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1、西城区高三模拟测试高三数学（理科）2017.5 第卷第卷（选择题共分）40 一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分在每小题列出的四个选项中，选出8540 符合题目要求的一项1在复平面内，复数复数 z对应的点是Z (1,2)，则z的共轭复数z （A）1 2i（C）2 i（B）1 2i（D）2 i0,1的是2下列函数中，值域为 2（A）y x（B）y sin x2（D）y 1 x1（C）y 2x 13在极坐标系中，圆 sin的圆心的极坐标是（A）(1,2)（B）(1, 0)1（C）(2,2)1（D）(2, 0)3x 2y0,4在平面直角坐标系中，不等式组 3x y 30,表示的平面区域的面积是y
2、03（B）25（D）2（A）1（C）2y2x25设双曲线其渐近线的方程为 a2b21(a 0,b 0)的离心率是3，则（A）x 2 2y 0（C）x8y 0（B）2 2x y 0（D）8x y 06设是 a a，b b是平面上的两个单位向量，a ab b5若mR R，则|a a mb b|的最小值33（A）44（B）34（C）55（D）47函数若存在的取值范围是 f (x) x| x|x1, )，使得f (x 2k)k 0，则k（A）(2,)8有三支股票，B，C，28 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票 A 在不持有股票的人中，持有 B 股票的人数是持有股票的人数的倍在持有股A
3、C2A票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多AA1在只持有一支股票的人中，有一半持有股票则只持有股票的股民人数是 AB（A）7（B）6（C）5（D）4（B）(1,)（C）(2,)1（D）(4,)1第卷第卷（非选择题共分）110 二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分6530 9执行如图所示的程序框图,输出的_ S值为 an的公差为10已知等差数列 2，且a1, a2, a4成等比数列，an的前则_；数列a1_ n项和Sn_ ABCCbb 1，ac11 在中， 角， ， 的对边分别是， ， 若，则a 3，A BA c _ 32x,x0,1112函数；方程_ f
4、(x) log x,x0.则f (4) _ f (x) 2的解是 213大厦一层有，B，C，D 四部电梯，其中恰好乘坐同一 A 3人在一层乘坐电梯上楼2人部电梯，则不同的乘坐方式有_种 （用数字作答） 14在空间直角坐标系四面体一组正 O xyz中，A BCD在xOy, yOz, zOx坐标平面上的投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示） 该四面体的体积是_ 三、解答题：本大题共小题，共分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步680 骤15 （本小题满分分） 13 已知函数f (x) tan(x )4（）求；f (x)的定义域（）设，且(0,)的值f () 2cos()，求416 （本小题满
5、分分） 14 如图， 在几何体底面ABCD为矩形，点 ABCDEF中，EF / CD，AD FCM在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N（）求证：AD / MN；（）求证：平面ADMN 平面CDEF；（）若平面CD EA，EF ED，CD 2EF，ADEA l B的大小平面BCF l，求二面角17 （本小题满分分） 13 某大学为调研学生在，B 两家餐厅用餐的满意度，从在，B 两家餐厅都用过餐的学AA生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分100 60 10为组距分成0,10)，20,30)，30,40)，10,20)，整理评分数据，将分数以6组：40,50)，得到餐厅分数的
6、频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表：50,60，ABB B 餐厅分数频数分布表餐厅分数频数分布表分数区间0,10)频数2351510,20)20,30)30,40)40,50)403550,60定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：0,30)30,50)分数满意度指数050,6021（）在抽样的人中，求对餐厅评价“满意度指数”为100 A0的人数；（）从该校在 A，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取人进行调查，试估计其对1A 餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高的概率；B（）如果从，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由A18 （本小题满分分） 14 在
7、平面直角坐标系抛物线以且经过点xOy中，C的顶点是原点， x轴为对称轴， P(1,2)（）求抛物线C的方程；（）设点A,B在抛物线C上，直线PA,PB分别与y轴交于点M ,N，| PM | PN |求直线AB的斜率19 （本小题满分分） 13 21x已知函数，其中f (x) (x ax a)ea R R（）求函数f (x)的零点个数；（）证明：函数的充分而不必要条件a 0是f (x)存在最小值20 （本小题满分分） 13 设集合A2n1,2,3,2n (nN N*,n2)如果对于元A2n的每一个含有m (m 4)个m素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n 1，称正整数为集合A2n的一个“相关
8、数” （）当和是否为集合，说明理由；n 3时，判断56A6的“相关数” （）若，证明：m为集合A2n的“相关数” m n 3 0；（）给定正整数求集合nA2n的“相关数”m的最小值西城区高三模拟测试高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.52017.5 一、选择一、选择题：本大题共题：本大题共小题，每小题小题，每小题分，共分，共分分. .8 85 54040 1ADCB 2 3 4 5A6C7D8A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共小题，每小题小题，每小题分，共分，共分分. .6 65 53030 29 710 2，n n11 2436 212；或 131421 3注：第注：第，1
9、212 题第一空题第一空分，第二空分，第二空分分. .1010 2 23 3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共小题，共小题，共分分. . .6 68080 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分 15 （本小题满分分） 13 kZ Z解： （）由，得， 3 分x kx k 4 24f (x)所以 函数的定义域是 4 分x| x k ,kZ Z 4（） 依题意， 得 5 分tan() 2cos() 44sin()4 2sin()， 7 分所以 4cos()4整理得 8 分sin()2cos()1 0， 441所以10 分sin(4) 0，或cos(4)
10、2 因为(0, )，所以 511 分( ,)， 4443由，得，；12 分sin() 0 4441由，得，cos() 1242433所以，或13 分 12416 （本小题满分分） 14 解： （）因为 1 分 ABCD为矩形，所以AD / BC， 所以 3 分AD /平面FBC 又因为平面ADMN平面FBC MN，所以 4 分AD / MN （）因为 5 分ABCD为矩形，所以AD CD 因为 6 分AD FC， 所以 7 分AD 平面CDEF 所以平面 8 分ADMN 平面CDEF （）因为EA CD，AD CD，所以CD 平面ADE，所以CD DE由（）得AD 平面CDEF，所以AD DE
11、所以 9 分DA，DC，DE两两互相垂直 建立空间直角坐标系10 分D - xyz 不妨设EF ED 1，则CD 2，设AD a (a 0)由题意得，A(a,0,0)，B(a,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，E(0,0,1)，F(0,1,1)所以CB (a,0,0)，CF (0,1,1)设平面FBC的法向量为n n (x, y,z)，则n n CB 0,ax 0,即y z 0.令z 1，则y 1n n CF 0, 所以12 分n n (0,1,1) 又平面ADE的法向量为DC (0,2,0)，所以 |cosn n,DC | | |n nDC |n n| DC | 22因为二面角A
12、 l B的平面角是锐角，所以二面角14 分A l B的大小45 17 （本小题满分分） 13 解： （）由对餐厅评分的频率分布直方图，得 A对餐厅“满意度指数”为频率为 2 分A0的(0.003 0.005 0.012)10 0.2， 100 0.2 20所以，对餐厅评价“满意度指数”为 3 分A0的人数为 （）设“ 对餐厅评价满意度指数比对餐厅评价满意度指数高”为事件 ABC 记“对餐厅评价满意度指数为“对餐厅评价满意度指1”为事件A A1； A数为“对餐厅评价满意度指数为“对2”为事件A2； B0”为事件B0； B餐厅评价满意度指数为1”为事件 B1所以 5 分P(A1) (0.02 0.
13、02)10 0.4，P(A2) 0.4， 由用频率估计概率得：P(B0) 分 因为事件Ai与Bj相互独立，其中i 1,2，j 0,1所以P(C) P(A1B0 A2B0 A2B1)23515 40 7 0.1，P(B1) 0.55100100 P(A1)P(B0) P(A2)P(B0) P(A2)P(B1) 0.40.10.40.10.40.55 0.310 分 所以该学生对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高AB的概率为0.3（）如果从学生对，B 两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：AA 餐厅“满意度指数”X 的分布列为：XP010.420.40.2B 餐厅“满意度指
14、数”Y 的分布列为：YP00.110.5520.35因为E(X) 00.2 10.4 20.4 1.2；E(Y) 00.110.55 20.35 1.25，所以会选择餐厅用餐13 分E(X) E(Y)，B 注：本题答案不唯一只要考生言之合理即可18 （本小题满分分） 14 2C解： （）依题意，设抛物线的方程为 1 分y ax (a 0) 由抛物线C且经过点P(1,2)，得 3 分a 4， 2所以抛物线 4 分C的方程为y 4x （）因为| PM | PN |，所以PMN PNM，所以12，所以 直线 PA与PB的倾斜角互补，所以kPAkPB 0 6 分 依题意，直线设直线AP的斜率存在，AP
15、的方程为：y 2 k(x 1) (k 0)，将其代入抛物线方程，整理得C的k2x22(k22k 2)xk24k 40 8 分 k24k 441 x A(x ,y )设，则，10 分y k(x 1) 2 2，11111 k2k(k 2)24所以11 分A(k2,k2) (k 2)24以12 分k替换点A坐标中的k，得B(k2,k2) 所以kAB44()kk 122(k 2)(k 2)k2k2所以直线14 分AB的斜率为1 19 （本小题满分分） 13 21x解： （）由，f (x) (x ax a)e 1x21x得f (x) (2x a)e(x ax a)e x2 (a 2)x 2ae1x 2
16、分 (x a)(x 2)e1x 令f (x) 0，得x 2，或xax 2；所以当函数当函数a 2时， f (x)有且只有一个零点： a 2时， f (x)有两个相异的零点： 4 分x 2，xa （） 当 a 2时，f (x)0恒成立，此时函数f (x)在(,)上单调递减，所以，函数 5 分f (x)无极值 当 a 2时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：xf (x)f (x)(,a)a0(a,2)20(2, )极小值极大值1a所以， 7 分a 0时，f (x)的极小值为f (a) ae0 22又x 2时，x axa 2 2aa a40，21x所以，当 8 分x 2时，f (x) (x a
17、x a)e 0恒成立 1a所以， 9 分f (a) ae为f (x)的最小值 故函数充分条件10 分a 0是f (x)存在最小值的 当 a 5时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：xf (x)f (x)(,2)20(2,5)50(5,)极小值极大值21xx 5因为当时，f (x) (x 5x 5)e 0，1又f (2) e 0，所以，当函数存在最小值12 分a 5时，f (x)也 所以，是函数必要条件a 0不f (x)存在最小值的综上，函数的充分而不必要条件13 分a 0是f (x)存在最小值 20 （本小题满分分） 13 解： （）当 1 分 n 3时，A61,2,3,4,5,6，4n
18、 113 2,3,4,5,6，对于A6的含有5个元素的子集因为23 45 13，所以集合 2 分5不是A6的“相关数” 1,2,3,4,5,6，A6的含有6个元素的子集只有134513，因为所以集合 3 分6是A6的“相关数” （）考察集合A2n的含有n 2个元素的子集B n1,n,n1,2n 4 分 B中任意4个元素之和一定不小于(n1)n(n1)(n2) 4n2所以集合 6 分n 2一定不是A2n的“相关数” 所以当不是集合 7 分mn 2时，m一定A2n的“相关数” 因此若集合，必有m为A2n的“相关数” m n 3即若集合，必有 8 分m为A2n的“相关数” m n 3 0 （）由（）得m n 3先将集合A2n的元素分成如下n组：Ci (i,2n 1i) (1 i n)对必有三组于集合A2n的任意一个含有n 3个元素的子集P， Ci1,Ci2,Ci3同属P10 分 再将集合A2n的元素剔除n和2n后，分成如下n 1组：Dj( j,2n j) (1 j n 1)对于必有一组集合11分A2n的任意一个含有n 3个元素的子集P，Dj4属于P 这一组，Dj4与上述三组Ci1,Ci2,Ci3中至少一组无相同元素不妨设Dj4与Ci1无相同元素i1(2n1i1) j4(2n j4) 4n1此时这12 分4个元素之和为 所以集合13 分A2n的“相关数”m的最小值为n 3
