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1、1第七章第七章第七章第七章 多元函数微分法多元函数微分法多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用及其应用及其应用2第一节第一节 多元函数多元函数的基本概念的基本概念预备知识预备知识多元函数的概念多元函数的概念多元函数的极限多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的连续性小结小结 思考题思考题 作业作业 function of many variables第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用3一、预备知识一、预备知识1. 平面点集平面点集 n 维空间维空间一元函数一元函数平面点集平面点集 n 维空间维空间实数组实数组(x, y)的全体的全体, 即即建立了坐标系的平面称为
2、坐标面建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面坐标面坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质P的点的集合的点的集合, 称为称为平面点集平面点集, 记作记作(1) 平面点集平面点集 二元有序二元有序多多元元函函数数的的基基本本概概念念 4邻域邻域 (Neighborhood) 设设P0(x0, y0)是是 xOy 平面上的一个点平面上的一个点,几何表示：几何表示：Oxy. P0多多元元函函数数的的基基本本概概念念 令令有时简记为有时简记为称之为称之为 将邻域去掉中心将邻域去掉中心, 也可将以也可将以P0为中心的为中心的某个矩形内某个矩形内(不算周界不算周界)注注称之为称之为的全体点称之为点的全体
3、点称之为点P0邻域邻域.去心邻域去心邻域.5 (1) 内点内点显然显然, E的内点属于的内点属于E.多多元元函函数数的的基基本本概概念念 (2) 外点外点 如果存在点如果存在点P的某个邻域的某个邻域则称则称P为为E的的外点外点.(3) 边界点边界点 如点如点P的的任一任一邻域内既有属于邻域内既有属于E的点的点,也有不属于也有不属于E的点的点,称称P为为E的的边界点边界点.任意一点任意一点与任意一点集与任意一点集之间之间必有以下三种关系中的一种必有以下三种关系中的一种:设设E为一平面点集为一平面点集,若存在若存在称称P为为E的的内点内点.E的边界点的全体称为的边界点的全体称为E的的边界边界, 记
4、作记作使使U(P) E = ,6聚点聚点多多元元函函数数的的基基本本概概念念 如果对于任意给定的如果对于任意给定的点点P的去心邻域的去心邻域内总有内总有E中的点中的点则称则称P是是E的的聚点聚点.例如例如, 设点集设点集(P本身可属于本身可属于E,也可不也可不属于属于E ),则则P为为E的的内点内点;则则P为为E的的边界点边界点,也是也是E的聚的聚点点.E的边界的边界为集合为集合7平面区域平面区域(重要重要)设设D是是开集开集. 连通的开集称连通的开集称区域区域多多元元函函数数的的基基本本概概念念 连通的连通的.如对如对D内任何两点内任何两点,都可用折线连都可用折线连且该折线上的点都属于且该折
5、线上的点都属于D,称开集称开集D是是或或开区域开区域.如如都是区域都是区域. 开集开集 若若E的任意一点的任意一点都是内点都是内点,例例称称E为为开集开集.E1为为开集开集.结起来结起来,8 开区域连同其边界开区域连同其边界,称为称为有界区域有界区域否则称为否则称为多多元元函函数数的的基基本本概概念念 都是闭区域都是闭区域 .如如总可以被包围在一个以原点为中心、总可以被包围在一个以原点为中心、适当大的圆内的区域适当大的圆内的区域, 称此区域为称此区域为半径半径 (可伸展到无限远处的区域可伸展到无限远处的区域 ).闭区域闭区域.有界区域有界区域.无界区域无界区域9OxyOxyOxy Oxy有界开
6、区域有界开区域有界半开半闭区域有界半开半闭区域有界闭区域有界闭区域无界闭区域无界闭区域多多元元函函数数的的基基本本概概念念 10n 元有序数组元有序数组的全体的全体 n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中称为空间中 称为该点的第称为该点的第k个个坐标坐标. .n维空间中两点维空间中两点的的距离距离定义为定义为n 维空间中点维空间中点记作记作及及的的 邻域邻域为为(2) n 维空间维空间多多元元函函数数的的基基本本概概念念 n 维空间维空间.称为称为即即的一个的一个点点, , 11二、多元函数的概念二、多元函数的概念1. 二元函数的定义二元函数的定义例例 理想气体的状态方程是理想
7、气体的状态方程是 称称 p为两个变量为两个变量T,V 的函数的函数, 其中其中(1) 定义定义 如温度如温度T、体积、体积V都在变化都在变化, 则压强则压强 p依赖依赖多多元元函函数数的的基基本本概概念念 (R为常数为常数)其中其中p为压强为压强, V为体积为体积, T为温度为温度.于于T,V 的关系是的关系是12按着这个关系有确定的按着这个关系有确定的点集点集D称为该函数称为该函数称为该函数的称为该函数的则称则称z是是x, y的的定义定义1 1若变量若变量z与与D中的变量中的变量x, y之间有一个依赖关系之间有一个依赖关系,设设D是是xOy平面上的点集平面上的点集,使得在使得在D内内每取定一
8、个点每取定一个点P(x, y)时时,z值与之对应值与之对应,多多元元函函数数的的基基本本概概念念 记为记为称称x, y为为的的数集数集二元二元( (点点) )函数函数. .称称z为为自变量自变量, ,因变量因变量, ,定义域定义域, ,值域值域. .13二元及二元以上的函二元及二元以上的函数统称为数统称为(2) 多元函数定义域多元函数定义域定义域为定义域为符合实际意义符合实际意义的的自变量取值的全体自变量取值的全体.记为记为 函数函数 在点在点 处的函数值处的函数值多多元元函函数数的的基基本本概概念念 或或类似类似, 可定义可定义n元函数元函数.多元函数多元函数. .实际问题中的函数实际问题中
9、的函数:自变量取值的全体自变量取值的全体.纯数学问题的函数纯数学问题的函数: 定义域为使定义域为使运算有意义运算有意义的的14例例 求下面函数的定义域求下面函数的定义域解解Oxy无界闭区域无界闭区域多多元元函函数数的的基基本本概概念念 即定义域为即定义域为15解解Oxy定义域是定义域是有界半开半闭区域有界半开半闭区域多多元元函函数数的的基基本本概概念念 162. 二元函数的几何意义二元函数的几何意义 研究单值函数研究单值函数二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张多多元元函函数数的的基基本本概概念念 曲面曲面.17 的图形是双曲抛物面的图形是双曲抛物面.多多元元函函数数的的基基本本概概
10、念念 如如, , 由空间解析几何知由空间解析几何知, 函数函数的图形是以原点为中心的图形是以原点为中心, R为半径的上半球面为半径的上半球面.又如又如, ,最后指出最后指出, 从一元函数到二元函数从一元函数到二元函数,在内容在内容和方法上都会出现一些实质性的差别和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元而多元函数之间差异不大函数之间差异不大.因此研究多元函数时因此研究多元函数时, 将以将以二元函数为主二元函数为主.18三、多元函数的极限三、多元函数的极限 讨论二元函数讨论二元函数 怎样描述呢怎样描述呢? Oxy (1) P(x, y)趋向于趋向于P0(x0, y0)的的回忆回忆: 一元函数的极
11、限一元函数的极限 路径又是多种多样的路径又是多种多样的.注注多多元元函函数数的的基基本本概概念念 方向有任意多个方向有任意多个,Oxy19(2) 变点变点P(x,y) 这样这样,可以在一元函数的基础上得出可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义二元函数极限的一般定义.多多元元函函数数的的基基本本概概念念 总可以用总可以用来表示极限过程来表示极限过程:与定点与定点P0(x0,y0)之间的距离记为之间的距离记为不论不论的过程多复杂的过程多复杂,20记作记作多多元元函函数数的的基基本本概概念念 定义定义2 2有有成立成立.的极限的极限. 设二元函数设二元函数 P0(x0, y0)是是D的聚点
12、的聚点. 的定义的定义 义域为义域为D, 如果存在常数如果存在常数 A,也记作也记作21 说明说明(1) 定义中定义中(2) 二元函数的极限也叫二元函数的极限也叫多多元元函函数数的的基基本本概概念念 (double limit)的方式是任意的；的方式是任意的；二重极限二重极限.22则当则当例例证证取取有有证毕证毕.多多元元函函数数的的基基本本概概念念 23 相同点相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数一元函数在某点的极限存在的充要在某点的极限存在的充要定义相同定义相同.差异为差异为必需是点必需是点P在定义域内以在定义域内以任何方式和途径任何方式和途径趋
13、趋而而多元函数多元函数于于P0时时,多多元元函函数数的的基基本本概概念念 相同点相同点和和差异差异是什么是什么条件是条件是左右极限都左右极限都存在且相等存在且相等;都有极限都有极限,且相等且相等.24确定极限确定极限 关于二元函数的极限概念可相应地推广关于二元函数的极限概念可相应地推广到到n元函数上去元函数上去.多多元元函函数数的的基基本本概概念念 不存在不存在的方法的方法则可断言极限不存在则可断言极限不存在;若极限值与若极限值与 k 有关有关,(1)(2)此时也可断言此时也可断言找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式,但两者不相等但两者不相等,处极限不存在处极限不存在.存在存在,沿直线沿直线2
14、5设函数设函数证明证明: :当当P(x, y)沿沿x轴轴的方向的方向当当P(x, y)沿沿y轴轴的方向的方向也有也有证证多多元元函函数数的的基基本本概概念念 函数的极限不存在函数的极限不存在.无限接近点无限接近点(0,0)时时,同样同样,无限接近点无限接近点(0,0)时时,例例26函数的极限存在且相等函数的极限存在且相等.当当P(x, y) 沿直线沿直线 y = kx 的方向的方向其值随其值随k的不同而变化的不同而变化. 所以所以,极限不存在极限不存在多多元元函函数数的的基基本本概概念念 说明函数取上面两个说明函数取上面两个无限接近无限接近于点于点(0,0)时时,另一方面另一方面,无限接近点无
15、限接近点(0,0)时时,设函数设函数证明证明:函数的极限不存在函数的极限不存在.特殊方向特殊方向27极限极限 是否存在？是否存在？取取解解当当P(x,y)沿沿x轴的方向无限接近点轴的方向无限接近点(0,0)时时, 当当P(x,y)沿沿y轴的方向无限接近点轴的方向无限接近点(0,0)时时,多多元元函函数数的的基基本本概概念念 28多多元元函函数数的的基基本本概概念念 极限不存在极限不存在.取取极限极限 是否存在？是否存在？29四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 设二元函数设二元函数 则称函数则称函数定义定义3 3多多元元函函数数的的基基本本概概念念 P0(x0, y0)为为D的聚点的聚点,
16、 且且 P0D.如果如果连续连续.如果函数如果函数 f (x, y) 在开区域在开区域(闭区域闭区域)D内的内的每一点连续每一点连续, 则称函数则称函数在在D内连续内连续,或称函数或称函数是是 D内的连续函数内的连续函数. 的定义域为的定义域为D, 30多多元元函函数数的的基基本本概概念念 若若函数函数 在在点点 P0(x0, y0)不连续不连续,称称P0为函数为函数 间断点间断点.则则31在单位圆在单位圆处处是处处是间断点间断点.多多元元函函数数的的基基本本概概念念 函数函数 (0,0)点是该函数的点是该函数的间断点间断点. 函数函数 不同在哪不同在哪?想一想想一想 二元函数的间断性与一元函
17、数的间断性二元函数的间断性与一元函数的间断性32称为多元初等函数称为多元初等函数,多多元元函函数数的的基基本本概概念念 积、商（分母不为零）及复合仍是连续的积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样同一元函数一样, 多元函数的和、差、多元函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算和有限次复合, 由一个式子表达的函数由一个式子表达的函数处均连续处均连续.在它们的定义域的内点在它们的定义域的内点33有界闭区域有界闭区域上上连续连续的多元函数的性质的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次
18、介于这两值之间的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理多多元元函函数数的的基基本本概概念念 在在有界闭区域有界闭区域D上的上的多元连续函数多元连续函数, ,在在D上上在在有界闭区域有界闭区域D上的上的多元连续函数多元连续函数, , 如果如果在在D上取得两个不同的函数值上取得两个不同的函数值, ,则它在则它在D上取得上取得34多元函数的极限的基本问题有三类多元函数的极限的基本问题有三类(1) 研究二元函数极限的存在性研究二元函数极限的存在性.常研究常研究若其依赖于若其依赖于k, 则则欲证明极限存在欲证明极限存在,*特别对于
19、特别对于*不存在不存在.多多元元函函数数的的基基本本概概念念 常用定义或夹逼定理常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在欲证明极限不存在 (通过观察、猜测通过观察、猜测),常选择两条不同路径常选择两条不同路径, 求出不同的极限值求出不同的极限值.(2) 求极限值求极限值. 常按一元函数极限的求法求之常按一元函数极限的求法求之.(3) 研究二重极限与累次极限研究二重极限与累次极限(二次极限二次极限)间的关系间的关系.(罗必达法则除外罗必达法则除外)35例例 求极限求极限 解解其中其中多多元元函函数数的的基基本本概概念念 36多多元元函函数数的的基基本本概概念念 例例 求极限求极限 解解 将将分母有理
20、化分母有理化, ,得得 37想一想想一想 如何证明如何证明 f( x, y)在在 证证多多元元函函数数的的基基本本概概念念 xOy面上处处连续面上处处连续?是是初等函数，初等函数，处处连续处处连续.38 又又于是于是即证明了即证明了f(x, y)在在 多多元元函函数数的的基基本本概概念念 由于由于xOy面上处处连续面上处处连续.证明证明 f( x, y)在在xOy面上处处连续面上处处连续?39五、小结五、小结多元函数的极限多元函数的极限多元函数连续性多元函数连续性有界闭区域上连续多元函数的性质有界闭区域上连续多元函数的性质(与一元函数的极限加以比较与一元函数的极限加以比较:注意相同点与差异注意相同点与差异)多元函数的概念多元函数的概念多多元元函函数数的的基基本本概概念念 预备知识预备知识 (内点内点, 边界点边界点, 聚点聚点, 开集开集, 连通连通, 区域区域)
