《文理通用高三数学一轮复习7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《文理通用高三数学一轮复习7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图课件（73页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章立体几何初步第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图12【知知识识梳理梳理】1.1.空空间间几何体的几何体的结结构特征构特征相等相等全等全等公共点公共点平行于底面平行于底面相似相似342.2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图(1)(1)三视图的形成与名称三视图的形成与名称: :形成形成: :空间几何体的三视图是用平行投影得到的空间几何体的三视图是用平行投影得到的, ,在这种投影在这种投影之下之下, ,与投影面平行的平面图形留下的影子与投影面平行的平面图形留下的影子, ,与平面图形的与平面图形的_和和_是完全相同的是完全相同的; ;名称名称: :三视图包括三视图包括_、_、_._.(2
2、)(2)三视图的画法三视图的画法: :在画三视图时在画三视图时, ,重叠的线只画一条重叠的线只画一条, ,挡住的线要画成挡住的线要画成_._.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_方、方、_方、方、_方观察几何体画出的轮廓线方观察几何体画出的轮廓线. .形状形状大小大小正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图虚线虚线正前正前正左正左正上正上53.3.空空间间几何体的直几何体的直观图观图空空间间几何体的直几何体的直观图观图常用常用_画法来画画法来画, ,基本步基本步骤骤是是: :(1)(1)画几何体的底面画几何体的底面: :在已知在已知图图形中
3、取互相垂直的形中取互相垂直的x x轴轴、y y轴轴, ,两两轴轴相交于点相交于点O,O,画直画直观图时观图时, ,把它把它们们画成画成对应对应的的xx轴轴、yy轴轴, ,两两轴轴相交于点相交于点O,O,且使且使xOy=_,xOy=_,已知已知图图形形中平行于中平行于x x轴轴的的线线段段, ,在直在直观图观图中中长长度度_,_,平行于平行于y y轴轴的的线线段段, ,长长度度_._.斜二斜二测测45(45(或或135)135)不不变变减半减半6(2)(2)画几何体的高画几何体的高: :在已知在已知图图形中形中过过O O点作点作z z轴轴垂直于垂直于xOyxOy平面平面, ,在在直直观图观图中中
4、对应对应的的zz轴轴, ,也垂直于也垂直于xOyxOy平面平面, ,已知已知图图形中平形中平行于行于z z轴轴的的线线段段, ,在直在直观图观图中仍平行于中仍平行于zz轴轴且且长长度度_._.不不变变7【考点自考点自测测】1.(1.(思考思考) )给给出下列出下列说说法法: :有两个面平行有两个面平行, ,其余各面都是平行四其余各面都是平行四边边形的几何体是棱柱形的几何体是棱柱; ;有一个面是多有一个面是多边边形形, ,其余各面都是三角形的几何体是棱其余各面都是三角形的几何体是棱锥锥; ;一个棱柱至少有一个棱柱至少有5 5个面个面, ,面数最少的一个棱面数最少的一个棱锥锥有有4 4个个顶顶点点
5、, ,顶顶点点最少的一个棱台有最少的一个棱台有3 3条条侧侧棱棱; ;用斜二用斜二测测画法画水平放置的画法画水平放置的A A时时, ,若若A A的两的两边边分分别别平行于平行于x x轴轴和和y y轴轴, ,且且A=90,A=90,则则在直在直观图观图中中,A=45;,A=45;8正方体、球、正方体、球、圆锥圆锥各自的三各自的三视图视图中中, ,三三视图视图均相同均相同. .其中正确的是其中正确的是( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选D.D.错误错误. .尽管几何体满足了两个面平行且其他各尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平行四边形面都是平行四边形, ,但不能保证每
6、相邻两个侧面的公共边互相但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行平行. .如图如图 , ,该几何体并不是棱柱该几何体并不是棱柱. .9错误错误. .尽管几何体满足了一个面是多边形尽管几何体满足了一个面是多边形, ,其余各面都是三角其余各面都是三角形形, ,但不能保证三角形具有公共顶点但不能保证三角形具有公共顶点. .正确正确. .面数最少的棱柱为三棱柱面数最少的棱柱为三棱柱, ,有有5 5个面个面; ;面数最少的棱锥为面数最少的棱锥为三棱锥三棱锥, ,有有4 4个顶点个顶点; ;顶点最少的棱台为三棱台顶点最少的棱台为三棱台, ,有有3 3条侧棱条侧棱. .错误错误.A.A应为应为4545或或1
7、35.135.错误错误. .正方体的三视图由于正视的方向不同正方体的三视图由于正视的方向不同, ,其三视图的形状其三视图的形状可能不同可能不同, ,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同圆锥的侧视图与俯视图显然不相同. .102.2.有一个几何体的三有一个几何体的三视图视图如如图图所示所示, ,这这个几何体个几何体应应是一个是一个( () )A.A.棱台棱台B.B.棱棱锥锥C.C.棱柱棱柱D.D.都不都不对对【解析解析】选选A.A.从俯视图来看从俯视图来看, ,上、下底面都是正方形上、下底面都是正方形, ,但大小不但大小不一样一样, ,可以判断是棱台可以判断是棱台. .113.3.某几何体的正视图和侧
8、视图均如图所示某几何体的正视图和侧视图均如图所示, ,则该几何体的俯视则该几何体的俯视图不可能是图不可能是( () )12【解析解析】选选C.C.依题意依题意, ,此几何体为组合体此几何体为组合体, ,若上下两个几何体均若上下两个几何体均为圆柱为圆柱, ,则俯视图为则俯视图为A;A;若上边的几何体为正四棱柱若上边的几何体为正四棱柱, ,下边几何体为圆柱下边几何体为圆柱, ,则俯视图为则俯视图为B;B;若俯视图为若俯视图为C,C,则正视图中应有实线或虚线则正视图中应有实线或虚线, ,故该几何体的俯视故该几何体的俯视图不可能是图不可能是C;C;当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱当上边的
9、几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱, ,下面的下面的几何体为正四棱柱时几何体为正四棱柱时, ,俯视图为俯视图为D.D.134.4.如图所示的直观图如图所示的直观图, ,其表示的平面图形是其表示的平面图形是( () )A.A.正三角形正三角形B.B.锐角三角形锐角三角形C.C.钝角三角形钝角三角形D.D.直角三角形直角三角形【解析解析】选选D.D.因为因为BCyBCy轴轴, ,故在原图中平行于故在原图中平行于y y轴轴, ,而而ACxACx轴轴, ,在原图中平行于在原图中平行于x x轴轴, ,故故BCAC,BCAC,故三角形的形状为故三角形的形状为直角三角形直角三角形. .故选故选D.D.1
10、45.5.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图视图如如图图所示所示, ,则则其其侧侧面面积为积为. .【解析解析】由题意可知由题意可知, ,该直三棱柱的底面边长为该直三棱柱的底面边长为2,2,高为高为1,1,故故S S侧面侧面=321=6.=321=6.答案答案: :6 6156.(20136.(2013温州模温州模拟拟) )利用斜二利用斜二测测画法得到的画法得到的: :三角形的直三角形的直观图观图一定是三角形一定是三角形; ;正方形的直正方形的直观图观图一定是菱形一定是菱形; ;等腰梯形的直等腰梯形的直观图观图可以是平行四可以是平行四边边形形; ;菱形的直
11、菱形的直观图观图一定是菱形一定是菱形. .以上以上结论结论正确的个数是正确的个数是. .【解析解析】由斜二测画法的规则可知由斜二测画法的规则可知正确正确;错误错误, ,是一般的平是一般的平行四边形行四边形;错误错误, ,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形等腰梯形的直观图不可能是平行四边形; ;而而菱形的直观图也不一定是菱形菱形的直观图也不一定是菱形,也错误也错误. .答案答案: :1 116考点考点1 1 空空间间几何体的几何体的结结构特征构特征【典例典例1 1】(1)(1)给给出下列命出下列命题题: :棱柱的棱柱的侧侧棱都相等棱都相等, ,侧侧面都是全等的平行四面都是全等的平行四边边形形;
12、;用一个平面去截棱用一个平面去截棱锥锥, ,棱棱锥锥底面与截面之底面与截面之间间的部分是棱台的部分是棱台; ;若三棱若三棱锥锥的三条的三条侧侧棱两两垂直棱两两垂直, ,则则其三个其三个侧侧面也两两垂直面也两两垂直; ;若四棱柱有两个若四棱柱有两个过过相相对侧对侧棱的截面都垂直于底面棱的截面都垂直于底面, ,则该则该四棱四棱柱柱为为直四棱柱直四棱柱; ;17存在每个面都是直角三角形的四面体存在每个面都是直角三角形的四面体; ;棱台的侧棱延长后交于一点棱台的侧棱延长后交于一点. .其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是( () )A. A. B.B.C. D.C. D.18(2)(2)给出下列命
13、题给出下列命题: :在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点, ,则这两点的连线是则这两点的连线是圆柱的母线圆柱的母线; ;在圆台的上、下底面的圆周上各取一点在圆台的上、下底面的圆周上各取一点, ,则这两点的连线是则这两点的连线是圆台的母线圆台的母线; ;圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. .其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是( () )A.A.B.B.C.C.D.D.19【解题视点解题视点】(1)(1)根据棱柱、棱锥、棱台的定义及特征进行判根据棱柱、棱锥、棱台的定义及特征进行判断断. .(2)(2)根据圆柱、圆
14、台母线的定义及其相关性质进行判断根据圆柱、圆台母线的定义及其相关性质进行判断. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.错误错误, ,因为棱柱的侧面不一定是全等的因为棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形平行四边形;错误错误, ,必须用平行于底面的平面去截棱锥必须用平行于底面的平面去截棱锥, ,才能才能得到棱台得到棱台; ;20正确正确, ,根据面面垂直的判定定理判断根据面面垂直的判定定理判断;正正确确, ,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱于侧棱, ,又垂直于底面又垂直于底面;正确正确, ,如图所示如图所示, ,正正方体方体ACAC1 1中的三棱锥中
15、的三棱锥C C1 1-ABC,-ABC,四个面都是直角四个面都是直角三角形三角形;正确正确, ,由棱台的概念可知由棱台的概念可知. .因此因此, ,正确命题的序号是正确命题的序号是. .(2)(2)选选D.D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知, ,只有只有是正是正确的确的, ,所以选所以选D.D.21【规律方法规律方法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)(1)熟悉空间几何体的结构特征熟悉空间几何体的结构特征, ,依据条件构建几何模型依据条件构建几何模型, ,在条在条件不变的情况下件不变的情况下, ,变换模型
16、中的线面关系或增加线、面等基本变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素元素, ,然后再依据题意判定然后再依据题意判定. .(2)(2)利用反例对结构特征进行辨析利用反例对结构特征进行辨析, ,即要说明某个命题是错误的即要说明某个命题是错误的, ,只要举出一个反例即可只要举出一个反例即可. .22直棱柱、正棱柱和正棱锥的有关概念直棱柱、正棱柱和正棱锥的有关概念(1)(1)直棱柱直棱柱: :侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. .(2)(2)正棱柱正棱柱: :底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. .反之反之, ,正棱柱正棱柱的底面是正多边形
17、的底面是正多边形, ,侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面, ,侧面是矩形侧面是矩形. .(3)(3)正棱锥正棱锥: :底面是正多边形底面是正多边形, ,顶点在底面的射影是底面正多边顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥形的中心的棱锥叫做正棱锥. .特别地特别地, ,各棱均相等的正三棱锥叫各棱均相等的正三棱锥叫正四面体正四面体. .反过来反过来, ,正棱锥的底面是正多边形正棱锥的底面是正多边形, ,且顶点在底面的且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心射影是底面正多边形的中心. .23【变变式式训练训练】下列下列结论结论正确的是正确的是( () )A.A.各个面都是三角形的几何体是三棱各个
18、面都是三角形的几何体是三棱锥锥B.B.以三角形的一条以三角形的一条边边所在直所在直线为线为旋旋转轴转轴, ,其余两其余两边边旋旋转转形成的形成的曲面所曲面所围围成的几何体叫成的几何体叫圆锥圆锥C.C.棱棱锥锥的的侧侧棱棱长长与底面多与底面多边边形的形的边长边长相等相等, ,则则此棱此棱锥锥可能是六可能是六棱棱锥锥D.D.圆锥圆锥的的顶顶点与底面点与底面圆圆周上的任意一点的周上的任意一点的连线连线都是母都是母线线24【解析解析】选选D.AD.A错误错误. .如图所示如图所示, ,由两个结构相同的三棱锥叠放由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体在一起构成的几何体, ,各面都是三角形各面都是三
19、角形, ,但它不一定是棱锥但它不一定是棱锥. .25B B错误错误. .如图如图, ,若若ABCABC不是直角三角形或是直角三角形不是直角三角形或是直角三角形, ,但旋转但旋转轴不是直角边轴不是直角边, ,所得的几何体都不是圆锥所得的几何体都不是圆锥. .C C错误错误. .若六棱锥的所有棱长都相等若六棱锥的所有棱长都相等, ,则底面多边形是正六边形则底面多边形是正六边形. .由几何图形知由几何图形知, ,若以正六边形为底面若以正六边形为底面, ,侧棱长必然要大于底面边侧棱长必然要大于底面边长长. .26【加固加固训练训练】1.1.给给出下列命出下列命题题: :各个各个侧侧面都是等腰三角形的棱
20、面都是等腰三角形的棱锥锥是正棱是正棱锥锥; ;三条三条侧侧棱都相等的棱棱都相等的棱锥锥是正三棱是正三棱锥锥; ;底面是正三角形的棱底面是正三角形的棱锥锥是正三棱是正三棱锥锥; ;顶顶点在底面上的射影是底面多点在底面上的射影是底面多边边形的内心形的内心, ,又是外心的棱又是外心的棱锥锥必是正棱必是正棱锥锥. .其中正确命其中正确命题题的个数是的个数是( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.427【解析解析】选选A.A.命题命题显然不正确显然不正确. .正棱锥必须具备两点正棱锥必须具备两点, ,一是一是: :底面为正多边形底面为正多边形, ,二是二是: :顶点在底面内的射影是底面
21、的中心顶点在底面内的射影是底面的中心; ;命命题题缺少第一个条件缺少第一个条件, ,命题命题缺少第二个条件缺少第二个条件. .而命题而命题可推出可推出以上两个条件都具备以上两个条件都具备. .282.2.若三棱若三棱锥锥P-ABCP-ABC的底面的底面ABCABC是正三角形是正三角形, ,则则三个三个侧侧面的面面的面积积相相等是三棱等是三棱锥锥P-ABCP-ABC为为正三棱正三棱锥锥的的( () )A.A.充分必要条件充分必要条件 B.B.充分不必要条件充分不必要条件C.C.必要不充分条件必要不充分条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选C.C.当三棱锥当三棱锥P
22、-ABCP-ABC的底面的底面ABCABC是正三角形时是正三角形时, ,如果该如果该三棱锥又是正三棱锥三棱锥又是正三棱锥, ,则其三个侧面的面积一定相等则其三个侧面的面积一定相等, ,但当三个但当三个侧面的面积相等时侧面的面积相等时, ,却不一定能推出该三棱锥是正三棱锥却不一定能推出该三棱锥是正三棱锥. .293.3.给给出下列三个命出下列三个命题题: :夹夹在在圆圆柱的两个平行截面柱的两个平行截面间间的几何体的几何体还还是一个旋是一个旋转转体体; ;圆锥圆锥截去一个小截去一个小圆锥圆锥后剩余部分是后剩余部分是圆圆台台; ;通通过圆过圆台台侧侧面上一点面上一点, ,有无数条母有无数条母线线.
23、.其中正确命其中正确命题题的序号是的序号是. .30【解析解析】错误错误, ,没有说明这两个平行截面与底面的位置关系没有说明这两个平行截面与底面的位置关系, ,当这两个平行截面与底面平行时正确当这两个平行截面与底面平行时正确, ,其他情况则结论是错误其他情况则结论是错误的的, ,如图如图(1).(1).正确正确, ,如图如图(2).(2).错误错误, ,通过圆台侧面上一点通过圆台侧面上一点, ,只只有一条母线有一条母线, ,如图如图(3).(3).答案答案: :31考点考点2 2 空间几何体的三视图空间几何体的三视图 【考情考情】三三视图视图是高考命是高考命题题的的热热点点, ,以以选择题选择
24、题、填空、填空题题的形式的形式出出现现, ,主要考主要考查查已知几何体已知几何体, ,判断三判断三视图视图; ;已知几何体三已知几何体三视图视图中中的两个的两个视图视图, ,判断第三个判断第三个视图视图; ;由三由三视图视图判断几何体等判断几何体等. .高频考点高频考点通关通关 32【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014金金华华模模拟拟) )将正方体将正方体( (如如图图1 1所示所示) )截去两个截去两个三棱三棱锥锥, ,得到得到图图2 2所示的几何体所示的几何体, ,则该则该几何体的几何体的侧视图为侧视图为( () )33(2)(2013(2)(2013四川高考四川高考) )一
25、个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示, ,则该几何则该几何体的直观图可以是体的直观图可以是( () )34【解题视点解题视点】(1)(1)结合原正方体结合原正方体, ,确定两个关键点确定两个关键点B B1 1,D,D1 1和两条重和两条重要线段要线段ADAD1 1和和B B1 1C C的投影的投影. .(2)(2)结合三视图进行判断结合三视图进行判断, ,特别要注意虚线的标注特别要注意虚线的标注. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.图图2 2所示的几何体的侧视图由点所示的几何体的侧视图由点A,D,BA,D,B1 1,D,D1 1确定外形为正方形确定外形为正方形, ,判
26、断的关键是两条对角线判断的关键是两条对角线ADAD1 1和和B B1 1C C是一实一是一实一虚虚, ,其中要把其中要把ADAD1 1和和B B1 1C C区别开来区别开来, ,故选故选B.B.(2)(2)选选D.D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致, ,并且俯视并且俯视图是两个圆图是两个圆, ,可知只有选项可知只有选项D D适合适合, ,故选故选D.D.35【通关通关锦锦囊囊】 重点重点题题型型破解策略破解策略根据几何体的根据几何体的图图形形, ,识别识别三三视图视图由由实实物物图图画三画三视图视图或判断或判断选择选择三三视图视图, ,符合符合“正
27、正侧侧一一样样高高, ,正俯一正俯一样长样长, ,俯俯侧侧一一样宽样宽”的特的特点点三三视图还视图还原直原直观图观图首先首先对对柱、柱、锥锥、台、球的三、台、球的三视图视图要熟悉要熟悉; ;其其次次, ,明确三明确三视图视图的形成原理的形成原理, ,并能并能结结合空合空间间想想象将三象将三视图还视图还原原为为直直观图观图, ,遵循遵循“长对长对正、高正、高平平齐齐、宽宽相等相等”的原的原则则根据几何体三根据几何体三视图视图中的两个中的两个视图视图, ,判断第判断第三个三个视图视图根据已有的两个根据已有的两个视图视图判断出几何体的可能的判断出几何体的可能的不同形状不同形状, ,就可以在已有就可以
28、在已有视图视图的基的基础础上画出上画出第三个第三个视图视图36【特别提醒特别提醒】对于简单组合体的三视图对于简单组合体的三视图, ,首先要确定正视、侧首先要确定正视、侧视、俯视的方向视、俯视的方向, ,其次要注意组合体由哪些几何体组成其次要注意组合体由哪些几何体组成, ,弄清它弄清它们的组成方式们的组成方式, ,特别应注意它们的交线的位置特别应注意它们的交线的位置, ,区分好实线和虚区分好实线和虚线的不同线的不同. .37【关注关注题题型型】三三视图视图与原几何体之与原几何体之间间的的图图形关系形关系问题问题判断三判断三视图视图中各中各线线之之间间的关系的关系, ,并将三并将三视图还视图还原成
29、几何体原成几何体, ,注意分注意分类讨论类讨论的的应应用用三三视图视图与函数不等式与函数不等式相相结结合合问题问题明确三明确三视图视图与直与直观图观图之之间间的数量关系的数量关系, ,结结合三合三视图视图的特征建立数学模型的特征建立数学模型根据小正方体的个数根据小正方体的个数确定三确定三视图视图首先确定几何体的形状首先确定几何体的形状, ,再判断三再判断三视图视图38【通关通关题组题组】1.(20121.(2012福建高考福建高考) )一个几何体的三一个几何体的三视图视图形状都相同、大小均形状都相同、大小均相等相等, ,那么那么这这个几何体不可以是个几何体不可以是( () )A.A.球球B.B
30、.三棱三棱锥锥C.C.正方体正方体D.D.圆圆柱柱【解析解析】选选D.D.圆柱的三视图圆柱的三视图, ,分别为矩形分别为矩形, ,矩形矩形, ,圆圆, ,不可能三个不可能三个视图都一样视图都一样, ,而球的三视图都是圆而球的三视图都是圆, ,三棱锥的三视图可以都是三三棱锥的三视图可以都是三角形角形, ,正方体的三视图可以都是正方形正方体的三视图可以都是正方形. .392.(20142.(2014丽水模拟丽水模拟) )已知三棱锥的正已知三棱锥的正( (主主) )视图与俯视图如图所视图与俯视图如图所示示, ,俯视图是边长为俯视图是边长为2 2的正三角形的正三角形, ,则该三棱锥的侧则该三棱锥的侧(
31、 (左左) )视图可视图可能为能为( () )40【解析解析】选选B.B.由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2 2的正三的正三角形角形. .由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面, ,且其长度为且其长度为2,2,故其侧故其侧( (左左) )视图为直角边长为视图为直角边长为2 2和和 的直角三角形的直角三角形. .413.(20113.(2011浙江高考浙江高考) )若某几何体的三视图如图所示若某几何体的三视图如图所示, ,则这个几则这个几何体的直观图可以是何体的直观图可以是( () )42【解析解析】选选B.B.选项选项具
32、体分析具体分析结论结论A A三视图均不相符三视图均不相符错误错误B B三视图均符合三视图均符合正确正确C C三视图均不相符三视图均不相符错误错误D D侧视图不相符侧视图不相符错误错误434.(20134.(2013长长春模春模拟拟) )一只一只蚂蚁蚂蚁从正方体从正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的的顶顶点点A A处处出出发发, ,经经正方体正方体的表面的表面, ,按最短路按最短路线线爬行到达爬行到达顶顶点点C C1 1位位置置, ,则则下列下列图图形中可以表示正方体及形中可以表示正方体及蚂蚁蚂蚁最短爬行路最短爬行路线线的正的正视视图图可能是可能是( (填上
33、序号填上序号).).44【解析解析】由点由点A A经正方体的表面经正方体的表面, ,按最短路线爬行到达顶点按最短路线爬行到达顶点C C1 1位位置置, ,共有共有6 6种展开方式种展开方式, ,若把平面若把平面ABBABB1 1A A1 1和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1展到同一个展到同一个平面内平面内, ,在矩形中连接在矩形中连接ACAC1 1会经过会经过BBBB1 1的中点的中点, ,故此时的正视图为故此时的正视图为. .若把平面若把平面ABCDABCD和平面和平面CDDCDD1 1C C1 1展到同一个平面内展到同一个平面内, ,在矩形中连在矩形中连接接ACAC1 1会经过会经
34、过CDCD的中点的中点, ,此时正视图会是此时正视图会是. .其他几种展开方式对其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在应的正视图在题中没有出现或者已在中中. .答案答案: :45【加固加固训练训练】1.(20131.(2013西安模西安模拟拟) )如如图图, ,某几何体的正某几何体的正视图视图与与侧视图侧视图都是都是边长为边长为1 1的正方形的正方形, ,且体且体积为积为 , ,则该则该几何体的俯几何体的俯视视图图可以是可以是( () )46【解析解析】选选C.C.若该几何体的俯视图是选项若该几何体的俯视图是选项A,A,则该几何体的体积则该几何体的体积为为1,1,不满足题意不满足题
35、意; ;若该几何体的俯视图是选项若该几何体的俯视图是选项B,B,则该几何体的则该几何体的体积为体积为 , ,不满足题意不满足题意; ;若该几何体的俯视图是选项若该几何体的俯视图是选项C,C,则该几何则该几何体的体积为体的体积为 , ,满足题意满足题意; ;若该几何体的俯视图是选项若该几何体的俯视图是选项D,D,则该几则该几何体的体积为何体的体积为 , ,不满足题意不满足题意. .472.(20132.(2013兰州模拟兰州模拟) )已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示示, ,正视图和侧视图都是矩形正视图和侧视图都是矩形, ,俯视图为正方形俯视图为正方形,
36、,在该几何体上在该几何体上任意选择任意选择4 4个顶点个顶点, ,它们可能是如下各种几何图形的它们可能是如下各种几何图形的4 4个顶点个顶点, ,这这些几何图形是些几何图形是( () )48矩形矩形;不是矩形的平行四边形不是矩形的平行四边形;有三个面为直角三角形有三个面为直角三角形, ,有一个面为等腰三角形的四面体有一个面为等腰三角形的四面体;每个面都是等腰三角形的每个面都是等腰三角形的四面体四面体;每个面都是直角三角形的四面体每个面都是直角三角形的四面体. .A. B.A. B.C. D.C. D.49【解析解析】选选A.A.由三视图知该几何体是底面边长为由三视图知该几何体是底面边长为a,a
37、,高为高为b b的长的长方体方体. .任选任选4 4个顶点个顶点, ,若这若这4 4个点的几何体是平行四边形个点的几何体是平行四边形, ,则其一则其一定为矩形定为矩形, ,故故不可能不可能. .其他情形均有可能其他情形均有可能, ,如图所示如图所示. .503.(20133.(2013龙岩模拟龙岩模拟) )如图表示一个由相同小立方如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图块搭成的几何体的俯视图, ,小正方形中的数字表小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数示该位置上小立方块的个数, ,则该几何体的正视则该几何体的正视图为图为( () )51【解析解析】选选C.C.俯视图中的每个数字是该位
38、置小立方块的个数俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数, ,分析其中的数字分析其中的数字, ,得正视图有得正视图有3 3列列, ,从左到右的行数分别是从左到右的行数分别是4,3,2.4,3,2.如图如图 . .524.(20144.(2014泰安模拟泰安模拟) )某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,当当xyxy最大时最大时, ,该几何体的体积为该几何体的体积为. .53【解析解析】如图所示如图所示, ,三视图所表示的立体三视图所表示的立体图形是三棱锥图形是三棱锥A-BCD,A-BCD,从图中可得从图中可得x x2 2+y+y2 2= =5 52 2+( )+( )2 2=3
39、2,xy =16,=32,xy =16,当且仅当当且仅当“x=yx=y”时取时取“= =”, ,此时此时x=y=4,Vx=y=4,VA-BCDA-BCD= =答案答案: :54考点考点3 3 空空间间几何体的直几何体的直观图观图【典例典例3 3】(1)(2013(1)(2013桂林模桂林模拟拟) )已知正三角形已知正三角形ABCABC的的边长为边长为a,a,那么那么ABCABC的平面直的平面直观图观图ABCABC的面的面积为积为( () )55(2)(2)如图如图, ,正方形正方形OABCOABC的边长为的边长为1cm,1cm,它是水平放置的一个平面图它是水平放置的一个平面图形的直观图形的直观
40、图, ,则原图形的周长为则原图形的周长为. .56【解题视点解题视点】(1)(1)先建立坐标系先建立坐标系, ,然后画出然后画出ABCABC的直观图的直观图ABC,ABC,求出求出ABCABC相关的边相关的边, ,确定其面积确定其面积. .(2)(2)按照斜二测画法按照斜二测画法, ,将正方形将正方形OABCOABC还原为平面图形再求解还原为平面图形再求解. .57【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.如图如图所示的实际图形和直观图所示的实际图形和直观图, ,由由可知可知,AB=AB=a,OC=,AB=AB=a,OC=在图在图中作中作CDABCDAB于于D,D,则则所以所以S SABCA
41、BC=AB=ABCDCD58(2)(2)将直观图还原为平面图形将直观图还原为平面图形, ,如图如图. .可知还原后的图形中可知还原后的图形中于是周长为于是周长为23+21=8(cm).23+21=8(cm).答案答案: :8cm8cm59【互互动动探究探究】若本例若本例(1)(1)改改为为“A A1 1B B1 1C C1 1是是边长为边长为a a的正三角形的正三角形, ,且且A A1 1B B1 1C C1 1是是ABCABC的直的直观图观图”, ,则则ABCABC的面的面积为积为多少多少? ?【解析解析】如图如图, ,可知可知在在A A1 1D D1 1C C1 1中中, ,由正弦定理由正
42、弦定理得得所以所以S SABCABC= =60【易错警示易错警示】关注斜二测画法的规则关注斜二测画法的规则本例第本例第(1)(1)题采用斜二测画法求题采用斜二测画法求ABCABC的面积的面积, ,解题过程解题过程中不能正确求出中不能正确求出OCOC的长的长, ,导致这种错误的原因是忽视了在导致这种错误的原因是忽视了在直观图中平行于直观图中平行于yy轴的线段长是原图中相应线段长的一半轴的线段长是原图中相应线段长的一半. .61【规律方法规律方法】直观图画法的关键与结论直观图画法的关键与结论(1)(1)关键关键: :在斜二测画法中在斜二测画法中, ,要确定关键点及关键线段要确定关键点及关键线段.
43、.“平行于平行于x x轴的线段平行性不变轴的线段平行性不变, ,长度不变长度不变; ;平行于平行于y y轴的线段平行性不变轴的线段平行性不变, ,长度减半长度减半. .”(2)(2)结论结论: :按照斜二测画法得到的平面图形的直观图按照斜二测画法得到的平面图形的直观图, ,其面积与其面积与原图形的面积的关系原图形的面积的关系: :S S直观图直观图= S= S原图形原图形. .62【变变式式训练训练】(2013(2013太原模太原模拟拟) )一个水平放一个水平放置的平面置的平面图图形的斜二形的斜二测测直直观图观图是直角梯形是直角梯形( (如如图图所示所示),ABC=45,AB=AD=1,DCB
44、C,),ABC=45,AB=AD=1,DCBC,则这则这个平面个平面图图形的面形的面积积为为( () )63【解析解析】选选B.B.如图将直观图如图将直观图ABCDABCD还原后为直角梯形还原后为直角梯形ABCD,ABCD,其中其中AB=2AB=2,BC= AD=AD=1.AB=2AB=2,BC= AD=AD=1.所以所以64【加固加固训练训练】1.1.如如图图所示是水平放置三角形的直所示是水平放置三角形的直观图观图,D,D是是ABCABC的的BCBC边边中点中点,AB,BC,AB,BC分分别别与与yy轴轴、xx轴轴平行平行, ,则则三条三条线线段段AB,AD,ACAB,AD,AC中中( ()
45、 )A.A.最最长长的是的是AB,AB,最短的是最短的是ACACB.B.最最长长的是的是AC,AC,最短的是最短的是ABABC.C.最最长长的是的是AB,AB,最短的是最短的是ADADD.D.最最长长的是的是AC,AC,最短的是最短的是ADAD【解析解析】选选B.B.由条件知由条件知, ,原平面图形中原平面图形中ABBC,ABBC,从而从而ABADAC.ABADAC.652.2.水平放置的水平放置的ABCABC的斜二的斜二测测直直观图观图如如图图所示所示, ,若若A A1 1C C1 1=2,ABC=2,ABC的面的面积为积为 则则A A1 1B B1 1的的长为长为. .【解析解析】由直观图
46、可知由直观图可知ACBC,BC=2BACBC,BC=2B1 1C C1 1,AC=2,AC=2,又因为又因为 所以所以 则则所以所以A A1 1B B1 12 2=2=22 2+( )+( )2 2-22 cos45-22 cos45=2,=2,解得解得A A1 1B B1 1= .= .答案答案: :663.3.如如图图所示所示, ,梯形梯形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是一个平面是一个平面图图形形ABCDABCD的直的直观图观图. .若若A A1 1D D1 1OO1 1y,Ay,A1 1B B1 1CC1 1D D1 1,A,A1 1B B1 1= C= C1 1D D
47、1 1=2,A=2,A1 1D D1 1=O=O1 1D D1 1=1.=1.请请画出原来的平面几何画出原来的平面几何图图形的形状形的形状, ,并求原并求原图图形的面形的面积积. .67【解析解析】如图如图, ,建立直角坐标系建立直角坐标系xOy,xOy,在在x x轴上截取轴上截取OD=OOD=O1 1D D1 1=1;=1;OC=OOC=O1 1C C1 1=2.=2.在过点在过点D D的的y y轴的平行线上截取轴的平行线上截取DA=2DDA=2D1 1A A1 1=2.=2.在过点在过点A A的的x x轴的平行线上截取轴的平行线上截取AB=AAB=A1 1B B1 1=2.=2.连接连接B
48、C,BC,即得到了原图形即得到了原图形. .由作法可知由作法可知, ,原四边形原四边形ABCDABCD是直角梯是直角梯形形, ,上、下底长度分别为上、下底长度分别为AB=2,CD=3,AB=2,CD=3,直角腰长度为直角腰长度为AD=2,AD=2,所以面所以面积为积为S= 2=5.S= 2=5.68【易错误区易错误区1616】忽视几何体的放置对三视图的影响致错忽视几何体的放置对三视图的影响致错 【典例典例】(2014(2014琼琼海模海模拟拟) )一个几何体的正一个几何体的正视图为视图为一个三角形一个三角形, ,则这则这个几何体可能是下列几何体中的个几何体可能是下列几何体中的( (填入所有可能
49、填入所有可能的几何体前的的几何体前的编编号号).).(1)(1)三棱三棱锥锥;(2);(2)四棱四棱锥锥;(3);(3)三棱柱三棱柱;(4);(4)四棱柱四棱柱;(5);(5)圆锥圆锥; ;(6)(6)圆圆柱柱. .69【解析解析】(1)(1)三棱锥的正视图是三角形三棱锥的正视图是三角形. .(2)(2)当四棱锥的底面是四边形放置时当四棱锥的底面是四边形放置时, ,其正视图是三角形其正视图是三角形. .(3)(3)把三棱柱某一侧面当作底面放置把三棱柱某一侧面当作底面放置, ,其底面正对着我们的视其底面正对着我们的视线时线时, ,它的正视图是三角形它的正视图是三角形, ,如图如图. .(4)(4
50、)对于四棱柱对于四棱柱, ,不论怎样放置不论怎样放置, ,其正视图都不可能是三角形其正视图都不可能是三角形. .(5)(5)当圆锥的底面水平放置时当圆锥的底面水平放置时, ,其正视图是三角形其正视图是三角形. .(6)(6)圆柱不论怎样放置圆柱不论怎样放置, ,其正视图都不可能是三角形其正视图都不可能是三角形. .答案答案: :(1)(2)(3)(5)(1)(2)(3)(5)70【误区警示误区警示】阴影处忽略了将侧面当作底面放置的情形阴影处忽略了将侧面当作底面放置的情形, ,导致漏选导致漏选. .【规避策略规避策略】1.1.要熟练掌握常见几何体的结构特征要熟练掌握常见几何体的结构特征, ,并善
51、于分析常见几何体并善于分析常见几何体的不同放置对三视图的影响的不同放置对三视图的影响. .2.2.由三视图还原几何体实际形状时由三视图还原几何体实际形状时, ,首先要确定正视、侧视、首先要确定正视、侧视、俯视的方向俯视的方向, ,其次要注意实线和虚线的区别其次要注意实线和虚线的区别, ,实线是能在投影平实线是能在投影平面上看得见的面上看得见的, ,而虚线在投影图中看不到而虚线在投影图中看不到. .71【类题试类题试解解】如如图图是是长长和和宽宽分分别别相等的两个矩形相等的两个矩形. .给给定下列三定下列三个命个命题题:存在三棱柱存在三棱柱, ,其正其正视图视图、俯、俯视图视图如如图图;存在四棱
52、柱存在四棱柱, ,其正其正视图视图、俯、俯视图视图如如图图;存在存在圆圆柱柱, ,其正其正视图视图、俯、俯视图视图如如图图. .其中真命其中真命题题的个数是的个数是( () )A.3 B.2A.3 B.2C.1 D.0C.1 D.072【解析解析】选选A.A.底面是等腰直角三角形的三棱柱底面是等腰直角三角形的三棱柱, ,当它的一个矩当它的一个矩形侧面放置在水平面上时形侧面放置在水平面上时, ,它的正视图和俯视图可以是全等的它的正视图和俯视图可以是全等的矩形矩形, ,因此因此正确正确; ;若长方体的高和宽相等若长方体的高和宽相等, ,它的正视图和俯视它的正视图和俯视图可以是全等的矩形图可以是全等的矩形, ,因此因此正确正确; ;当圆柱侧放时当圆柱侧放时( (即侧视图为即侧视图为圆时圆时),),它的正视图和俯视图可以是全等的矩形它的正视图和俯视图可以是全等的矩形, ,因此因此正确正确. .直直观图如图所示观图如图所示. .73
