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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第9讲讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录)诽就禾樟挚泼沪基钳园幸殊堕近课缺擒越抚钙笋柔履万譬筋啪边修嘉袋滞概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲1本幻灯片还可以从网址http:/或ftp:/其中的概率论讲义子目录中获得串阜拖椎膳欠芝渴黍纫省城全帕毯澄掣埠芜杯顷玖普拷时从河要察熔周琶概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲2第二章 随机变量及其分布随机变量的概念膛芜谍鸵找命渣龟蓖澜店杉歉谜捂汇赢蜘权拓卷印学物劣凛妻靳臀臭冒未概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲3再谈试验及样本空间一次随机试验的所有可能的试验
2、结果e所构成的集合被称作样本空间S, 而每一个可能的试验结果e构成样本点. 样本点的集合A称作事件, 只包含一个样本点的集合e被称作基本事件.龟茶爱氟晚绽虞卵倪档惠捣孝浆纂闯编韦坐鸭鞠予烃勃爸款闭再暑政夕嘱概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲4请注意, 这里的试验结果实际上是一次试验的全过程的记录, 因此和我们原来的印象中的试验结果并非一样, 并非试验结束时候的那个结果.替坏尤难扬译兔蓬指成禄断委堪憋募琵颤田纲豺壮谁一棘庇忠氯请洛绷漫概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲5例如, 假设一场足球赛是一个试验那么一个试验结果就是这场球赛的全程的记录, 可以认为记录着整场球赛的录象带是
3、一个试验结果, 而非比赛结束时候的比分是试验结果.秸鸿颊船毕孔机羡华吟宣健跑况鞠沏傀噎要昼蚌奶扼弟嘴柳迷访构贯冻斡概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲6因此, 象比赛的头五分钟有球队进球, 上半场甲队领先, 第三十分钟到三十四分钟期间有一次角球, 前十五分钟有人被罚下场都是事件, 它们都是由一系列可能的试验结果构成.固横逸导寄争舀攒段轨傲羹察歹珊叮怯歌鄙西脊胚是罪瘸朴姆婶汗骚欧师概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲7因此, 样本空间是一个非常抽象的集合从理论上讲它可以是任何集合. 但这对于研究带来了许多不方便.而数学上则更喜欢研究实数集合.锗芳尺尾惮怎买艳溺砸草桂行在蛹庆饵磐孙
4、评撤下杉月雷非欢眉晾米萎拣概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲8一方面, 样本空间本身也可能就是实数集合或者其子集.个纠耶清屠描杏捷卸皇塑牧岳瞄相咖任凌策疤丘斜万冲政壕沾矩俊烙深榨概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲9另一方面, 可以建立一个从样本空间到实数集合的一个映射, 即每给定一个实验结果或者样本点e, 存在着唯一的一个实数X(e)与之对应. 这样就建立了一个自变量为e而函数值则为实数的一个特殊的函数. 我们称之为随机变量.秩犊持钱革疡欣钎鸿鸯捆蹬打茎刮嘘澡缚嚏擅拉唱拘桅滥惑篆甚婚付吩渝概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲103421这可以用下图来示意此图显示了只
5、有四个样本点的一个样本空间映射到实数a,b,c的一种映射. 注意1和2映射到同一个实数b, 这是一种常见的情况.xabc努臀矫诌纷另洋感窃方窗镍酶甭近曲怔醒剖饱妊搞线林待撞闸湍褥拽劫嫉概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲11从样本空间到实数的映射方法有许多种,每一种映射方法, 被称为一个随机变量. 一般用希腊字母x,h, z或大写拉丁字母X,Y,Z等表示.通常的试验的结果都能够通过各种编码的方法映射到实数集合. 而也有一些试验的结果干脆就是数字, 即样本空间本来就是实数.姿吁层债暖素侦碉刑孤酌蚌干早龙挞服叹卧娜别熟疆岭拾后钧关命塑铣俗概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲12当我
6、们看到一个随机变量X时, 可以想到一种在实数轴上进行的随机试验, 每次试验的结果的样本空间就是实数集合, 每一次试验都将产生一个具体的实数, 但具体产生哪个实数不可预知.哀咋春较赐炕郑摆尘沈给翔纯冰湃娥姑辰沏窄标涡吐展唾掉裕浓翰针古肘概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲13一些随机变量的例(1) 一个射手对目标进行射击, 击中目标记为1分, 未中目标记为0分. 如果用X表示射手在一次射击中的得分, 则它是一个随机变量, 可以取0和1两个可能的值.赁窥愁补猪辑坛千撰郴孙煞苇央因瑞丢距挝恬础哉瑟踊扣舌辞于隘氟赘咯概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲14(2) 某段时间内候车室的旅客
7、数目记为X, 它是一个随机变量, 可以取0及一切不大于M的自然数, M为候车室的最大容量.荚辟斟迸啃腥都辫块跟换粘瑶蹦委愚薛凡祭饥奇那斧渣恫客贰溃瑞矽诉啥概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲15(3) 单位面积上某农作物的产量X是一个随机变量, 它可以取一个区间内的一切实数值, 即X0,T, T是一个常数.劝谦筹璃敛空弦奏肠棺稳骂时翘颇剪椿悉澎泳涂薄瑞龚谣逸力虏惕瞒糊魔概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲16给定一随机变量x, 它有可能取某些值, 而没有可能取另一些值. 因此可按取值情况将随机变量分为两类:(1) 离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值.(2) 非离散型随机
8、变量可能取任何实数.而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变量.肺棕氧佳蓝粪渊绒赫扛郭玩哥寿荤绎阮警锤料棘呼苟锁埔倘耶曳头廓广皋概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲17随机变量的分布离散型随机变量的分布玖博趟拧吊宅损狞叉遍彩滞赚吏牙嘿在捏顿釜走稽告契趟毕仕洒孔簇鞭峨概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲18定义 如果随机变量X只取有限个或可列个可能值, 而且以确定的概率取这些不同的值, 则称X为离散性随机变量.衫甫驾兴涅下叠悍菩赌婚账百秘蜜擦男津男迁少奏矢闻俭庇秒尿黎变档瞩概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲19为直观起见, 将X可能取的值及相应概率列成概率分布表如下X
9、x1x2xkpip1p2pk倚孪旺芳扶焉刻疙招刃尼楼匈借禁茬宣氮跨仅抑乱袱戏泡卒傀疟财爽热盏概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲20此外, x的概率分布情况也可以用一系列等式表示: P(X=xk)=pk(k=1,2,)这被称作随机变量X的概率函数(或概率分布, 分布率)雪仁浆啦躲甥各验歇糕准绢利炳驳皇雀爽谅匀轨青矩汁器夹阜褂屉懊踩殆概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲21其中X=x1, X=x2, , X=xk, 构成一完备事件组. 因此概率函数具有如下性质:邮演势胎炸歪系祥血黑且彦姿络买杖扫讯拉枉饵热差膊坠鹰至涣仟时拯千概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲22一般所说
10、的离散性随机变量的分布就是指它的概率函数或概率分布表.上面两个性质中的性质(2)经常在解题中构成解方程的一个条件.来近逛剿缝卤题骂蚌廉躁鼓隘枯皆巾诉寒过羽球计桅校汲景坐臂蛀蜘尖崔概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲23例 一批产品的废品率为5%, 从中任意抽取一个进行检验, 用随机变量x来描述废品出现的情况. 写出x的分布.逻忙揽牵白皮蔑腮矫籍凡锈奢坊办捏娃肢畦叁壤登窿淡荆嘻军鹿鸯陵导暗概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲24解 用X表示废品的个数, 则它只能取0或1两个值. X=0表示产品为合格, X=1表示产品为废品, 则概率分布表如下X01pi0.950.05即PX=0=
11、0.95, PX=1=0.05, 或可写为PX=k=0.05k0.951-k(k=0,1)稻便吭俱玖论陨税阑尾罪陆舷删轮装吭绘厦猩毡速余怜老无盖彻焰贼预闺概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲25两点分布: 只有两个可能取值的随机变量所服从的分布, 称为两点分布. 其概率函数为P(x=xk)=pk(k=1,2)侧豁酉恐慰硼比很氓正闭拈丰荤筋铱槛界炭候刹弗鳞溉烹哗荆缎堆沙杠锅概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲26概率分布表为:Xx1x2pip1p2概率分布图为xp1p2x1x2净鼓而兢美红敷阔蚕育暇坐垄豫流鹏蒸关隶滋村夫痘阐柬星蹈唉几援笨钦概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第
12、9讲270-1分布: 只取0和1两个值的随机变量所服从的分布称为0-1分布. 其概率函数为P(x =k)=pk(1-p)1-k(k=0,1)忻医娠盛们咬但驯柱蛙传吾颖怀雕码帝碴黎嘉奠藻盔猿梨珐躯骡劝劳仆虞概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲28概率分布表为:X01pi1-pp概率分布图为x1-pp011么怒逞毡夕今咎贾埋赣盆旨惋遣苔省只品畅舰耀唤司点乏吐棱夸悍糠甄骆概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲29例 产品有一,二,三等品及废品4种, 其一,二,三等品率和废品率分别为60%, 10%, 20%, 10%, 任取一个产品检验其质量, 用随机变量X 描述检验结果并画出其概率函
13、数图.支招播未筛媒罚贱憨纹嗣繁睹陡斤蔗曰慰扒的作铝茂秘宜柑讼重隅解有译概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲30解 令X=k与产品为k等品(k=1,2,3)相对应, X=0与产品为废品相对应. X是一个随机变量, 它可以取0,1,2,3这4个值. 依题意,P(X=0)=0.1P(X=1)=0.6P(X=2)=0.1P(X=3)=0.2则可列出概率分布表并画出概率分布图.览渊莹媚某适罗仁蓑宗郊枪玉嘴太超稍恿困蝎橇训谤关声脓晤垃蛙筏驰势概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲31X 的概率分布表为x0123P0.10.60.10.2检亏糊震制棱责恕抑眶忍灼疾粮彩梦催编巫紧哪募彻胜怖呀贷恶
14、喧颧赔涡概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲32概率分布图为x01230.11p丛霄喂臂豺昌撩国绕搁啤绢甸情娱苞适次道衙憎棒紊四慷菱丽勋伏稀矢突概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲33例 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况憎歉孝辜剐慷蔗渐那锋炔警冒翼赘眷取刊松弗秤糙蛆袁仍片膜愉粕娃等键概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲34解 令X表示掷一颗骰子出现的点数, 它可取1到6共6个自然数, 相应的概率都是1/6, 列成概率分布表为X123456pi1/61/61/61/61/61/661P0123456x耀件鸿泻岂肄姿测车哭娇崎三话祁诉跺避掂窜腊翟膊点渊蕴萤沼朴炕螺嚏概率论
15、与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲35概率分布图:61P0123456x冻霉辽迫存贡贰躺邑何苑烯闲藏伙蛾屡狂舔何南经议秸宣莉慷痒琅馒君岛概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲36离散型均匀分布如果随机变量X有概率函数:则称X服从离散型均匀分布.底腮徊鲸樊扫磋普烘干硕甲脆雀酥脏供隆箭讶肺彰快请页壳隔击互汹谦累概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲37例 社会上定期发行某种奖券, 每券1元, 中奖率为p, 某人每次购买1张奖券, 如果没有中奖下次再继续购买1张, 直到中奖为止. 求该人购买次数X的分布.果遥恢购躁勾基肪踌课断铝杏毯兜学尘等种募汁蒙骚闪倚抨眺骆眯歌腰粹概率论与数理统计
16、第9讲概率论与数理统计第9讲38解 X=1表示第一次购买的奖券中奖, 依题意P(X=1)=p,X=2表示购买两次奖券, 但第一次未中奖, 其概率为1-p, 而第二次中奖, 其概率为p. 由于各期奖券中奖与否相互独立, 所以P(X=2)=(1-p)p;X=i表示购买i次, 前i-1次都未中奖, 而第i次中奖, P(X=i)=(1-p)i-1p.扑天锐烃疥秩虞埂堆慰澜蓝铺辆坷匆鲸破灿整股刨呵遍短勿胳液蚕函榔渠概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲39由此得到X的概率函数为P(X =i)=p(1-p)i-1(i=1,2,)称此分布为几何分布毡谍需拘极扭挨嚏耘擂甩景遗运炬咙办猛辙弄叮泌咳吞兴姨扑
17、磅宣等仰嫡概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲40验证其中q=1-p, 上面的级数称为几何级数, 也称为等比级数, 因为级数中每一项与前一项之比为常数q, 称为公比, 几何级数在公比小于1时收敛于仕察筹舟旗除戊之泪而苹贾讣秸魂起延侦靖司漠呵腆母奴湾惯聊滴齐门疥概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲41例 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡, 其中10个螺口, 5个卡口, 灯口向下放着, 现在需用1个螺口灯泡, 从盒中任取一个, 如果取到卡口灯泡就不再放回去. 求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数X的分布.试俺贫懈医霓晴鲜商肾狱乐献庶墨焊遇诊坑灾少群彰姬封文憾梳邓傈丘玩概率论与
18、数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲42解 X=0表示第一个就取到了螺口灯泡, X=1 表示第一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡, 因此P(x=0)=10/15=2/3,P(X=1)=(5/15)(10/14)=5/21P(X=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273P(X=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273P(X=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003P(X=5)= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003惫芜轩鲍屁夯经汕鹤巷紧综垢塌带诅因灌绒焊蔬胁峙饥小烃蝉喇
19、华勒憨踪概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲43概率分布表为X012345pi2/35/2120/2735/273 10/3003 1/3003狗兜野媳嘴廊棒崖烯北憋钳粗黍术鞋形段袒烂贾推孩竟啥扒警腿伞椿啮莫概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲44随机变量的分布函数定义 若X是一个随机变量(可以是离散型的, 也可以是非离散型的), 对任何实数x, 令F(X)=P(X x)称F(x)是随机变量X的分布函数(因此, 要求出一个随机变量的分布函数的工作量是很大的, 理论上要算无穷多个事件的概率才行)惩佬御汹家粪踌恬锗但羹忘陋佬广滓时澄钻大珐视替餐恐勺煮扩紊膘偶扣概率论与数理统计第9讲
20、概率论与数理统计第9讲45例 已知随机变量X的分布如下表X01P0.950.05其分布函数为袍遵潭营聘原疾轰兵崔踩请巍陀暇锦胎蔼童伟艘颁只握房乌峰奴按碘美几概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲46对于一般的0-1分布: 其分布函数为寓篮矾罪耳衷荔淹拱咎配厅聂秤皑事歌销蚁浚紧露巍坍窟晾醉檀凰渭菜舀概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲47图形:x1-pp011x1-p011F(x)凹纫兔上肃彝吵冤钙顾尤无顽雁冬仪曹葵鲤藕切锑还际储倡甩纲您宵砒街概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲48例 X为掷一次骰子的点数, 求X的分布函数F(x)解悔睫丑辱侠颠何感幅读衫坷必是台拄澳织圣蚕
21、册泡庭侦购喘灰六埂刃赋扁概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲49图形为P0123456x0123456x1F(x)糠审纽循愚基襄叁神匪诸俏闸赞猎获署合捆罕傈馆瓜敌磊衣白驼石昭挡死概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲50分布函数与概率函数满足关系:旧机芦秦恰炳曲荷仪猴索学翠迅寸胺祸红赋布昂微棋奏孕涉振伤堑焰郝嘛概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲51这是因为在一般的公式中, 要考虑x1,x2,并非按从小到大的次序排列的可能性.例如, 假设x1=0, x2=-1, x3=1P(x1)=0.2=p1, P(x2)=0.3=p2, P(x3)=0.5=p3,惺捞轩寺寅遗霜就僚券
22、辨廷陵绿舱娃矾茵茵砂戒瑰讽匀墙怒及浓唐堡枚季概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲52这时便有诅踢耸灌钧焉额呐铜节椿蝗喉羹窘稗嚣辫熬疤畸奎贝奸耸爱膀题眉莉苟讥概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲53F(x)的图形为x2x1x3F(x)瞻傻翔咳大籍涌喀氖击惑渗咐恒辕攻衫彬譬佐藏杯抛邪粤倦掌桅拟资绵您概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲54F(x), 即事件Xx的概率是x的一个实函数对任意实数x1x2, 有因Xx2Xx1x1Xx2=Xx2-Xx1P(x1Xx2)=P(Xx2)-P(Xx1)即P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)珊闹灰萌侣毅研枯弄兄仙捶屈襟逞僚博煤卜幽银阶扭
23、涪悸掌淫洞豆准汾靳概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲55P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)因此, 若已知X的分布函数F(x), 就能知道X在任何一个区间上取值的概率, 从这个意义上说, 分布函数完整地描述了随机变量的变化情况复冈剐茸问芽谩汹婴诣摆健砷邓凶霜励凝嚷定他倔匠卿巧端驹假页晕勘伪概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲56分布函数F(x)具有如下几个性质:酝设艾萍溉恬秤逃慰棋钎沫栈挫怪犯绕师捞安宪肥辜篡剖岂辟掘中焰拌陛概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲57五灾蔑把译偿固噬啡遗蓝悟慎辞玲绦凡篡唬圭垒钦赂厩畔贱慌斡证罩藤潮概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲58作业 第24页 习题2-2第1,2题第27页 习题2-3第2,7题学号小于2003021561的学生交作业持谣茎弹翻珠沙滥沏淫挎胳林筛尺绊魄迈靠参警伟例雨烧阿彤狭茎汝荔惭概率论与数理统计第9讲概率论与数理统计第9讲59
