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1、第第6 6节正弦定理和余弦定理及其应用节正弦定理和余弦定理及其应用1.1.掌握正弦定理、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理, ,并能解并能解决一些决一些简单的三角形度量的三角形度量问题. .2.2.能能够运用正弦定理、余弦定理等运用正弦定理、余弦定理等知知识和方法解决一些与和方法解决一些与测量和几何量和几何计算有关的算有关的实际问题. .考纲展示考纲展示知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破解题规范夯实解题规范夯实 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】1.1.已知已知ABCABC中的三边中的三边, ,如何判断三角形是锐角、钝角、直角三角形如何
2、判断三角形是锐角、钝角、直角三角形? ?提示提示: :利用余弦定理可判断出最大边所对的角的余弦值的正负利用余弦定理可判断出最大边所对的角的余弦值的正负, ,从而判断出三角形是锐从而判断出三角形是锐角、钝角、直角三角形角、钝角、直角三角形. .2.2.在三角形在三角形ABCABC中中, ,“ABAB”是是“sin Asin Bsin Asin B”的什么条件的什么条件? ?“ABAB”是是“cos Acos Bcos ABAB”是是“sin Asin Bsin Asin B”的充要条件的充要条件, ,“ABAB”是是“cos Acos cos Acos B B”的充要条件的充要条件. .3.3.
3、在三角形在三角形ABCABC中中, ,“a a2 2+b+b2 2ccc2 2”是是“ABCABC为锐角三角形为锐角三角形”的什么条件的什么条件? ?提示提示: :“a a2 2+b+b2 2ccc2 2”是是“ABCABC为锐角三角形为锐角三角形”的必要不充分条件的必要不充分条件. .知识梳理知识梳理 1.1.正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理2Rsin B 2Rsin B 2Rsin C2Rsin Csin Bsin B2.2.三角形常用面积公式三角形常用面积公式3.3.解三角形在测量中的常见题型解三角形在测量中的常见题型(1)(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有测量距离问题
4、、测量高度利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. .(2)(2)有关测量中的几个术语有关测量中的几个术语仰角和俯角仰角和俯角: :与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, ,目标视线在水平视线上方时叫目标视线在水平视线上方时叫 , ,目标视线在水平视线下方时叫目标视线在水平视线下方时叫 . .( (如图如图(1)(1)所示所示) )方位角方位角: :一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角一般
5、指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角, ,如方位角如方位角45,45,是是指北偏东指北偏东45,45,即东北方向即东北方向. .坡角坡角: :坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角. .仰角仰角俯角俯角坡比坡比: :坡面的铅直高度与水平宽度之比坡面的铅直高度与水平宽度之比, ,即即i= =tan (ii= =tan (i为坡比为坡比,为坡角为坡角).().(如图如图(2)(2)所示所示) )【重要结论重要结论】在在ABCABC中中, ,常有以下结论常有以下结论: :(1)A+B+C=.(1)A+B+C=.(2)(2)任意两边之和大于第三边任意两边之和大于第三边, ,任意两边之差小于第三边任意两
6、边之差小于第三边. .(4)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.(4)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.(5)AB(5)ABababsin Asin Bsin Asin Bcos Acos B.cos Asin B,sin Asin B,则则AB;AB;在在ABCABC的六个元素中的六个元素中, ,已知任意三个元素可求其他元素已知任意三个元素可求其他元素; ;在在ABCABC中中, ,若若b b2 2+c+c2 2aa2 2, ,则此三角形是此三角形是锐角三角形角三角形. .错误错误. .当已知三个角时不能求三边当已知三个角时不
7、能求三边. .错误错误. .满足满足b b2 2+c+c2 2aa2 2, ,还可能满足还可能满足b b2 2aa2 2+c+c2 2或或c c2 2aa2 2+b+b2 2, ,则三角形不是锐角则三角形不是锐角三角形三角形. .答案答案: : 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 正、余弦定理的应用正、余弦定理的应用考查角度考查角度1 1: :利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形(2)(2)设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,且且a=2,cos C=- ,3sin A=2sin B,a=
8、2,cos C=- ,3sin A=2sin B,则则c=c=.答案答案: :(2)4(2)4反思归纳反思归纳 利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理角形及所需应用的定理, ,有时需结合图形分析求解有时需结合图形分析求解, ,有时需根据三角函数值的有有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数界性、三角形中大边对大角等确定解的个数. .考查角度考查角度2:2:与三角形面积有关的问题与三角形面积有关的问题(A)24 (A)24 (B)16 (B)16 (C)12 (C)12 (D)
9、8(D)8(2)(2)(2017(2017潮州模拟潮州模拟) )在在ABCABC中中, ,角角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,且且a a2 2+b+b2 2-c-c2 2-ab=0.-ab=0.若若ABCABC的面积为的面积为 c,c,则则abab的最小值为的最小值为( () )(A)24 (A)24 (B)12 (B)12 (C)6(C)6 (D)4 (D)4反思归纳反思归纳(2)(2)与面积有关的问题与面积有关的问题, ,一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化, ,得到两边得到两边乘积乘积, ,再整体代入再整体代
10、入. .考点二考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状利用正、余弦定理判定三角形的形状【例【例3 3】 导学号导学号 9462615794626157 在在ABCABC中中,a,b,c,a,b,c分别为内角分别为内角A,B,CA,B,C的对边的对边, ,且且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)(1)求角求角A A的大小的大小; ;(2)(2)若若sin B+sin C= ,sin B+sin C= ,试判断试判断ABCABC的形状的形状. .反思归纳反思归纳 判定三角形形状的两种常用途径判定三角形
11、形状的两种常用途径(1)(1)通过正弦定理和余弦定理通过正弦定理和余弦定理, ,化边为角化边为角, ,利用三角变换得出三角形内角之间利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断的关系进行判断. .(2)(2)利用正弦定理、余弦定理利用正弦定理、余弦定理, ,化角为边化角为边, ,通过代数恒等变换通过代数恒等变换, ,求出三条边之间求出三条边之间的关系进行判断的关系进行判断. .跟踪训练跟踪训练1 1:(1) :(1) 导学号导学号 4961212049612120 在在ABCABC中中, ,内角内角A,B,CA,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,a,b,c,若若b=2ccos A,
12、c=2bcos A,b=2ccos A,c=2bcos A,则则ABCABC的形状为的形状为( () )(A)(A)直角三角形直角三角形(B)(B)锐角三角形锐角三角形(C)(C)等边三角形等边三角形(D)(D)等腰直角三角形等腰直角三角形解析解析: :(1)(1)由正弦定理由正弦定理, ,得得sin B=2sin Ccos A,sin B=2sin Ccos A,sin C=2sin Bcos A,sin C=2sin Bcos A,即即sin(A+C)=2sin Ccos A=sin Acos C+cos Asin C,sin(A+C)=2sin Ccos A=sin Acos C+cos
13、 Asin C,即即sin Acos C-cos Asin C=0,sin Acos C-cos Asin C=0,所以所以sin(A-C)=0,A=C,sin(A-C)=0,A=C,同理可得同理可得A=B,A=B,所以三角形为等边三角形所以三角形为等边三角形. .故选故选C.C.(A)(A)等边三角形等边三角形(B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形(D)(D)等腰直角三角形等腰直角三角形考点三考点三 利用正、余弦定理解决实际问题利用正、余弦定理解决实际问题【例例4 4】 导学号导学号 9462615894626158 (1) (1)(2016
14、(2016广州七区联考广州七区联考) )某观察站某观察站C C与两灯塔与两灯塔A,BA,B的距离分别为的距离分别为300300米和米和500500米米, ,测得灯塔测得灯塔A A在观察站在观察站C C北偏东北偏东3030处处, ,灯塔灯塔B B在观察站在观察站C C南偏东南偏东3030处处, ,则两灯塔则两灯塔A,BA,B间的距离为间的距离为.解析解析: :(1)(1)由题意可知由题意可知, ,如图如图, ,在在ABCABC中中,AC=300,AC=300米米,BC=500,BC=500米米,ACB=120,ACB=120, ,利用余弦定理可得利用余弦定理可得ABAB2 2=300=3002
15、2+500+5002 2-2-2300300500500cos 120cos 120, ,AB=700(AB=700(米米).).答案答案: :(1)700(1)700米米 (2)(2)(2017(2017黑龙江双鸭山期末黑龙江双鸭山期末) )如图如图, ,跳伞塔跳伞塔CDCD高高4,4,在塔顶测得地面上两点在塔顶测得地面上两点A,BA,B的的俯角分别是俯角分别是30,45,30,45,又测得又测得ADB=30,ADB=30,则则ABAB两地的距离为两地的距离为.答案答案: :(2)4(2)4反思归纳反思归纳 利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)(
16、1)分析分析理解题意理解题意, ,分清已知与未知分清已知与未知, ,画出示意图画出示意图; ;(2)(2)建模建模根据已知条件与求解目标根据已知条件与求解目标, ,把已知量与求解量尽量集中在有关的把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中三角形中, ,建立一个解斜三角形的数学模型建立一个解斜三角形的数学模型; ;(3)(3)求解求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形, ,求得数学模型的解求得数学模型的解; ;(4)(4)检验检验检验上述所求的解是否符合实际意义检验上述所求的解是否符合实际意义, ,从而得出实际问题的解从而得出实际问题的解. .跟踪训练跟踪
17、训练2 2:(1):(1)如图所示如图所示, ,位于位于A A处的信息中心获悉处的信息中心获悉: :在其正东方向相距在其正东方向相距4040海里海里的的B B处有一艘渔船遇险处有一艘渔船遇险, ,在原地等待营救在原地等待营救. .信息中心立即把消息告知在其南偏西信息中心立即把消息告知在其南偏西3030、相距、相距2020海里的海里的C C处的乙船处的乙船, ,现乙船朝北偏东现乙船朝北偏东的方向即沿直线的方向即沿直线CBCB前往前往B B处处救援救援, ,则则cos cos 等于等于( () )答案答案: :(1)B (1)B (2)(2)某台风中心最大风力达到某台风中心最大风力达到1212级以
18、上级以上, ,大风降雨给灾区带来严重的灾害大风降雨给灾区带来严重的灾害, ,不不少大树被大风折断少大树被大风折断. .某路边一树干被台风吹断后某路边一树干被台风吹断后, ,折成与地面成折成与地面成4545角角, ,树干树干也倾斜为与地面成也倾斜为与地面成7575角角, ,树干底部与树尖着地处相距树干底部与树尖着地处相距2020米米, ,则折断点与树则折断点与树干底部的距离是干底部的距离是 米米.备选例题备选例题 【例例1 1】 (2018(2018湖南十三校联考湖南十三校联考) )设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,且且满足满足sin
19、 A+sin B=cos A-cos(-B)sin A+sin B=cos A-cos(-B)sin C.sin C.(1)(1)试判断试判断ABCABC的形状的形状, ,并说明理由并说明理由; ;【例例2 2】 (2018(2018泉州检测泉州检测) )ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,且且cos Acos Acos C-cos(A+C)=sincos C-cos(A+C)=sin2 2B.B.(1)(1)证明证明:a,b,c:a,b,c成等比数列成等比数列; ;(1)(1)证明证明: :因为因为cos Acos Acos C-cos
20、(A+C)=sincos C-cos(A+C)=sin2 2B,B,所以所以cos Acos Acos C-(cos Acos C-sin Asin C)=sincos C-(cos Acos C-sin Asin C)=sin2 2B,B,化简可得化简可得sin Asin C=sinsin Asin C=sin2 2B,B,由正弦定理得由正弦定理得,b,b2 2=ac,=ac,故故a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列. .(2)(2)若角若角B B的平分的平分线BDBD交交ACAC于点于点D,D,且且b=6,Sb=6,SBADBAD=2S=2SBCDBCD, ,求求BD.BD.【例例3
21、3】 在一次海上联合作战演习中在一次海上联合作战演习中, ,红方一艘侦察艇在红方一艘侦察艇在A A处发现在北偏东处发现在北偏东4545方向方向, ,相距相距12 n mile12 n mile的的B B处水面上处水面上, ,有蓝方一艘小艇正以每小时有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile10 n mile的速度的速度沿南偏东沿南偏东7575方向前进方向前进, ,若侦察艇以每小时若侦察艇以每小时14 n mile14 n mile的速度沿北偏东的速度沿北偏东45+45+方方向拦截蓝方的小艇向拦截蓝方的小艇. .若要在最短的时间内拦截住若要在最短的时间内拦截住, ,求红方侦察艇所需的时间和角求红
22、方侦察艇所需的时间和角的正弦值的正弦值. . 解题规范夯实解题规范夯实 把典型问题的解决程序化把典型问题的解决程序化利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形【典例典例】 (12 (12分分) )(2017(2017全国全国卷卷) )ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,已知已知ABCABC的面积为的面积为 . .(1)(1)求求sin Bsin C;sin Bsin C;(2)(2)若若6cos Bcos C=1,a=3,6cos Bcos C=1,a=3,求求ABCABC的周长的周长. .答题模板答题模板: :解三角形问题一般可以用以下几步解答解三角形问题一般可以用以下几步解答: :第一步第一步: :边角互化边角互化, ,利用正弦定理、余弦定理进行边角互化利用正弦定理、余弦定理进行边角互化; ;第二步第二步: :三角变换、化简、消元三角变换、化简、消元, ,从而向已知角从而向已知角( (边边) )转化转化; ;第三步第三步: :由值求角由值求角( (边边),),结合已知代入求值结合已知代入求值; ;第四步第四步: :反思回顾反思回顾, ,查看关键点、易错点、公式是否有错误查看关键点、易错点、公式是否有错误, ,检查确认答案检查确认答案. .点击进入点击进入 应用能力提升应用能力提升
