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1、点集拓扑学期末考试点集拓扑学期末考试一、单项选择题每题一、单项选择题每题 1 1 分分1、已知X a,b,c,d,e,以下集族中， 是X上的拓扑.T X,a,a,b,a,c,eT X,a,b,c,a,b,d,a,b,c,eT X,a,a,bT X,a,b,c,d,e答案：2、设X a,b,c，以下集族中,是X上的拓扑.T X,a,a,b,cT X,a,a,b,a,cT X,a,b,a,cT X,a,b,c3、已知X a,b,c,d,以下集族中， 是X上的拓扑.T X,a,a,b,a,c,dT X,a,b,c,a,b,dT X,a,b,a,c,dT X,a,b4、设X a,b,c，以下集族中,是
2、X上的拓扑.T X,b,c,a,bT X,a,b,a,b,a,cT X,a,b,a,cT X,a,b,c5、已知X a,b,c,d,以下集族中， 是X上的拓扑.T X,a,b,a,c,dT X,a,b,a,c,dT X,a,b,a,c,dT X,a,c,a,c6、设X a,b,c，以下集族中,是X上的拓扑.T X,a,b,b,cT X,a,b,b,cT X,a,a,cT X,a,b,c7、已知X a,b,c,d，拓扑T X,a,则b=Xbb,c,d8、 已知X a,b,c,d，拓扑T X,a,则b,c,d=1答案：答案：答案：答案：答案：答案：Xbb,c,d答案：9、 已知X a,b，拓扑T
3、X,a,则a=Xab答案：10、已知X a,b，拓扑T X,a,则b=Xab答案：11、已知X a,b,c,d，拓扑T X,a,则a=Xa,bb,c,d答案：12、已知X a,b,c,d，拓扑T X,a,则c=Xa,cb,c,d答案：13、设X a,b,c,d，拓扑T X,a,b,c,d,则X的既开又闭的非空真子集个数 1 2 3 4答案：14、设X a,b,c，拓扑T X,a,b,c,则X的既开又闭的非空真子集的个数为 1 2 3 4答案：15、设X a,b,c，拓扑T X,b,b,c,则X的既开又闭的非空真子集的个数为 0 1 2 3答案：16、设X a,b，拓扑T X,b,则X的既开又闭
4、的子集的个数为 0 1 2 3答案：17、设X a,b，拓扑T X,a,b,则X的既开又闭的子集的个数为 1 2 3 4答案：18、 设X a,b,c， 拓扑T X,a,b,a,b,b,c,X的既开又闭的非空真子集个数 1 2 3 4答案：19、在实数空间中，有理数集Q的内部Q是 Q R -Q R答案：20、在实数空间中，有理数集Q的边界(Q)是 Q R -Q R答案：221、在实数空间中，整数集Z的内部Z是Z R-Z R答案：22、在实数空间中，整数集Z的边界(Z)是Z R-Z R答案：23、在实数空间中，区间0,1)的边界是0,10,1(0,1)答案：24、在实数空间中，区间2,3)的边界
5、是2,32,3(2,3)答案：25、在实数空间中，区间0,1)的内部是0,10,1(0,1)答案：26、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则以下关系中错误的选项是d(AB) d(A)d(B)AB ABd(AB) d(A)d(B)A A答案: 27、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则以下关系中正确的选项是d(AB) d(A)d(B)A B A Bd(AB) d(A)d(B)A A答案: 28、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则以下关系中正确的选项是d(A B) A BA B A Bd(AB) d(A)d(B)d(d(A) Ad(A)答案: 29、已知X是一个离散拓扑空间，A
6、 是X的子集,则以下结论中正确的选项是d(A) d(A) X Ad(A) Ad(A) X答案：30、已知X是一个平庸拓扑空间，A 是X的子集,则以下结论中不正确的选项是 假设A ,则d(A) 假设A x0,则d(A) X A 假设 A=x1,x2,则d(A) X 假设A X, 则d(A) X答案：331、已知X是一个平庸拓扑空间，A 是X的子集,则以下结论中正确的选项是 假设A ,则d(A) 假设A x0,则d(A) X 假设 A=x1,x2,则d(A) X A 假设A x1,x2,则d(A) A答案：32、设X a,b,c,d，令B a,b,c,c,d,则由B产生的X上的拓扑是 X,c,d,
7、c,d,a,b,c X,c,d,c,d X,c,a,b,c X,d,b,c,b,d,b,c,d答案：33、 设X是至少含有两个元素的集合，p X,T G X | pG是X的拓扑， 则 是T的基.B p,x| x X pB x| x XB p,x| x XB x| x X p答案：34、 设X a,b,c,则以下X的拓扑中以S X,a为子基. X,a,a,c X,a X,a,b,a,b X, 答案：35、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭答案：36、平庸空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭答案：37、实数空间R中的任一单点集是 ( ) 开集 闭集
8、既开又闭 非开非闭答案：38、实数空间 R 的子集 A =1,1112,3 ,4,则A R A0 A答案：39、在实数空间 R 中，以下集合是闭集的是 整数集a,b 有理数集 无理数集答案：40、在实数空间 R 中，以下集合是开集的是 整数集 Z 有理数集 无理数集 整数集 Z 的补集Z答案：41、已知X 1,2,3上的拓扑T X,1,则点 1 的邻域个数是 1 2 3 4答案：442、已知X a,b,则X上的所有可能的拓扑有 1 个 2 个 3 个 4 个答案：43、已知X=a,b,c,则X上的含有个元素的拓扑有个 3 5 7 9答案：44、设(X,T )为拓扑空间,则以下表达正确的为 (
9、)X T ,TX T ,T当T T时,UT U T 当T T时,UT U T答案：45、在实数下限拓扑空间R中，区间a,b)是 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：46、设X是一个拓扑空间，A,B X,且满足d(A) B A,则B是 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：47、设X 1,2,3,T=, X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A 1,2,则X的子空间A的拓扑为( )T ,2,1,2T , X,1,2,1,2T , A,1,2T , X,1,2答案：48、设X 1,2,3,T=, X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A 1,3,则X的子空间A的拓扑为( )T ,1,
10、3,1,3T , A,1T , X,1,3, 1,3T , X,1答案：49、 设X 1,2,3,T=, X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A 2,3,则X的子空间A的拓扑为( )T ,3,2,3T , A,2,3T , X,2,3,2,3T , X,3答案：50、 设X 1,2,3,T=, X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A 1,则X的子空间A的拓扑为( )T ,1T , A,1,2T , X,1,3, 1,3T , X,1答案：51、设X 1,2,3,T=, X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A 2,则X的子空间A的拓扑为( )T ,2,1,2T , A5T , X,2T ,
11、 X,1,2答案：52、设X 1,2,3,T=, X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A 3,则X的子空间A的拓扑为( )T ,2,1,2T ,X,1,3T , X,3T ,3答案：53、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为T ,ZT P (Z)T ZT Z答案：54、设X X1 X2 X6是拓扑空间X1, X2, X6的积空间.P1是X到X1的投射，则P1是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：55、设X X1 X2 X6是拓扑空间X1, X2, X6的积空间.P2是X到X2的投射，则P2是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：56、设X
12、X1 X2 X6是拓扑空间X1, X2, X6的积空间.P3是X到X3的投射，则P3是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：57、设X X1 X2 X6是拓扑空间X1, X2, X6的积空间.P4是X到X4的投射，则P4是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：58、设X X1 X2 X6是拓扑空间X1, X2, X6的积空间.P5是X到X5的投射，则P5是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答案：59、设X X1 X2 X6是拓扑空间X1, X2, X6的积空间.P6是X到X6的投射，则P6是 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射答
13、案：60、设X1和X2是两个拓扑空间，X1 X2是它们的积空间,A X1，B X2，则有AB ABAB AB(AB) A B(AB) (A)(B)答案： 61、有理数集Q是实数空间R的一个 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对答案：662、整数集Z是实数空间R的一个 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对答案：63、无理数集是实数空间R的一个 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对答案：64、设 Y 为拓扑空间 X 的连通子集,Z 为 X 的子集,假设Y Z Y,则 Z 为( )不连通子集 连通子集 闭集 开集答案：65、设X1, X2是平庸空间，则积空间X1 X2是 离散空间 不一定是平庸
14、空间 平庸空间 不连通空间答案：66、设X1, X2是离散空间，则积空间X1 X2是 离散空间 不一定是离散空间 平庸空间 连通空间答案：67、设X1, X2是连通空间，则积空间X1 X2是 离散空间 不一定是连通空间 平庸空间 连通空间答案：68、实数空间 R 中的连通子集 E 为( ) 开区间闭区间区间 以上都不对答案：69、实数空间 R 中的不少于两点的连通子集 E 为( ) 开区间闭区间区间 以上都不对答案：70、实数空间 R 中的连通子集 E 为( ) 开区间闭区间区间 区间或一点答案：71、以下表达中正确的个数为单位圆周S1是连通的； R0是连通的7R2(0,0)是连通的R2和R同
15、胚 1 23 4答案：二、填空题每题二、填空题每题 1 1 分分1、设X a,b,则X的平庸拓扑为 ;答案：T X,2、 设X a,b,则X的离散拓扑为 ;答案：T X,a,b、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间 R 中，有理数集 Q 的导集是_. 答案： R5、xd(A)当且仅当对于x的每一邻域U有答案：U (Ax) 6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= ;答案：X7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;答案：X8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ;答案：X9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;答案：
16、X10 、 设X 1,2,3,X的 拓 扑T X,2,2,3, 则X的 子 集A 1,2的 内 部为 ;答案：211 、 设X 1,2,3,X的 拓 扑T X,1,2,3, 则X的 子 集A 1,3的 内 部为 ;答案：112 、 设X 1,2,3,X的 拓 扑T X,1,2,3, 则X的 子 集A 1,2的 内 部 为答案：113 、 设X 1,2,3,X的 拓 扑T X,2,2,3, 则X的 子 集A 1,3的 内 部为 ;答案：14、设X a,b,c,则X的平庸拓扑为 ;答案：T X,15、设X a,b,c,则X的离散拓扑为答案：T X,a,b,c,a,b,a,c,b,c16 、 设X
17、1,2,3,X的 拓 扑T X,2,3,2,3, 则X的 子 集A 1,3的 内 部为 ;答案：317 、 设X 1,2,3,X的 拓 扑T X,1,3, 1,3, 则X的 子 集A 1,2的 内 部为 ;答案：1818、f : X Y是拓扑空间X到Y的一个映射，假设它是一个单射，并且是从X到它的象集f (X)的一个同胚，则称映射f是一个 .答案：嵌入19、f : X Y是拓扑空间X到Y的一个映射， 如果它是一个满射， 并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 ;答案：商映射20、 设X,Y是两个拓扑空间，f : X Y是一个映射， 假设X中任何一个开集U的象集f (U)是Y中的一个
18、开集，则称映射f是一个答案：开映射21、 设X,Y是两个拓扑空间，f : X Y是一个映射， 假设X中任何一个闭集U的象集f (U)是Y中的一个闭集，则称映射f是一个答案：闭映射22、假设拓扑空间X存在两个非空的闭子集A,B,使得AB , AB X,则X是一个；答案：不连通空间23、假设拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B,使得AB , AB X,则X是一个；答案：不连通空间24、假设拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则X是一个答案：不连通空间25、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足Y Z Y，则Z也是X的一个 ; 答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具
19、有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个；答案：可商性质28、 假设任意n 1个拓扑空间X1, X2, Xn,都具有性质P,则积空间X1 X2 Xn也具有性质P，则性质P称为 ;答案：有限可积性质29、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得AB X,则称X是一个；答案：不连通空间.三判断每题三判断每题 4 4 分，判断分，判断 1 1 分，理由分，理由 3 3 分分1、 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射(
20、)答案:理由：理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f : X Y是连续映射，因为对任意AY，都有1f（A) X,由于X中的任何一个子集都是开集，从而f1(A)是中的开集，所以f : X Y9是连续的.2、设T1,T2是集合X的两个拓扑，则T1T2不一定是集合X的拓扑( )答案:理由：理由：因为1T1,T2是X X的拓扑，故X X, , T1，X X, , T，从而X X, , T1T2；对任意的A A, ,B B T1 T，则有A A, ,B B T1且A A, ,B B T，由于 T1, T2是X X的拓扑，故A A B B T1且A A B B T2，从而A A B B T1 T； 对任意
21、的T T1 1 T2 2， 则T T1 1, ,T T2 2， 由于 T1, T2是X X的拓扑， 从而U TU T1,U TU T2,故U TU T1 T；综上有 T1 T也是X的拓扑3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射答案:理由：理由：设f : X Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,易知它们在f下的原象分别是X,均为X中的开集，从而f : X Y连续.4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则dA答案:理由：理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以p是X的开子集，且有pAp，即pdA,从而d(A) .5、设A为平庸空间XX多于一点
22、的一个单点集，则dA答案：理由：理由：设A y,则对于任意x X,x y,x有唯一的一个邻域X，且有y X (A x),从而X (A x) ，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X (A y) ,所以有dA X A.6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则dA X答案：理由：理由： 对于任意x X,因为A包含多于一点， 从而对于x的唯一的邻域X， 且有X (A x) ，因此x是A的一个凝聚点，即xd(A)，所以有dA X.7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得AB , AB X答案：理由：理由： 设X是一个不连通空间，设A,B是X的两个非空的隔离
23、子集使得AB X,显然10AB ，并且这时有:B B X (B A)(B B) B从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了A,B满足AB , AB X.8、假设拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间( )理由：理由：这是因为假设设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令B A，则A,B都是X中的非空闭子集， 它们满足AB X， 易见A,B是隔离子集， 所以拓扑空间X是一个不连通空.五简答题每题五简答题每题 4 4 分分1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且A B.试说明d(A) d(B).答案：对于任意xd(A),设U是x的任何一个邻域，则有U
24、 (Ax) ,由于A B，从而U (Bx) U (Ax) ，因此xd(B)，故d(A) d(B).2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f : X Y,g :Y Z都是连续映射，试说明gf : X Z也是连续映射.答案：设W是Z的任意一个开集，由于g :Y Z是一个连续映射，从而g1(W)是Y的一个开集，由f : X Y是连续映射，故f1(g1(W)是X的一开集，因此(gf )1(W) f1(g1(W)是X的开集，所以gf : X Z是连续映射.3、设X是一个拓扑空间，A X.试说明：假设A是一个闭集，则A的补集A是一个开集.答案：对于x A,则x A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U (A
25、x) ,因此U A ，即U A,所以对任何xA,A是x的一个邻域，这说明A是一个开集.4、设X是一个拓扑空间，A X.试说明：假设A的补集A是一个开集，则A是一个闭集.答案：设x A,则xA,由于A是一个开集，所以A是x的一个邻域，且满足A A ,因此x A,从而A A,即有A A，这说明A是一个闭集.5、在实数空间 R 中给定如下等价关系：x y x,y (,1)或者x, y 1,2)或者x,y 2,)设在这个等价关系下得到的商集Y 0,1,2,试写出Y的商拓扑 T.11答案：T ,Y,0,0,16、在实数空间 R 中给定如下等价关系:x y x, y(,1或者x, y(1,2或者x, y(
26、2,)设在这个等价关系下得到的商集Y 1,2,3,试写出Y的商拓扑 T .答案：T ,Y,3,2,37、在实数空间 R 中给定如下等价关系：x y x,y (,1)或者x, y 1,2)或者x,y 2,)设在这个等价关系下得到的商集Y 1,1,2,试写出Y的商拓扑 T.答案：T ,Y,1,1,18、在实数空间 R 中给定如下等价关系：x y x,y (,1)或者x, y 1,2)或者x,y 2,)设在这个等价关系下得到的商集Y 2,1,2,试写出Y的商拓扑 T.答案：T ,Y,2,2,19、在实数空间 R 中给定如下等价关系:x y x, y(,1或者x, y(1,2或者x, y(2,)设在这
27、个等价关系下得到的商集Y 0,2,3,试写出Y的商拓扑 T .答案：T ,Y,3,2,310、在实数空间 R 中给定如下等价关系:x y x, y(,1或者x, y(1,2或者x, y(2,)设在这个等价关系下得到的商集Y 0,2,4,试写出Y的商拓扑 T .答案：T ,Y,4,2,411、在实数空间 R 中给定如下等价关系:x y x, y(,1或者x, y(1,2或者x, y(2,)12设在这个等价关系下得到的商集Y 1,2,4,试写出Y的商拓扑 T .答案：T ,Y,4,2,4六、证明题每题六、证明题每题 8 8 分分1、设f : X Y是从连通空间X到拓扑空间Yf (X)是Y的一个连通
28、子集.证证 明明 ： 如 果f (X)是Y的 一 个 不 连 通 子 集 ， 则 存 在Y的 非 空 隔 离 子 集A,B使 得f (X) AB 3 分于是f1(A), f1(B)是X的非空子集，并且：( f1(A) f1(B)( f1(B) f1(A) ( f1(A) f1(B)( f1(B) f1(A) f1(AB)(AB) 所以f1(A), f1(B)是X的非空隔离子集此外，f1(A) f1(B) f1(A B) f1( f (X) X， 这 说 明Xf (X)是Y的 一 个 连 通 子集. 8 分2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集 , 证明: 如果A和B B是X的两个无交的开集使得Y
29、AB,则或者Y A,或者Y B.证明：证明：因为A A, ,B B是X X的开集，从而A A Y Y, ,B B Y Y是子空间Y Y的开集.又因Y Y A A B B中，故Y Y ( (A A Y Y) ) ( (B B Y Y) ) 4 分由于Y Y是X X的连通子集,则A A Y Y, ,B B Y Y中必有一个是空集. 假设B B Y Y ,则Y Y A A;假设A A Y Y ,则Y Y B B 8 分3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集 , 证明: 如果A和B B是X的两个无交的闭集使得Y AB,则或者Y A,或者Y B.证明：证明：因为A A, ,B B是X X的闭集，从而A A
30、Y Y, ,B B Y Y是子空间Y Y的闭集.又因Y Y A A B B中，故Y Y ( (A A Y Y) ) ( (B B Y Y) ) 4 分由于Y Y是X X的连通子集,则A A Y Y, ,B B Y Y中必有一个是空集. 假设B B Y Y ,则Y Y A A;假设A A Y Y ,则Y Y B B 8 分4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足Y Z Y，则Z也是X的一个连通子集.证明：证明：假设Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B使得Z AB.因此13Y AB 3 分由于Y是连通的， 所以Y A或者Y B,如果Y A， 由于Z Y A， 所以Z B A
31、 B ，因此B Z B ,同理可证如果Y B，则A Z也 是X的一个连通子集. 8 分5、设Y是拓扑空间X证证明明：假设Y是,则Y是X的一个连通子集.A,BYXX有非空的隔离子集使得Y AB 4 分Y,不失一般性， 设x A,对于每一个， 由于Y连通， 从而任意选取xY A及B ,矛盾，所以Y是连通的. 8 分6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果AB ,则A B.证明：证明：假设B X,则结论显然成立.下设B X,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而AB是X的子空间A的一个既开又闭的子集 4 分由于AB 及A连通，所以AB A，故A B. 8 分7、设 A 是连通空间 X 的非空真子集. 证明:A 的边界(A) .证明：证明：假设(A) ,由于(A) A A,从而 A A (A A)(A A) (A A)(A A),故A , A是X的隔离子集 4 分因为A是 X 的非空真子集 ,所以 A 和A均非空 ,于是 X 不连通 ,与题设矛盾 .所以(A) . 8 分14
