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1、小学奥数知识框架图7-6-1 归纳法7-6-2 整体法7-6 计数方法与技7 计数综合巧综合7-6-3 对应法7-6-3-1 图形中的对应关系7-6-3-2 数字问题中的对应关系7-6-3-3 对应与阶梯型标数法7-6-3-4 不完全对应关系7-6-4 递推法例题精讲例题精讲模块一、归纳法从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系【例【例 1 1】（难度等级）一条直线分一个平面为两部分两条直线最多分这个平面为四部分问（难度等级）一条直线分一个平面为两部分两条直线最多分这个平面为四部分问 5 条直条直线最多分这个平面为多少部分线最多分这个平面为多少部
2、分? ?【例【例 2 2】 （难度等级（难度等级 ）平面上）平面上 10 个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？【例【例 3 3】10个三角形最多将平面分成几个部分？个三角形最多将平面分成几个部分？【例【例 4 4】（难度等级）一个长方形把平面分成两部分，那么（难度等级）一个长方形把平面分成两部分，那么 3 个长方形最多把平面分成多少部分？个长方形最多把平面分成多少部分？【例【例 5 5】（难度等级）在平面上画（难度等级）在平面上画 5 个圆和个圆和 1 条直线，最多可把平面分成多少部分条直线，最多可把平面分成多少部分? ?【例【例 6 6】
3、在一个西瓜上切在一个西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成多少片？刀，最多能将瓜皮切成多少片？【例【例 7 7】 在一大块面包上切在一大块面包上切6刀最多能将面包切成多少块刀最多能将面包切成多少块 （注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）何方向）模块二、整体法解决计数问题时，有时要“化整为零” ，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系【例【例 8 8】（难度等级（难度等级 ）一个正方形的内部有）一个正方形的内部有 1996 个点，以正方形的个点，以正方形的 4 个顶点和内部的个顶点和内部的 1
4、996 个点为个点为小学奥数小学奥数顶点，将它剪成一些三角形问：一共可以剪成多少个三角形顶点，将它剪成一些三角形问：一共可以剪成多少个三角形? ?如果沿上述这些点中某两点之间所如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀? ?【例【例 9 9】 在一个六边形纸片内有在一个六边形纸片内有60个点，以这个点，以这60个点和六变形的个点和六变形的6个顶点为顶点的三角形，最多能剪出个顶点为顶点的三角形，最多能剪出_个个模块三、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的事实上插入
5、法和插板法都是对应法的一种表现形式一、图形中的对应关系【例【例 10 10】 （难度等级（难度等级 ）在）在 8 8 的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”“L”形（如图）形（如图） ，一共有，一共有多少种不同的方法？多少种不同的方法？【例【例 11 11】 （难度等级（难度等级 ）在）在 8 8 的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【例【例 12 12】 （难度等级（难度等级
6、 ）图中可数出的三角形的个数为）图中可数出的三角形的个数为【例【例 13 13】如如图所示，在直线图所示，在直线AB上有上有 7 个点，直线个点，直线CD上有上有 9 个点以个点以AB上的点为一个端点、上的点为一个端点、CD上的点为上的点为另一个端点的所有线段中，任意另一个端点的所有线段中，任意 3 条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB与与CD之间之间的交点数的交点数ABCD小学奥数小学奥数二、数字问题中的对应关系【例【例 14 14】有有多少个四位数，多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，满足个位上的数字比千位数字大， 千位数字比百位
7、大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？百位数字比十位数字大？【例【例 15 15】数数 3 可以用可以用 4 种方法表示为一个或几个正整数的和，如种方法表示为一个或几个正整数的和，如 3，12，21，111问：问：1999 表示表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【例【例 16 16】（2008 年国际小学数学竞赛）请问至少出现一个数码年国际小学数学竞赛）请问至少出现一个数码 3，并且是，并且是 3 的倍数的五位数共有多少个？的倍数的五位数共有多少个？三、对应与阶梯型标数法【例【例 17 17】游游乐园的门票乐园的门票 1 元元 1 张，每人限
8、购张，每人限购 1 张现在有张现在有 10 个小朋友排队购票，其中个小朋友排队购票，其中 5 个小朋友只有个小朋友只有 1 元元的钞票，另外的钞票，另外 5 个小朋友只有个小朋友只有 2 元的钞票，售票员没有准备零钱问有多少种排队方法，使售票元的钞票，售票员没有准备零钱问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？员总能找得开零钱？【例【例 18 18】（2008年第一届“学而思杯”五年级试题）学学和思思一起洗年第一届“学而思杯”五年级试题）学学和思思一起洗5个互不相同的碗，思思洗好的碗个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，学学
9、再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞， 思思一边洗，思思一边洗，学学一边拿，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法种不同的摞法【例【例 19 19】( (第七届走美试题第七届走美试题) )一个正在行进的一个正在行进的 8 人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的他们要变成并列的 2 列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，的人比右边的人要矮，那么，2 列纵队有列纵队
10、有种不同排法种不同排法四、不完全对应关系【例【例 20 20】圆圆周上有周上有 12 个点，其中一个点涂红，还有一个点涂了蓝色，其余个点，其中一个点涂红，还有一个点涂了蓝色，其余 10 个点没有涂色，以这些点为个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点 ( (蓝点蓝点) )的多的多边形称为红色边形称为红色( (蓝色蓝色) )多边形不包含红点及蓝点的称无色多边形试问，以这多边形不包含红点及蓝点的称无色多边形试问，以这 12 个点为顶点的所个点为顶点的所有凸多边形有凸多
11、边形( (边数可以从三角形到边数可以从三角形到 12 边形边形) )中，双色多边形的个数与无色多边形的个数，哪一种较中，双色多边形的个数与无色多边形的个数，哪一种较多？多多少个？多？多多少个？【例【例 21 21】有有一类各位数字各不相同的五位数一类各位数字各不相同的五位数M，它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两位，它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两位数字大另有一类各位数字各不相同的五位数数字大另有一类各位数字各不相同的五位数W，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两位数字小请问符合要求的数比左右两位数字小请问符合要
12、求的数M与与W，哪一类的个数多？多多少？，哪一类的个数多？多多少？【例【例 22 22】用用 1 元，元， 2 元，元， 5 元，元， 10 元四种面值的纸币若干张元四种面值的纸币若干张( (不一定要求每种都有不一定要求每种都有) )， 组成组成 99 元有元有P种方法，种方法，组成组成 101 元有元有Q种方法，则种方法，则Q P 模块四、递推法对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法【例【例 23 23】（难度等级难度等级 ）有一堆火柴共）有一堆火柴共 12 根，如果规定每次取根，如果规定每
13、次取 13 根，那么取完这堆火柴共有多少根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？种不同取法？【例【例 24 24】有有 10 枚棋子，每次拿出枚棋子，每次拿出 2 枚或枚或 3 枚，要想将枚，要想将 10 枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？【例【例 25 25】（难度等级难度等级 ）用）用13的小长方形覆盖的小长方形覆盖38的方格网，共有多少种不同的盖法？的方格网，共有多少种不同的盖法？【例【例 26 26】 （难度等级（难度等级 ）如下图，一只蜜蜂从）如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里处出发，回到家里 B 处，每次只能从一个蜂房爬向右处，每次只能
14、从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？小学奥数小学奥数AB【例【例 27 27】有有 20 个石子，一个人分若干次取，每次可以取个石子，一个人分若干次取，每次可以取 1 个，个，2 个或个或 3 个，但是每次取完之后不能留下质个，但是每次取完之后不能留下质数个，有多少种方法取完石子？（石子之间不作区分，只考虑石子个数）数个，有多少种方法取完石子？（石子之间不作区分，只考虑石子个数）【例【例 28 28】4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每
15、个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？【例【例 29 29】( (2009 年清华附中考题年清华附中考题) )设设A、E为正八边形为正八边形ABCDEFGH的相对顶点，顶点的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除处有一只青蛙，除顶点顶点E外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点E时青蛙就时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点停止跳动，则青蛙从顶点A出发恰好跳出发恰好跳10次后落到次后落到E的方法总数为的方法总数为种种【例【例 30 30】( (2006 年年“迎春杯”“迎春杯”中年级组决赛中年级组决赛) )有有 6 个木箱，个木箱，编号为编号为 1，2，3，6，每个箱子有一把钥匙，每个箱子有一把钥匙，6 把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好先挖开把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好先挖开 1，2 号箱子，可以取出钥匙去开箱子上号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把的锁，如果最终能把 6 把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有有种种小学奥数
