究类型二探究类型二 运用全等三角形证明线段相等或直线垂直、平行运用全等三角形证明线段相等或直线垂直、平行例例2 2 如如图，已知，已知RttABCRttADE, ,ABC=ADE=90=90, ,BC与与DE相交于点相交于点F，连接接CD, ,EB. . （1 1）图中中还有几有几对全等三角形？全等三角形？请你一一列你一一列举；（2 2）求）求证：CF= =EF. .答案：解：答案：解：（1）ADCABE,CD
3、FEBF. .（2 2）证明：）证明：RttABCRttADE, ,AC= =AE, ,AB= =AD,CAB=EAD, ,CAB-DAB=EAD-DAB, ,即即CAD=EAB,ACDAEB(S(SAS),S),CD= =EB,ADC=ABE. .又又ADE=ABC,CDF=EBF. .又又DFC=BFE,CDFEBF( (AAS),S),CF= =EF. .4探究类型之三探究类型之三 加倍折半法证明倍分关系加倍折半法证明倍分关系例例3 3 课外兴趣小组活动时，老师提出了课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，如下问题：如图，ABC中，若中，若AB=8=8，AC=6=6，求求BC边上的
4、中线边上的中线AD的取值范围的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长解决方法：延长AD到点到点E，使，使DE= =AD，连接，连接BE，请根据小明的方法思考：，请根据小明的方法思考：（1 1）由已知和作图能得到）由已知和作图能得到ADCEDB的理由是（的理由是（ ）A.SSS B.SAS C.AAS D.HL（2 2）求得）求得AD的取值范围是（的取值范围是（ ）A.6.6AD8 8 B.6.6AD88C.1.1AD7 7 D.1.1AD77B D5拓展延伸：拓展延伸： 如图，已知如图，已知D为为ABC边边BC的中点，的中点，DE DF，
5、则，则 BE+CF与与EF有何大小关系？有何大小关系？答案：解：答案：解：如图，延长如图，延长ED到到G使使DG=ED，连接，连接CG，FG. . 在在BED和和CGD中，中， BD=CD，BDE= CDG，DG=ED， BEDCGD， CG=BE. . DE DF，EDF= GDF. 在在EFD和和GFD中，中， FD=FD，EDF= GDF，ED = DG， EFDGFD， EF=FG， 在在FCG中，中，FC+CGFG， BE+CFEF6探究类型四探究类型四 利用截长补短法解决有关两条线段的和或差的问题利用截长补短法解决有关两条线段的和或差的问题例例4 4 如图，在如图，在ABC中，中，
6、ABC=60=60, ,AD，CE分别分别平分平分BAC，ACB，且相交于点，且相交于点O. . 求证：求证：AC= =AE+ +CD. .7拓展延伸：拓展延伸： 如图，在如图，在ABC中，中，B=2=2C,BAC的平分线的平分线AD 交交BC于于D. .求证：求证：AB+ +BD= =AC. .8证明：证明：在在AC上截取上截取AE= =AB, ,连接接DE, ,如如图. .AD是是BAC的平分的平分线，1=2.1=2.在在ABD和和AED中中, ,AB= =AE,1=2,1=2,AD= =AD, , ABD AED. . B= 3,BD=DE, 又又B=2=2C,3=4+,3=4+C, ,
7、 C=4.=4. DE= =CE. . AC= AE+EC= AB+BD. .方法方法2 2：9方法方法3 3：证明：证明：延延长AB至至E, ,使使BE= =BD，如，如图. AE = = AC, ,即即AE=AB+BE=AB+BD. AD是是BAC的平分线，的平分线， 1=21=2 又又ABD=2C,ABD =3+ =3+E, , C= E. BE=BD. 在在AED和和ACD中中, , E = C,1=2,1=2,AD= =AD, , AED ACD. .10探究类型之五探究类型之五 与三角形全等有关的探究型问题与三角形全等有关的探究型问题例例5 5 如图所示，在如图所示，在RttABC
8、中，中，BAC=90=90，AC=2=2AB，点，点D是是AC的中点，将一块锐角为的中点，将一块锐角为4545的直角三角板如图放置，使三角的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接重合，连接BE，EC. .试猜想线段试猜想线段BE和和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想的数量及位置关系，并证明你的猜想. .答案答案: :解：解：BE= =EC，BEEC . .理由：理由：AC=2=2AB，点，点D是是AC的中点的中点, ,AB= =AD= =CD. .EAD=EDA=45=45, ,EAB=EDC=135=135. .又又EA= =ED, ,EAB
9、EDC, ,AEB=DEC，EB= =EC. .DEC+BED=AEB+BED, ,BEC=AED=90=90, ,BE= =EC，BEEC. .11 课堂总结课堂总结 添加辅助线构造全等的方法：添加辅助线构造全等的方法：1.1.在求线段的和差关系时，会采用在求线段的和差关系时，会采用“截长补短法截长补短法” ；2.2.倍长中线：倍长中线：（1 1）已知三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形；）已知三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形；（2 2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造 全等三角形全等三角形. .倍长中
10、线造倍长中线造“8 8”字形，出全等有平行字形，出全等有平行3.3.遇见角平分线经常做辅助线的方法：遇见角平分线经常做辅助线的方法：12CD13AC=DC71415161721.如图，已知在ABC中，ACB=90，AC=BC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.18221923、如图如图1：在四边形：在四边形ABCD中，中，AB=AD， BAD=120， B= ADC=90E，F分别是分别是BC，CD上的点且上的点且 EAF=60探究图中线段探究图中线段BE，EF，FD之之间的数量关系间的数量关系20(2)如图如图2，若在四边形，若在四边形ABCD中，
11、中，AB=AD， B+ D=180E，F分别是分别是BC，CD上的点，且上的点，且 EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；，上述结论是否仍然成立，并说明理由；2124、如图，过正方形如图，过正方形ABCD的顶点的顶点B作直线作直线L，过，过A，C，D作作L的垂线垂足分别为点的垂线垂足分别为点E，F，G若若AE=2，CF=6，则，则CF+AE+DG的值为的值为2225、如图，如图，在在 ABC中，中， C=90，P、E分别是边分别是边AB、BC上的点，上的点，D为为 ABC外一点外一点，DE BC，DE=EC，BE=2EC， BDE= PEC，AD PE，AC=4，则线段，则线段B
12、C的长为的长为。2326、如图，、如图，AE AB且且AE=AB，BC CD且且BC=CD，那么，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为_242727、如图、如图. . ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，BECEBECE，ADCEADCE，垂垂足分别为足分别为E E，D D，图中有哪条线段与图中有哪条线段与ADAD相等，并说明理由。相等，并说明理由。BEACD2528、如图，在等腰如图，在等腰Rt ABC中，中， ACB=90，AC=BC，D为为BC的中点，过点的中点，过点B作作BF BC，并使，并使BF=BD，连接，连接CF交交AB于于E(1) BDE= ADC；(2)连接连接AF，试判断，试判断AF与与CF的大小关系，并说明理由的大小关系，并说明理由2629、如图，、如图，ABC=90，AB=AC，D是是AC上一点，分上一点，分别过别过A、C作作BD的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为E、F，求证：，求证：EF=CFAE2730、已知、已知ABC为正三角形，点为正三角形，点M是射线是射线BC上上任意一点，点任意一点，点N是射线是射线CA上任意一点，且上任意一点，且BM=CN，直线，直线BN与与AM相交于点相交于点Q求求 BQM等于多少度等于多少度ABQCMNMABQCNABCMNQ2829
