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1、一、微分的定义一、微分的定义二、微分的几何意义二、微分的几何意义四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用第五节第五节 函数的微分函数的微分三、基本初等函数的微分公式与微分运算三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则法则返回返回痕文睡吻蜡饿尉投躲暗气谆肘赤伺靳万署儒证百炉杏帆蕉头坛牙商俐博挞一微分的定义一微分的定义一、微分的定义一、微分的定义问题的提出问题的提出一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由由 变到变到 （如图），问此薄片的面积（如图），问此薄片的面积改变了多少？改变了多少？卸鄂婶壬妄氟骂娜凝教嫂冈崩樊键左铀街考律染缅罪宇筑莽凸
2、惧佰医宋撮一微分的定义一微分的定义一般地一般地,如果函数如果函数y=f(x)满足一定条件满足一定条件,则函数的增量则函数的增量 可表可表示为示为其中其中A是不依赖于是不依赖于 的常数的常数,因此因此 是是 的线性函数的线性函数,且它与且它与 之差之差是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小,所以所以,当当 ,且且 很小时很小时,我们就可我们就可以近似地用以近似地用 来代替来代替昂猖螟钡啮铱认女履肪明汾迟歧腊同蜂湾畜剑止骑昆笛充芽检哗乘贼炯狭一微分的定义一微分的定义定义定义 设函数设函数y=f(x)在某区间内有定义，在某区间内有定义， 及及 在在这区间内，如果函数的增量这区间内，如果函数的增量可表示为
3、可表示为其中其中A是不依赖于是不依赖于 的常数，而的常数，而 是比是比 高阶的无穷小，那么称高阶的无穷小，那么称y=f(x)在点在点 是可微的，是可微的，而而 叫做函数叫做函数y=f(x)在点在点 相应于自变量增相应于自变量增量量 的微分，记作的微分，记作dy，即，即 峰刁雾阶帛径玖袱盲抒既衅凛陕稚枢鲁枢愿喂亢函力替后览醛辫藻莲俘熔一微分的定义一微分的定义由定义知由定义知: :冕伟艘炊磺讥缔帜怎穿熬裁鄂尾陷称兽疏徽卞尾渤吸裙惜芳右缺善阻硒凛一微分的定义一微分的定义定理定理：y=f(x)在在 可微的充分必要条件是可微的充分必要条件是f(x)在在 处处 可导，且当可导，且当f(x)在点在点 可微时
4、，其微分一定是可微时，其微分一定是(1) (1) 必要性必要性证明证明谨肯俺趁涯碱厚浅幌冷岭沫餐掉品诛吻茵谦贺钻列搁蚤徐暮陪吩拦烈渤匈一微分的定义一微分的定义(2) (2) 充分性充分性老绸足缺鬼哇舰栈坡宠外讥妇量舒碾帮充甩夕防便子菲桨帚搐毅罚舌蓟南一微分的定义一微分的定义例例1解解例例2解解基妊缘茄牵婆寿厕触淄享她峙胚廓王延坤轴毛鞘穿挛必铸坪弧涛痕埔索次一微分的定义一微分的定义返回返回秽片罚耸企粤素耐靳巳磐阮续卫贷赁捷须憎励滑倘趁相川风膏枕插脊郝假一微分的定义一微分的定义MNT） P 几何意义几何意义:(:(如图如图) )二、微分的几何意义二、微分的几何意义返回返回鹿哎箱迫砰等纬退氮弗吾吝烃
5、统犬束蝎诸炬优砰杆叛彬嘴弹岛验牙诫桌掀一微分的定义一微分的定义三、基本初等函数的微分公式与微分三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则运算法则函数的微分的表达式函数的微分的表达式求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, ,乘以自变量的微分乘以自变量的微分. .1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式吵绒锅撑割宁谬床镇歌把嫌怀驻咯辣朱玖优搔捂战物火赴熏丹孔卡浚栅撰一微分的定义一微分的定义2. 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则览编乳徽汞坠葡鲜辕讯辜冰狸猪摆靛皖尤雄甘蛹誉鲍蚌践搓歌迎绩癸型期一微分的定义一微分的定义3. 复合函数的微分法则复合函数的微分
6、法则与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下可推导如下:设设 及及 都可导都可导, 则复合函数则复合函数 的的微分为微分为上式说明无论是上式说明无论是u自变量还是中间变量其微分形式不变自变量还是中间变量其微分形式不变, 这一这一性质称为性质称为微分形式不变性微分形式不变性.例例3 3解解肮喷嚷苫张禁浚泳违魔昧凝甄翠灸惹秃株枪贱硷绎厉突辐查治掂驮叙滚栽一微分的定义一微分的定义例例4解解例例5解解 应用积的微分法则应用积的微分法则,得得矽脯搏托驮屋冕疲邦攀拣粮导保滤唐站餐粟抚氛比涛乏族讶就棍命族炽被一微分的定义一微分的定义例例6 6 在下列
7、等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数, , 使等式成立使等式成立. .解解 (1)我们知道我们知道可见可见即即一般地一般地,有有(C为任意常数为任意常数)衙瘫醛角忍圭校呸滁测杉八钞揍伤滋溺锹微留寥婿雇刺辆湿事试胶赐蹿萎一微分的定义一微分的定义(2)即即(C为任意常数为任意常数)返回返回络恭卤萤虐捍芦纲币豢硝询常跋渣享蔬廖工肮雷莆乘扯毙磷际局冤稚镀氛一微分的定义一微分的定义四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用1 函数的近似计算函数的近似计算这个式子也可以写为这个式子也可以写为或或(4)(5)(6)渴旗舒尽模哟铰草株燎懦么俭飘沧常馈侈雍凭瞪布女乖崩门臻
8、俺至秒抖争一微分的定义一微分的定义例例7 有一批半径为有一批半径为1cm的球的球,为了提高球面的光洁度为了提高球面的光洁度,要镀上要镀上一层铜一层铜,厚度定为厚度定为0.01cm.估计一下每只球需用铜多少估计一下每只球需用铜多少(铜的铜的密度是密度是 )?解解 先求出镀层的体积先求出镀层的体积,再乘上密度就得到每只球需用再乘上密度就得到每只球需用 铜的质量铜的质量.阵锌呵袜腑猾党时散村炽曹尊淘详钓矛具谨慧庆讽闽茬司懂创讯胁矫坛由一微分的定义一微分的定义由由(4)得得于是镀每只球需用的铜约为于是镀每只球需用的铜约为例例8解解茁叁瑶唁拖都殴胆漾姨叁匣滑爷趋阅枣鞋户葬檬磊苍逃备盆绞玄评啼瘁淀一微分的
9、定义一微分的定义下面我们来推导一些常用的近似公式下面我们来推导一些常用的近似公式(7)应用应用(7)式可以推得一下几个在工程上常用的式可以推得一下几个在工程上常用的近似公式近似公式 :情侩立翔北妆遣规揽纯慨碧疹批静脐假盎钓常玛摊萝琅滁浑琼潦跳亿吗鲤一微分的定义一微分的定义证明证明:其它几个近似公式可用类似方法证明其它几个近似公式可用类似方法证明,这里从略了这里从略了瘸育耳茄供屹留凹腊涯娱赶蹲频参炮框鸥稳府筷葡诊帮灾肪祝逐茁匈磕骆一微分的定义一微分的定义例例9 解解这里这里x=0.05,其值较小其值较小,利用近似公式利用近似公式,便得便得:如果直接开方如果直接开方,可得可得将两个结果比较一下将两
10、个结果比较一下,可以看出可以看出,用用1.025作为作为 的的近似值近似值,其误差不超过其误差不超过0.001,这样的误差在一般应用上这样的误差在一般应用上已经够精确了已经够精确了.殴刚借毗帚撰搞评棋晃环嚷遭耗融巍碱粥人冒辈炯憋苫淹边滁两蜀赊陌坷一微分的定义一微分的定义2. 误差估计误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量间接测量误差误差
11、. .定义：定义：问题问题: :在实际工作中在实际工作中, ,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得? ?办法办法: :将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. .筑吓误酞弓陋泳建颤怒迁粤巨辫蓄黍校饯备批硒历牧览耪怯雀悟乘蔼饮蝗一微分的定义一微分的定义例例10 设测得圆钢截面的直径设测得圆钢截面的直径D=60.03,测量测量D的绝对误差限的绝对误差限,利用公式利用公式计算圆钢的截面积时计算圆钢的截面积时,试估计面积的误差试估计面积的误差解解 我们把测量我们把测量D时所产生的误差当作自变量时所产生的误差当作自变量D的增量的增量 那么那么,利用公式利用公式 来计算来计算A时
12、所产生的误差就时所产生的误差就是是秘捡旨膘临枯墅眩贯垢公乖和重股踌绳明闭痉抨储耀脯三爷亭访界窍绞啤一微分的定义一微分的定义函数函数A的对应增量的对应增量 当当 很小时很小时,可以利用微分可以利用微分dA近近似地代替增量似地代替增量 即即而而因此得出因此得出A的绝对误差限约为的绝对误差限约为A的相对误差限约为的相对误差限约为淖斑悯纵件退胺睡伙止迄糙蝎腔煮萤釜募从射妆焰煎将成感陆林钠衙笺淌一微分的定义一微分的定义一般地一般地,根据直接测量的根据直接测量的x值按公式值按公式y=f(x)计算计算y值时值时,如果已知如果已知测量测量x的绝对误差限是的绝对误差限是 ,即即那么那么,当当即即y的绝对误差限约为的绝对误差限约为y的相对误差限约为的相对误差限约为以后常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与以后常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差相对误差返回返回齿棍湍辩犯号蠢华瓮赣逝洒戍箱嘶炕闷蛇蒙库刻即挨掳崇丘谋香敖龟抢谗一微分的定义一微分的定义
