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1、线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何关秀翠关秀翠东南大学数学系东南大学数学系我想说我想说课程的重要性课程的重要性大学与中学的区别大学与中学的区别综合考评综合考评自主学习自主学习如何学好如何学好做好预习复习做好预习复习多看多练多想多看多练多想工科基础工科基础考研基础考研基础v期末成绩占期末成绩占 90%v平时成绩占平时成绩占5%v分配时间分配时间v学习方法学习方法v数学试验占数学试验占5%序序 言言一、线性代数一、线性代数主要任务就是解线性方程组主要任务就是解线性方程组主要任务就是解线性方程组主要任务就是解线性方程组 二、空间解析几何二、空间解析几何线性方程组线性方程组方程间方程间的关系
2、的关系向量间向量间的关系的关系矩阵的性质矩阵的性质和运算和运算 方阵行列式方阵行列式的运算的运算 三、两者关系：三、两者关系：数量关系数量关系 在三维空间中在三维空间中: :空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面，二次曲面面，二次曲面基本方法基本方法 坐标法坐标法; 向量法向量法坐标坐标, ,方程（组）方程（组）三维三维n维维考考虑方程方程对应向量向量向量向量组构成矩构成矩阵特殊矩特殊矩阵方方阵再学再学再学再学再学再学再学再学方程组：方程组：教学内容和基本要求教学内容和基本要求 第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 教教 学学 内内 容容学时数学时数课件课件1.1 几何向
3、量及其线性运算几何向量及其线性运算2P1-181.2 空间坐标系空间坐标系119-251.3 向量的数量积、向量的数量积、 向量积、混合积向量积、混合积1226-3839-591.4 空间的平面与直线空间的平面与直线260-84第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 一一. 向量的概念及其表示向量的概念及其表示 二二. 向量的加法向量的加法 三三. 向量的减法向量的减法 四四. 向量与数量的乘法（数乘）向量与数量的乘法（数乘） 五五. 共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线
4、1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 一一. 向量的概念及其表示向量的概念及其表示 1. 向量：向量： 2. 向量的长度或模：向量的长度或模： 3. 自由向量：自由向量：4. 相等向量：相等向量： 5. 负向量：负向量：6. 零向量：零向量： 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量 只考虑向量的大小和方向不计较起点位置只考虑向量的大小和方向不计较起点位置 长度相等且方向相同长度相等且方向相同 长度相等且方向相反长度相等且方向相反 或或长度为零，方向任意长度为零，方向任意方向相同或相反方向相同或相反 7. 平行平行(共线共线)向量：向量： 第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线
5、平面与直线 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 一一. 向量的概念及其表示：向量的概念及其表示：方向和大小方向和大小方向和大小方向和大小 二二. 向量的加法向量的加法 三三. 向量的减法向量的减法 四四. 向量与数量的乘法（数乘）向量与数量的乘法（数乘） 五五. 共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.1 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 二二. 向量的加法向量的加法 1. 1. 平行四边形法则平行四边形法则平行四边形
6、法则平行四边形法则 2. 2. 三角形法则三角形法则三角形法则三角形法则 3. 3. 运算性质运算性质运算性质运算性质: : 结合律结合律结合律结合律 交换律交换律交换律交换律 首尾相接首尾相接首尾相接首尾相接 多边多边多边多边形法则形法则形法则形法则 OAB第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 一一. 向量的概念及其表示：向量的概念及其表示：方向和大小方向和大小 二二. 向量的加法向量的加法 三三. 向量的减法向量的减法 四四. 向量与数量的乘法（数乘）向量与数量的乘法（数乘） 五五. 共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定
7、 平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.1 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 三三. 向量的减法向量的减法 运算性质运算性质: 三角不等式三角不等式 （减数指向被减数（减数指向被减数 ）（后项减去前项（后项减去前项 ）注注: 当当平行时平行时，等式成立。，等式成立。ADB第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.1 几何向量及其线性运算
8、几何向量及其线性运算 一一. 向量的概念及其表示：向量的概念及其表示：方向和大小方向和大小 二二. 向量的加法向量的加法 三三. 向量的减法向量的减法 四四. 向量与数量的乘法（数乘）向量与数量的乘法（数乘） 五五. 共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.1 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 四四. 向量与数量
9、的乘法（数乘）向量与数量的乘法（数乘） 1. 定义：定义： m 注注: m = m = 0 或或 = . 2. 运算性质运算性质 ( 1) = . 单位向量：长度为单位向量：长度为1 1的向量的向量模模：方向：方向：非零向量的单位化：非零向量的单位化： 分配律分配律 结合律结合律 向量的伸缩向量的伸缩/ 例例1. 设设P, Q分别是分别是 ABC的的BC, AC边的中点边的中点, AP与与BQ交于点交于点M. 证明证明:A AB BC CMMAM = AP.2 23 3第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.1 1.1 几何向量
10、及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 P PQ QA AB BC CS ST T往证点往证点往证点往证点S S与点与点与点与点T T重合重合重合重合, , 即即即即P PQ Q证明：可知证明：可知第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 一一. 向量的概念及其表示：向量的概念及其表示：方向和大小方向和大小二二. 向量的加法向量的加法 三三. 向量的减法向量的减法 四四. 数乘数乘 五五. 共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则平行四边
11、形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则 向量的伸缩向量的伸缩向量的单位化：向量的单位化：向量的单位化：向量的单位化： 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.1 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 五五. 共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 1. 定义定义: 共线共线(平行平行) 定理定理1.1 设向量设向量 , 向量向量 与与 共线共线 存在唯一存在唯一的实数的实数m使得使得 = m .推论推论1.1 向量向量 1, 2共线共线 存在不全为零存在不全为零
12、的实的实数数k1, k2使得使得 k1 1+k2 2 = .注：注：向量向量 1 1, , 2 2不共线不共线 k1 1+k2 2 = 只有只有零解零解，即即 k1=k2=0.注：注：设向量设向量 , 向量向量 与与 共线共线 可由可由 唯一的线性表示唯一的线性表示.第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.1 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 五五. 共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 定理定理定理定理1.21.2 若向量若向量 , 不平行不平行, 则向量则向量 与与
13、 , 共面共面 存在唯一存在唯一的有序实数组的有序实数组(m, n), 使得使得 = m +n .推论推论1.2 向量向量 1, 2 , 3共面共面 存在存在不全为零不全为零 的实数的实数k1, k2 , k3, 使得使得 k1 1+k2 2+k3 3 = .注：注：向量向量 1, 2 , 3不共面不共面 k1 1+k2 2+k3 3 = 只有只有零解，零解，即即k1= k2 = k3 =0.注：若向量注：若向量 , 不平行不平行, 则向量则向量 与与 , 共面共面 可由可由 , 唯一的线性表示唯一的线性表示.第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.1 几何向量及其线性运算几
14、何向量及其线性运算 一一. 向量的概念及其表示向量的概念及其表示：方向和大小方向和大小 二二. 向量的加法向量的加法 三三. 向量的减法向量的减法 四四. 数乘数乘 五五. 共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 重点和难点重点和难点平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则平行四边形、三角形、多边形法则 向量的伸缩向量的伸缩 向量的单位化向量的单位化 与与与与 ( ( ) )共线共线共线共线 唯一实数唯一实数唯一实数唯一实数mm使得使得使得使得 = =mm 可由可由可由可由 唯一线性表示唯一线性表示唯一线性表示唯一线性表示 不全为零的不全为零
15、的不全为零的不全为零的k k1 1, , k k2 2使得使得使得使得k k1 1 + +k k2 2 = = . . 与与与与 , , 共面共面共面共面 唯一实数唯一实数唯一实数唯一实数m,nm,n使得使得使得使得 = =mm +n+n . . 不全为零的不全为零的不全为零的不全为零的k k1 1, , k k2 2 , , k k3 3使使使使k k1 1 + +k k2 2 + +k k3 3 = = . .Ex.第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.2 空间坐标系空间坐标系 一一. 仿射坐标系、直角坐标系仿射坐标系、直角坐标系 1. 线性表示线性表示 (1) 在在直
16、线直线上任意一个向量都可以由直线上上任意一个向量都可以由直线上一一个个 非零非零向量向量唯一唯一的线性表示的线性表示.(2) 在在平面平面上任意一个向量都可以由平面上上任意一个向量都可以由平面上两两个个 不共线不共线向量向量唯一唯一的线性表示的线性表示.定理定理1.3 在空间中取定三个在空间中取定三个不共面的不共面的 1, 2, 3, 则则 对空间中任一向量对空间中任一向量 都都存在唯一存在唯一的有序的有序 实数组实数组(x, y, z), 使得使得 = x 1+y 2+z 3.实数实数实数实数k k1 1, , k k2 2 , , k k3 3, , 使得使得使得使得 =k=k1 1 1
17、1+ +k k2 2 2 2+ +k k3 3 3.3. 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.2 1.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 定理定理1.3 在空间中取定三个在空间中取定三个不共面的不共面的 1, 2, 3, 则则 对空间中任一向量对空间中任一向量 都都存在唯一存在唯一的有序的有序 实数组实数组(x, y, z), 使得使得 = x 1+y 2+z 3. 3 3 2 2 1 1O OP PQ QMM唯一性：唯一性：第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线
18、平面与直线 1.2 1.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 右右(左左)手仿射坐标系手仿射坐标系. 3 3 2 2 1 1O O = x 1+y 2+z 3= (x, y, z) 2.仿射坐标系仿射坐标系O; 1, 2, 3 坐标原点坐标原点; 坐标向量坐标向量( (基基) ); 坐标轴坐标轴; 坐标坐标(分量分量) ; -,-,- -,+,+III -,-,+ -,+,-+,+,- +,-,-+,-,+ 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴) 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)zox面+,+,+3. 空间直角坐标系空间直角坐标系 坐标
19、分解式坐标分解式: P(x,y,z)的向径的向径第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.2 1.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 二二. 用坐标进行向量的线性运算用坐标进行向量的线性运算 设设 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2), 则则k1 +k2 例例2.设两个定点为设两个定点为P1(x1, y1, z1)与与P2(x2, y2, z2), 求求 向量向量P1P2的坐标的坐标.x xy yz zP P1 1P P2 2O O P1P2 = OP2 OP1= (x2, y2, z2) (x1
20、, y1, z1) = (x2 x1, y2 y1, z2 z1). =(k1x1+k2x2, k1y1+k2y2, k1z1+k2z2).后项减前项后项减前项第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.2 1.2 空间坐标系空间坐标系空间坐标系空间坐标系 例例3. 设两个定点为设两个定点为P1(x1, y1, z1)与与P2(x2, y2, z2), 若点若点P(x, y, z)把有向线段把有向线段P1P2分成定比分成定比 , 即即P1P = PP2 ( 1), 求分点求分点P的坐标的坐标.x xy yz zP P1 1P PO
21、O P P2 2 OP OP1 = (OP2 OP ) OP =OP1+ OP21+ y =y1+ y21+ ,x =x1+ x21+ ,z =z1+ z21+ . 第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.2 空间坐标系空间坐标系 一一. 仿射坐标系、仿射坐标系、二二. 用坐标进行向量的线性运算用坐标进行向量的线性运算 重点掌握重点掌握1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 一一. 向量的概念及其表示：向量的概念及其表示：方向和大小方向和大小 二二. 向量的线性运算向量的线性运算: 加减法、数乘加减法、数乘 三三. 共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 重点和难
22、点重点和难点直角坐标系直角坐标系 掌握掌握结果是向量结果是向量1. 1. 直线直线直线直线上任一向量都可由上任一向量都可由上任一向量都可由上任一向量都可由一一一一个非零向量个非零向量个非零向量个非零向量唯一的线性表示唯一的线性表示唯一的线性表示唯一的线性表示. .2. 2. 平面平面平面平面上任一向量都可上任一向量都可上任一向量都可上任一向量都可由由由由两两两两个不共线向量个不共线向量个不共线向量个不共线向量唯一的线性表示唯一的线性表示唯一的线性表示唯一的线性表示. .3.3.3.3.空间空间空间空间中中中中任一向量都可由任一向量都可由任一向量都可由任一向量都可由三个不共面三个不共面三个不共面
23、三个不共面向量向量向量向量唯一的线性表示唯一的线性表示唯一的线性表示唯一的线性表示. . . .第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 目录目录数量积数量积向量积向量积混合积混合积定义定义性质性质定义定义性质性质第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 一一. 两个向量的数量积两个向量的数量积 (点积、内积点积、内积)1. 物理背景物理背景 2. 两个非零向量之间的夹角两个非零向量之间的夹角 3. 数量积的定义数量积的定义 4. 内积的性
24、质内积的性质 5. 直角坐标系直角坐标系 下向量内积的计算下向量内积的计算 6. 模、夹角、距离公式模、夹角、距离公式 7. 方向角、方向余弦和方向数方向角、方向余弦和方向数8. 投影的概念及与内积的关系投影的概念及与内积的关系 第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 一一. 两个向量的数量积两个向量的数量积( (点积、内积点积、内积) ) 1. 物理背景物理背景 2. 两个非零向量之间的夹角两个非零向量之间的夹角 3. 数量积的定义数量积的定义 注注: = 0 = 或或 = 或或( , , ) 第一章第一章第一章
25、第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 4. 内积的性质内积的性质 (1)正定性正定性: 2= =| |2 0且且 2= 0 = (2)对称性对称性: = (3) (m ) = m( ) = (m ) (4) 分配律：分配律：( + ) = + (5) 线性性：线性性：(k +l ) = k + l (6) Schwartz不等式：不等式：| | | | | | (7) 三角不等式三角不等式:| |- - | | | |
26、| |+| | (8) | + |2 + | - - |2 = 2 (| |2 + | |2)注注: 数量积不满足消去律数量积不满足消去律, 即即 = , = .应为应为 ( - - )=0 ( - - ).第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 (2)设设 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2), 则则 = x1x2+y1y2+z1z25. 直角坐标系直角坐标系 下向量内积的计算下
27、向量内积的计算 例例1.1.已知已知| |=3, | |=6, ( ( , )=/3/3/3/3, ( (3 ) ( ( +2 ), 求求.解：解： (3 ) ( +2 )=0 3 2 + (6 ) 2 2=0 39+(6 ) )| | | |cos/3/3 2 36=0 81 81=0=0=1.=1. = 2 = x12 +y12+z12 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 6. 模、夹角、距离公式
28、模、夹角、距离公式 (2)设非零向量设非零向量 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2) 之间的夹角为之间的夹角为 , 则则cos = | | | |x1x2+y1y2+z1z2 =(3)点点P1(x1, y1, z1)与与P2(x2, y2, z2)之间的距离为之间的距离为(1)设设 = (x, y, z), 则则| | = x2+y2+z2 . x22+y22+z22 x12+y12+z12 |P1P2| = (x2 x1)2+(y2 y1)2+(z2 z1)2 = x1x2+y1y2+z1z2第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、
29、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 一一. 两个向量的数量积两个向量的数量积 1. 物理背景物理背景 2. 两个非零向量之间的夹角两个非零向量之间的夹角 3. 数量积数量积(点积、内积点积、内积)的定义的定义 4. 内积的性质内积的性质 5. 直角坐标系下计算内积直角坐标系下计算内积6. 模、夹角、距离公式模、夹角、距离公式 7. 方向角、方向余弦和方向数方向角、方向余弦和方向数8. 投影的概念及与内积的关系投影的概念及与内积的关系 正定性、线性性、正定性、线性性、 SchwartzSchwartz、三角不等式、三角不等式、三角不等式、三角不等式 = x1x2+y1y2+z1z2| |
30、 = x2+y2+z2 . x xO OP PB BC Cy yz z第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 7. 方向角、方向余弦和方向数方向角、方向余弦和方向数(1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为 此向量的此向量的方向角方向角; x xO OP PA AB BC Cz zy yx xO OP PA Ay yz z方向余弦方向余弦: cos , cos , cos
31、OP的方向角的方向角: = AOP, = BOP, = COP 方向角的余弦称为此向量的方向角的余弦称为此向量的方向余弦方向余弦. . 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 (3)方向数方向数c1,c2,c3:注注2：cos2 + cos2 + cos2 = 1.cos =yx2+y2+z2,cos =zx2+y2+z2,(2)向量向量 的方向余弦的方向余弦 ,cos =xx2+y2+z2=(x,y,z
32、) (1,0,0)x2+y2+z2注注注注1 1 1 1：方向余弦唯一，但方向数不唯一：方向余弦唯一，但方向数不唯一：方向余弦唯一，但方向数不唯一：方向余弦唯一，但方向数不唯一. . . .与方向余弦成比例的一组数与方向余弦成比例的一组数第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 例例 2.向向 量量 1=(1,2,3), 2=(1,0,0), 3=(1,1,3), = 1+ 2 + 3, 求求|, 的的方方
33、向向余余弦弦、方方向向数数, =(, , 3).).解：解：= 1+ 2 + 3=(3,3,6), |=|(3,3,6)|=|3(1,1,2)|=3 , 6 的方向余弦的方向余弦: cos = , cos = , cos = 6 66 66 66 66 63 3 的方向数的方向数: 3,3,6; 或者或者1,1,2; 通式为通式为k,k,2k (k 0)第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 一一. 两个向量的数量积两个向量的数量积 1. 物理背景物理背景 2. 两个非零向量之间的夹角两个非零向量之间的夹角 3.
34、数量积数量积(点积、内积点积、内积)的定义的定义 4. 内积的性质内积的性质 5. 直角坐标系下计算内积直角坐标系下计算内积6. 模、夹角、距离公式模、夹角、距离公式 7. 方向角、方向余弦和方向数方向角、方向余弦和方向数8. 投影的概念及与内积的关系投影的概念及与内积的关系 正定性、线性性、正定性、线性性、 SchwartzSchwartz、三角不等式、三角不等式、三角不等式、三角不等式 = x1x2+y1y2+z1z2| | = x2+y2+z2 . 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量
35、积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 8. 投影的概念及与内积的关系投影的概念及与内积的关系 ABuA B u AB投影与内积的关系：投影与内积的关系： ( (注意投影是一个数注意投影是一个数) ) 向量向量AB在轴在轴u上的投影为上的投影为 (AB)u = |AB|cos 其中其中 为为向量向量AB与轴与轴u的夹角的夹角. 第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 一一. 两个向量的数量积两个向量的数量积( (点积、内积点积、内积) ) 1. 两个非零向量之间的
36、夹角两个非零向量之间的夹角 2. 数量积的定义数量积的定义 3. 内积的性质内积的性质 4. 直角坐标系下计算内积直角坐标系下计算内积5. 模、夹角、距离公式模、夹角、距离公式 6. 方向角、方向余弦和方向数方向角、方向余弦和方向数7. 投影投影 正定性、线性性、正定性、线性性、 SchwartzSchwartz、三角不等式、三角不等式、三角不等式、三角不等式 = x1x2+y1y2+z1z2| | = x2+y2+z2 . Ex.第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 二二. 两个向量的向量积两个向量的向量积(
37、(叉积、外积叉积、外积) ) 1. 物理背景物理背景 2. 向量积的定义向量积的定义 3. 向量积的模的几何意义向量积的模的几何意义 4. 外积的性质外积的性质 5. 直角坐标系直角坐标系 下外积的坐标计算下外积的坐标计算 一一. 两个向量的数量积两个向量的数量积( (点积、内积点积、内积) ) 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 二二. 两个向量的向量积两个向量的向量积( ( ( (叉积叉积叉积叉积
38、, , , ,外积外积外积外积) ) ) ) 1. 物理背景物理背景: 2. 向量积的定义向量积的定义: | | = | | | |sin 其中其中 =( ( , ). 3. 模的几何意义：模的几何意义： 力矩力矩 = 力力力臂力臂 是一个向量是一个向量.当当当当 , , ，且，且，且，且 , , 不平行时，不平行时，不平行时，不平行时，正弦值等于边长为正弦值等于边长为1菱形的面积菱形的面积. 第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 二二. 两个向量的向量积两个向量的向量积( (叉积、外积叉积、外积) ) 1. 物
39、理背景物理背景 2. 向量积的定义向量积的定义 3. 向量积的模的几何意义向量积的模的几何意义 4. 外积的性质外积的性质 5. 直角坐标系直角坐标系 下外积的坐标计算下外积的坐标计算 一一. 两个向量的数量积两个向量的数量积( (点积、内积点积、内积) ) 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 4. 外积的性质外积的性质 (3)反对称性反对称性: = (4) (m ) = m( ) = (m ) (5
40、) ( + ) = + (6) ( )2+( )2 = 2 2 例例3. 已知已知| | = 3, | | = 11, 且且 = 30. 求求| |.(1) = = 或或 = 或或(, / ) / (规定规定 / )| | = | | | |sin 第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 二二. 两个向量的向量积两个向量的向量积( (叉积、外积叉积、外积) ) 1. 物理背景物理背景 2. 向量积的定义向量积的定义 3. 向量积的模的几何意义向量积的模的几何意义 4. 外积的性质外积的性质 5. 直角坐标系直角坐标
41、系 下外积的坐标计算下外积的坐标计算 一一. 两个向量的数量积两个向量的数量积( (点积、内积点积、内积) ) 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 5. 直角系直角系 下外积的坐标计算下外积的坐标计算 j jki iO Oijk = i + j + k = ( a1i+a2j+a3k ) ( b1i+b2j+b3k), (2)设设 = (a1, a2 , a3), = (b1 , , b2 , , b
42、3), 则则 (a2b3 a3b2)(a3b1 a1b3)(a1b2 a2b1)(1)第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 (3)二阶行列式二阶行列式 = i + j + k a2 a3 b2 b3a3 a1 b3 b1a1 a2 b1 b2注注: = (a1, a2, a3)与与 = (b1, b2, b3)共线共线 = = (a2b3 a3b2)i +(a3b1 a1b3)j + (a1b2 a2b
43、1)k = , , a2 a3 b2 b3a3 a1 b3 b1a1 a2 b1 b2 i ij jk ka1 a2 b1 b2= a3 b3a1 b1=a2 b2a3 b3注注: 为任意值为任意值, 不共线不共线 第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 数量积数量积向量积向量积物理背景物理背景物理背景物理背景定义定义定义定义性质性质性质性质 2 坐标计算坐标计算坐标计算坐标计算| | |=|=| | | | |sin|sin = =S S 正定性、线性性、正定性、线性性、Schwar Schwar Schwar
44、Schwar -tz-tz-tz-tz不等式、三角不等式不等式、三角不等式不等式、三角不等式不等式、三角不等式反对称性反对称性 = = =0 =0 = = / = = a a1 1b b1 1+ +a a2 2b b2 2+ +a a3 3b b3 3 = =i i j j k ka a1 1 a a2 2 a a3 3 b b1 1 b b2 2 b b3 3第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 例例
45、4. 求点求点P(4,4,1)到点到点A( 1,0, 1)和和B(0,2, 3)所所 在直线的距离在直线的距离. x xy yz zB BO OP PA A分析分析: P到到AB的距离可看作的距离可看作底底边边AB上的高上的高.D D分析：分析：P到到AB的距离可通过的距离可通过AP到到AB的投影求得的投影求得.解解1 1：解解2：第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 例例5. 已知向量已知向量 = (
46、1, 2,1), =( 1, 1, 1), 且且 = 8, 其中其中 = (1, 2,1), 求求 . 解法解法1 1：设设 = (x,y,z), 由题设知，由题设知，解法解法2 2：解得解得 = (x,y,z)=(1,-2,3).第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 例例6. 已知向量已知向量 , , 有共同起点但不共面有共同起点但不共面, 求以它们为棱的平行六面体的体积求以它们为棱的平行六面体的体积
47、V. V = ( ) S = | |, h = ( ) 解：解：第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 三三. 三个向量的混合积三个向量的混合积 1. , , 的的混合积混合积: ( , , ) = ( ) 2. 几何意义几何意义 设设 , , 为不共面的三个向量为不共面的三个向量, 将它们平将它们平 移到同一起点移到同一起点.若它们符合若它们符合右手右手法则法则, 则则g与与( )在在 与与 所所成平面
48、的成平面的同侧同侧, 于是于是V = ( ) 若若 与与( )在在 与与 所成平所成平面的面的两侧两侧, 则则 V = ( ) 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 定理定理1.4 设向量设向量 , , 不共面，则当不共面，则当 , , 符合右符合右 (或左或左)手法则时手法则时( ) = V (或或 V).推论推论1.4 , , 共面共面 ( ) = 0 注注: 轮换对称性轮换对称性( ) = ( )
49、 = ( ) ( ) 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 3. 性质性质 (1) ( , , ) = 0(2) ( , , ) = ( , , )(3) ( 1+ 2, , ) = ( 1, , ) + ( 2, , ) (4) (m , , ) = m( , , )=( , m , )=( , , m ) (5) ( , , +m ) = ( , , ), 其中其中m为一实数为一实数. 注注: 结合
50、结合轮换对称性轮换对称性,由这些性质还可派生出更由这些性质还可派生出更 多类似的性质多类似的性质. 如如: ( , 1+ 2, ) = ( , 1, ) + ( , 2, ); ( +m , , ) = ( , , ), 等等等等.= ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , )轮换对称性轮换对称性第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 例例7. .试证试证( (2 , +
51、+3 , + ) = 6( ( , , ). 证明：证明： ( (2 , + + 3 , + ) = ( (2 , 3 , + )= ( (2 , 3 , )= 6( ( , , )= 6( ( , , )第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 例例8. .由定理由定理1.3可知可知, 在空间中任取三个不共面在空间中任取三个不共面 的的 , , 后后, 空间中任一向量空间中任一向量 都可以由都可以由 ,
52、, 唯一的线性表示唯一的线性表示, 即存在唯一的实数即存在唯一的实数 组组(x, y, z), 使得使得 = x + y + z . 下面我们去求下面我们去求x, y, z的值的值.( , , ) = (x + y + z , , ) = (x , , )+ (y , , )+ (z , , )= x( , , ).故故x = ( , , )( , , ).类似地类似地, y = ( , , )( , , ),z = ( , , )( , , ). , , 不共面，则不共面，则( , , ) 0.解：解：第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、向量积和混合积
53、向量的数量积、向量积和混合积 二二. 两个向量的向量积两个向量的向量积( (叉积叉积, ,外积外积) ) 1. 混合混合混合混合积的定义积的定义 2. 混合积的几何意义混合积的几何意义 3. 混合积的性质混合积的性质 4. 直角系下混合积的坐标计算直角系下混合积的坐标计算 一一. 两个向量的数量积两个向量的数量积( (点积、内积点积、内积) ) 三三. 三个向量的混合积三个向量的混合积 5. 三阶行列式三阶行列式 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和
54、混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 4. 直角系下直角系下混合积的坐标计算混合积的坐标计算设设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3), 则则 = (a2b3 a3b2), (a3b1 a1b3), (a1b2 a2b1), ( ) = (a2b3 a3b2)c1+(a3b1 a1b3)c2+(a1b2 a2b1)c3 = a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2 a3b2c1 a1b3c2 a2b1c3 a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面
55、与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 5. 三阶行列式三阶行列式 a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3(1)(1)(1)(1)定义定义定义定义 (2) 对角线法则对角线法则 =a1 (b2c3 b3c2) a2(b1c3 b3c1) +a3(b1c2 b2c1) 按第一行的展开式按第一行的展开式二阶行列式的系数：二阶行列式的系数： = a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2 a3b2c1 a1b3c2 a2b1c3 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量
56、代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.3 1.3 向量的数量积向量的数量积向量的数量积向量的数量积, , 向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积向量积和混合积 注注: 对于向量对于向量 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), 和和 = (c1, c2, c3), 采用行列式的记号采用行列式的记号, 我们有我们有 ( ) = a1 a2 a3b1 b2 b3 , c1 c2 c3 = i j ka1 a2 a3 . b1 b2 b3推论推论1.4 三个向量三个向量 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), = (c1, c2,
57、c3)共面的共面的充分必要条件是充分必要条件是= 0.a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 数量积数量积向量积向量积混合积混合积定义定义定义定义性质性质性质性质2 2 坐标坐标坐标坐标计算计算计算计算| | |=|=| | | | |sin|sin = =S S 正定性正定性, ,线性性线性性, ,SchwartzSchwartzSchwartzSchwartz不等式不等式不等式不等式反对称性反对称性 = = =0 =0 = = / a = = a a1 1b b1
58、 1+ +a a2 2b b2 2+ +a a3 3b b3 3( ( , , , , ) ) = = ( ( ) ) = =V(平行六面体平行六面体)轮换对称性轮换对称性轮换对称性轮换对称性, ,(1),(2),(5)(1),(2),(5)( ( , , , , ) ) =0 =0 共面共面共面共面 a a1 1 a a2 2 a a3 3b b1 1 b b2 2 b b3 3 c c1 1 c c2 2 c c3 3 ( ( , , , , ) )= =Ex. = =i i j j k ka a1 1 a a2 2 a a3 3 b b1 1 b b2 2 b b3 3第一章第一章 向量
59、代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线 一一. 平面的方程平面的方程 1. 1. 点法式方程点法式方程点法式方程点法式方程 2. 2. 一般方程一般方程一般方程一般方程 3. 3. 特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程 4. 4. 三点式方程三点式方程三点式方程三点式方程 5. 5. 截距式方程截距式方程截距式方程截距式方程 二二. 空间直线的方程空间直线的方程 1. 1. 参数方程参数方程参数方程参数方程 2. 2. 标准标准标准标准( (对称对称对称对称) )方程方程方程方程 4. 4. 两点式方程两点式方程两点式方
60、程两点式方程 3. 3. 一般方程一般方程一般方程一般方程 三三. 与直线、平面有关的一些问题与直线、平面有关的一些问题 1. 1. 夹角夹角夹角夹角 2. 2. 距离距离距离距离 3.3.3.3.平面束方程平面束方程平面束方程平面束方程x xy yz zO On n P P0 0 第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线 一一. 平面的方程平面的方程 1. 点法式方程点法式方程 r rr r0 0 P PA(x x0)+B(y y0)+C(z z0) = 0 2. 一般方程一般方程 Ax+By+Cz+D = 0定理定理1.5 平面方程是三
61、元一次方程平面方程是三元一次方程, 而三元一而三元一 次方程必然表示一个平面次方程必然表示一个平面.P P0 0( (x x0 0, , y y0 0, , z z0 0) )P P( (x x, , y y, , z z) )过点过点P0且与且与n 垂直的平面垂直的平面 的方程为的方程为其中其中D= Ax0 By0 Cz0 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 3. 特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程 (1)过原点的平面过原点的平面: Ax+By
62、+Cz = 0 (2)平行于平行于x轴的平面轴的平面:平行于平行于y轴的平面轴的平面: Ax+Cz+D = 0 平行于平行于z轴的平面轴的平面: Ax+By+D = 0 (3)平行于平行于xoy面的平面面的平面:平行于平行于yoz面的平面面的平面: Ax+D = 0 平行于平行于xoz面的平面面的平面: By+D = 0 Ax+By+Cz+D = 0若若A 0，则，则A(x+D/A)+B(y-0)+C(z-0) = 0P P0 0(- (-D/AD/A,0,0),0,0)By+Cz+D = 0Cz+D = 0D D=0 =0 过原点过原点过原点过原点, , A A=0=0 x x轴轴轴轴, ,
63、 B=B=0 0 y y轴轴轴轴, , C=C=0 0 z z轴轴轴轴第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 例例1. 求通过点求通过点P0(1,2,3), 且且 注注: 确定确定A, B, C, D的值的值; 作图时应标注一些特殊点作图时应标注一些特殊点, 如与坐标轴如与坐标轴 或坐标平面的交点或坐标平面的交点. (0,2,3)(0,2,3)x xO Oy yz z(1,0,0)(1,0,0)x xO Oy yz z(1)通过通过x轴轴;(2)平行于
64、平行于yoz平面平面的平面方程的平面方程, 并且分别作出它们的图形并且分别作出它们的图形. By+Cz=0 2B+3C=03y-2z=0AxAx+ +D D=0=0A A+ +D D=0=0x x 1=01=0第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 4. 三点式方程三点式方程 经过不共线经过不共线经过不共线经过不共线三三三三点点点点P P1 1( (x x1 1, , y y1 1, , z z1 1), ), P P2 2( (x x2 2, , y
65、 y2 2, , z z2 2), ), P P3 3( (x x3 3, , y y3 3, , z z3 3) )的平面的平面的平面的平面 x x1 y y1 z z1x2 x1 y2 y1 z2 z1 = 0 x3 x1 y3 y1 z3 z15. 截距式方程截距式方程 xaybzc+= 1 A A( (a a,0,0),0,0)x xO Oy yz zB B(0,(0,b b, 0), 0)C C(0,0,(0,0,c c) ) 的方程的方程的方程的方程第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线
66、空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 二二. 空间直线的方程空间直线的方程 1. 参数方程参数方程 P Px = x0+lt, y = y0+mt, z = z0+nt. r r0 0r r2. 标准标准(对称对称)方程方程 x xy yz zO OP P0 0s s L L 过点过点P0(x0, y0, z0)且与非零向量且与非零向量s = (l, m, n)平行的直线平行的直线L的参数方的参数方程程:x x0lmny y0z z0=第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直
67、线空间的平面和直线空间的平面和直线 3. 一般方程一般方程 A1x+B1y+C1z+D1 = 0 A2x+B2y+C2z+D2 = 0 4. 两点式方程两点式方程 过两点过两点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2)的直线的直线L的方程为的方程为x x1y y1z z1=x2 x1y2 y1z2 z1r r1 1r r2 2x xy yz zO OP P1 1 L L P P2 2x x0lmny y0z z0=第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直
68、线空间的平面和直线 例例2. 求过点求过点P( 7,6,5), 垂直于直线垂直于直线L0: 且平行于平面且平行于平面 0: x+y+z+1=0的直线方程的直线方程. = (9, 5, 1).= (4, 8, 4). 所求直线所求直线L的方程为的方程为 x+71 21y 6z 5=.x 2y + z + 3 = 0 2x 3y 3z 9 = 0 L L0 0 0解解: (法一法一)直线直线L0的方向向量的方向向量s0可取为可取为 所求直线所求直线L的方向向量的方向向量 s 可取为可取为s0 =n1 n2= s = s0 n= P P第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面
69、与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 例例2. 求过点求过点P( 7,6,5), 垂直于直线垂直于直线L0: 且平行于平面且平行于平面 0: x+y+z+1=0的直线方程的直线方程. x 2y + z + 3 = 0 2x 3y 3z 9 = 0 (9, 5, 1).9(x+7)+5(y 6)+(z 5)=0, 即即: 9x+5y+z+28=0.过点过点P( 7,6,5)平行于平面平行于平面 0的平面的平面 2为为 (x+7) + (y 6) + (z 5) = 0, 即即: x+y+z 4=0.故所求直线故所求
70、直线L的方程为的方程为9x+5y+z+28=0x+y+z 4=0解解: (法二法二)直线直线L0的方向向量的方向向量 s0 =n1 n2= 0 2 1过点过点P( 7,6,5)且以且以 s0 为法向量的平面为法向量的平面 1为为 P P第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线 一一. 平面的方程平面的方程 1. 1. 点法式方程点法式方程点法式方程点法式方程 2. 2. 一般方程一般方程一般方程一般方程 3. 3. 特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程 4. 4. 三点式方程三点式方程三点式方程三点式方程
71、 5. 5. 截距式方程截距式方程截距式方程截距式方程 二二. 空间直线的方程空间直线的方程 1. 1. 参数方程参数方程参数方程参数方程 2. 2. 标准标准标准标准( (对称对称对称对称) )方程方程方程方程 4. 4. 两点式方程两点式方程两点式方程两点式方程 3. 3. 一般方程一般方程一般方程一般方程 三三. 与直线、平面有关的一些问题与直线、平面有关的一些问题 1. 1. 夹角夹角夹角夹角 2. 2. 距离距离距离距离 3.3.3.3.平面束方程平面束方程平面束方程平面束方程重要信息重要信息: 重要工具重要工具: :三个向量共面三个向量共面 重要信息重要信息: : P1P2第一章第
72、一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 三三. 与直线、平面有关的一些问题与直线、平面有关的一些问题 1. 夹角夹角 (1) 两条直线的夹角两条直线的夹角 (2) 两个平面的夹角两个平面的夹角 (3) 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 规定夹角规定夹角的范围的范围0 /2. 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 例例
73、3. 求直线求直线L: x+71 21y 6z 5=与平面与平面 : x+2y+z+1=0之间的夹角之间的夹角. 解：解：法法2：第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 三三. 与直线、平面有关的一些问题与直线、平面有关的一些问题 1. 夹角夹角 (1) 两条直线的夹角两条直线的夹角 (2) 两个平面的夹角两个平面的夹角 (3) 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 规定夹角规定夹角的范围的范围0 /2. 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数
74、向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 2. 距离距离 (1) 点点P到直线到直线L的距离的距离: PP0Lsd =|P0P s| |s|(2) 两平行直线之间的距离两平行直线之间的距离: d =|P2P1 s| |s|第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 2. 距离距离 (3) 点点P(x1, y1, z1)到平面到平面 : Ax+By+Cz+D=0的距的
75、距离离n nP P P P0 0d = |(P0P)n|nP0P| |n|=d =|Ax1+By1+Cz1+D| A2+B2+C2(4) 两平行平面间的距离两平行平面间的距离两平行平面间的距离两平行平面间的距离: : 一平面上一点到另一平面距离一平面上一点到另一平面距离一平面上一点到另一平面距离一平面上一点到另一平面距离例例4. 已知平面已知平面且相隔且相隔个单位，求平面个单位，求平面 的方程。的方程。L L1 1第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线
76、 (5) 异面直线之间的距离异面直线之间的距离 L L2 2P P1 1P P2 2s s1 1s s2 2 |(s1, s2, P1P2)| |s1 s2|d =几何意义几何意义: 以以的平行六面体的底面上的高的平行六面体的底面上的高.为相对棱为相对棱既不相交又不平行既不相交又不平行s s1 1s s2 2s s2 2s s1 1|(s1 s2)P1P2| |s1 s2|d =第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 例例5. 求证求证L1: x 34
77、1 1y 3z+1=解：解：L2: x20 1yz+2=是两条异面直线，并求出它们之间的最短距离是两条异面直线，并求出它们之间的最短距离. 所以是两条异面直线所以是两条异面直线. 公垂线的方向为公垂线的方向为 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 解解1：再求出公垂线的方程再求出公垂线的方程. L L1 1L L2 2P P1 1P P2 2s s1 1s s2 2 1 1 2 2s s平面平面 1 1的法向量为的法向量为 平面平面 2 2的法向量为
78、的法向量为 平面平面 1 1的方程为的方程为 (y 3)+(z+1)=0, 即即: y+z 2=0.平面平面 2 2的方程为的方程为 公垂线的方程为公垂线的方程为2x+5y+4z+8=02x+5y+4z+8=0y+z 2=0例例5. L1: x 341 1y 3z+1=L2: x20 1yz+2=第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 解解2：再求出公垂线的方程再求出公垂线的方程. L L1 1L L2 2P P1 1P P2 2s s1 1s s2
79、2 1 1s s平面平面 1 1的法向量为的法向量为 平面平面 1 1的方程为的方程为 (y 3)+(z+1)=0, 即即: y+z 2=0.平面平面 1 1与直线与直线L2的交点为的交点为 公垂线的方程为公垂线的方程为MMM M ( ( 8, 0, 2). ).x+8 12 2yz 2=例例5. L1: x 341 1y 3z+1=L2: x20 1yz+2=第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线 一一. 平面的方程平面的方程 1. 1. 点法式方程点法式方程点法式方程点法式方程 2. 2. 一般方程一般方程一般方程一般方程 3. 3.
80、 特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程 二二. 空间直线的方程空间直线的方程 2. 2. 标准标准标准标准( (对称对称对称对称) )方程方程方程方程 3. 3. 一般方程一般方程一般方程一般方程 三三. 与直线、平面有关的一些问题与直线、平面有关的一些问题 1. 1. 夹角夹角夹角夹角 2. 2. 距离距离距离距离 3.3.3.3.平面束方程平面束方程平面束方程平面束方程重要信息重要信息: 重要工具重要工具: :三个向量共面三个向量共面 重要信息重要信息: P1P2d =|P0P s| |s|d = |(P0P)n|Ex.Ex.第一章第一章第一章第一章 向
81、量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 3. 通过直线通过直线L的的平面束方程平面束方程A1x+B1y+C1z+D1 = 0 A2x+B2y+C2z+D2 = 0 1(A1x+B1y+C1z+D1)+ 2(A2x+B2y+C2z+D2) = 0则则过过两平面交线上一点两平面交线上一点 以以 为法向量平面方程为法向量平面方程:第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平
82、面和直线空间的平面和直线 例例6. 已知已知 1: 2x y + z + 1 = 0, 问问 1与与 2是否相交是否相交; 若相交若相交, 求出交线求出交线在平面在平面 : 2x + 3y 6 = 0上的投影直线方程上的投影直线方程. 2: x 3y + 2z + 4 = 0.解：解： 1, 2相交相交相交相交.过交线且垂直过交线且垂直过交线且垂直过交线且垂直 的平面的平面的平面的平面 3 3: : 3 3 : :所求投影直线方程为所求投影直线方程为所求投影直线方程为所求投影直线方程为第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4
83、1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 例例7. 求直线求直线L: : x + y 2z + 1 = 0上的投影直线方程上的投影直线方程.解：解：设过设过 L 的平面束方程为的平面束方程为:所求投影直线方程为所求投影直线方程为所求投影直线方程为所求投影直线方程为直线的对称方程可直线的对称方程可转化为一般方程转化为一般方程: 投影平面方程为投影平面方程为投影平面方程为投影平面方程为在平面在平面垂直于垂直于 的平面的平面 1的法向量的法向量满足足第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空
84、间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 例例7. 求直线求直线L: : x + y 2z + 1 = 0上的投影直线方程上的投影直线方程.解解II：所求投影直线方程为所求投影直线方程为所求投影直线方程为所求投影直线方程为投影平面方程为投影平面方程为投影平面方程为投影平面方程为在平面在平面过直直线l且垂直于且垂直于 的平面的平面 1的法向量的法向量为:(2,1,2) (1,1, 2)= ( 4,6,1) 又因又因为 1过直直线l上的点上的点(2, 1, 1), 可得可得 1的点法式方程的点法式方程 4(x 2)+6( y 1)+(z+1) = 0第一章第一章 向量代数向量
85、代数 平面与直线平面与直线 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线 一一. 平面的方程平面的方程 1. 1. 点法式方程点法式方程点法式方程点法式方程 2. 2. 一般方程一般方程一般方程一般方程 3. 3. 特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程 二二. 空间直线的方程空间直线的方程 2. 2. 标准标准标准标准( (对称对称对称对称) )方程方程方程方程 3. 3. 一般方程一般方程一般方程一般方程 三三. 与直线、平面有关的一些问题与直线、平面有关的一些问题 1. 1. 夹角夹角夹角夹角 2. 2. 距离距离距离距离 3.3.3.3.平面束方程平面束方
86、程平面束方程平面束方程重要信息重要信息: 重要工具重要工具: :三个向量共面三个向量共面 重要信息重要信息: P1P2d =|P0P s| |s|d = |(P0P)n| 1 1( (A A1 1x x+ +B B1 1y y+ +C C1 1z z+ +D D1 1)+)+ 2 2( (A A2 2x x+ +B B2 2y y+ +C C2 2z z+ +D D2 2)=0)=0第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.1 几何向量及其线性运算几何向量及其线性运算 一一. 向量的概念及其表示：向量的概念及其表示：方向和大小方向和大小 二二. 向量的线性运算向量的线性运算:
87、加减法、数乘加减法、数乘 三三. 共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 重点和难点重点和难点结果是向量结果是向量1. 1. 直线直线直线直线上任一向量都可由上任一向量都可由上任一向量都可由上任一向量都可由一一一一个个个个非零向量唯一的线性表示非零向量唯一的线性表示非零向量唯一的线性表示非零向量唯一的线性表示. .2. 2. 平面平面平面平面上任一向量都可上任一向量都可上任一向量都可上任一向量都可由由由由两两两两个个个个不共线向量唯一的线性表示不共线向量唯一的线性表示不共线向量唯一的线性表示不共线向量唯一的线性表示. .3.3.3.3.空间空间空间空间中中中中任一向量都可由任一向量都可由任一
88、向量都可由任一向量都可由三个三个三个三个不共面不共面不共面不共面向量唯一的线性表示向量唯一的线性表示向量唯一的线性表示向量唯一的线性表示. . . .1.2 空间坐标系空间坐标系 一一. 仿射坐标系、仿射坐标系、二二. 用坐标进行向量的线性运算用坐标进行向量的线性运算 重点掌握重点掌握直角坐标系直角坐标系 掌握掌握第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 1.3 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积 数量积数量积向量积向量积混合积混合积定义定义定义定义性质性质性质性质2 2 坐标坐标坐标坐标计算计算计算计算| | |=|=| | | | |sin|sin = =
89、S S 正定性正定性, ,线性性线性性, ,SchwartzSchwartzSchwartzSchwartz不等式不等式不等式不等式反对称性反对称性 = = =0 =0 = = / a = = a a1 1b b1 1+ +a a2 2b b2 2+ +a a3 3b b3 3( ( , , , , ) ) = = ( ( ) ) = =V(平行六面体平行六面体)轮换对称性轮换对称性轮换对称性轮换对称性, ,(1),(2),(5)(1),(2),(5)( ( , , , , ) ) =0 =0 共面共面共面共面 a a1 1 a a2 2 a a3 3b b1 1 b b2 2 b b3 3
90、c c1 1 c c2 2 c c3 3 ( ( , , , , ) )= = = =i i j j k ka a1 1 a a2 2 a a3 3 b b1 1 b b2 2 b b3 3第一章第一章 向量代数向量代数 平面与直线平面与直线 本章习题本章习题 一一. .习题习题1.1 2, 3, 5, 6三三. .习题习题1.3 8, 10, 11, 13, 15, 18 思考题思考题 1, 2, 3, 4 二二. .习题习题1.2 2, 4, 5, 6 习题习题1.3 2, 3, 6, 7 四四. .习题习题1.4 2, 7, 8(1,3,4), 11, 12, 15, 16, 19, 206(1)五五. .习题习题1.4 17 思考题思考题 6, 7, 8, 9, 11
