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1、第第1313章章 机械波机械波中国国家管弦乐团在联合国总部的演出中国国家管弦乐团在联合国总部的演出一一. .波的分类波的分类u 什么是波？什么是波？ 振动振动在空间的传播就形成了在空间的传播就形成了波波. .机械振动机械振动在弹性介质中在弹性介质中由近及远地传播形成由近及远地传播形成机械波机械波。 产生条件产生条件1.1. 机械机械波波波源：波源：作机械振动的物体作机械振动的物体弹性介质：弹性介质：承担传播振动的物质承担传播振动的物质（遵循经典的力学规律）（遵循经典的力学规律）13.1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播2.2. 电磁波电磁波变化的电场变化的电场和和变化的磁场变化的磁场( (
2、电磁振动电磁振动) )在空间的传播过程形成在空间的传播过程形成电磁波，如光波、无线电波、电磁波，如光波、无线电波、x x射线等。射线等。 产生条件产生条件宏观：凡宏观：凡做加速运动做加速运动的的电荷电荷都是电磁波的都是电磁波的波源波源例：例：天线中的振荡电流天线中的振荡电流微观：微观：分子分子或或原子原子从从高能级向低能级的跃迁高能级向低能级的跃迁（可以在真空或介质中传（可以在真空或介质中传播）播）（遵循麦克斯韦电磁场理论）（遵循麦克斯韦电磁场理论）3.3. 物质物质波（概率波）波（概率波）物质波物质波是微观粒子的一种属性，与经典的波相比是微观粒子的一种属性，与经典的波相比具有完全具有完全不同
3、的本质不同的本质。（遵循（遵循量子力学理论量子力学理论） 波的共同特点：波的共同特点：1.1.，2.2.，3.3. 二二二二. . 横横横横波和纵波波和纵波波和纵波波和纵波u 横波：横波：介质质点的振动方向与波传播方向介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直相互垂直的波；的波；如弹性绳上传播的波如弹性绳上传播的波. .u 纵波：纵波： 介质质点的介质质点的振动方向和波传播方向振动方向和波传播方向相互平行相互平行的波；的波；如空气中传播的声波如空气中传播的声波. .( (就机械波而言就机械波而言: :气体气体和和液体液体内内只能传播只能传播纵波纵波，不能传播不能传播横波横波）振动曲线振动曲线ty结
4、论结论1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718横横 波波纵纵 波波(1) 波动中各质点并不随波前进；波动中各质点并不随波前进；yx波动曲线波动曲线(2) 在波的传播方向上各个质点的相位在波的传播方向上各个质点的相位依次落后依次落后, ,波动是相位的传播；波动是相位的传播；(3) 波动曲线与振动曲线不同。波动曲线与振动曲线不同。三三. . 波面和波线波面和波线沿波的传播方向作的沿波的传播方向作的有方向的线有方向的线。波线波线波线波线在波传播过程中，任一时刻媒质中振动在波传播过程中，任一时刻媒质中振
5、动相位相同相位相同的点的点联结成的面联结成的面。(振动状态与波面振动状态与波面)波面波面波前波前 在某一时刻，波传播到的在某一时刻，波传播到的最前面的波面最前面的波面。球面波球面波柱面波柱面波波面波面波线波线波面波面波线波线在在各向同性均匀媒质各向同性均匀媒质中，波线中，波线波面。波面。注意注意xyz平面波平面波平面波平面波某时刻，某时刻，在同一条在同一条波线上，波线上，是否有振动相位相同的点？是否有振动相位相同的点？ 是否有振动状态是否有振动状态相同的点？相同的点？同一波线上同一波线上相位差为相位差为 2 2 的的质点质点之间的距离之间的距离；即即波源作一次完全振动波源作一次完全振动，波前进
6、的距离波前进的距离。四四. .波长波长 周期周期 频率和波速频率和波速波前进一个波长距离所需的时间。波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了周期表征了波的时间周期性。波的时间周期性。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率频率与周期的关系为与周期的关系为振动状态在媒质中的传播速度。振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、周波速与波长、周期和频率的关系为期和频率的关系为波长反映了波长反映了波的空间周期性。波的空间周期性。 波速与波长、周波速与波长、周期和频率的关系为期和频率的关系为(1)(1)通常通常波的周期波的周期和和频率频率与媒质的性质无关；与媒质的性
7、质无关； 与与波源波源振动的振动的周期周期和和频率频率相同相同。a. 拉紧的拉紧的绳子绳子或或弦线弦线中中横波的波速横波的波速为：为： b. 均匀细棒中，纵波的波速为：均匀细棒中，纵波的波速为：(2) 通常通常波速（波速（亦即亦即相速度）相速度）主要决定于媒质的性质，主要决定于媒质的性质， 与与波的波的频率频率无关无关。说明说明 张力张力 线密度线密度u几种情况下的波速几种情况下的波速l0l0 + l FF长变长变Y : 杨氏模量杨氏模量c. 固体媒质中固体媒质中传播的传播的横波横波速率由下式给出：速率由下式给出：F 切变切变SxhG: 切变弹性模量切变弹性模量同一种材料：同一种材料： G Y
8、, 固体中固体中 u横波横波u纵波纵波d. 液体和气体液体和气体只能传播只能传播纵波纵波，其波速由下式给出，其波速由下式给出容变容变ppppV0+ VB: 流体的容变弹性模量流体的容变弹性模量 e. 稀薄大气中稀薄大气中的的纵波纵波波速为波速为气体分子热运动平均速率气体分子热运动平均速率?波面为平面的简谐波波面为平面的简谐波13.2 平面平面简谐波简谐波简谐波简谐波 波所到之处，介质中各质点匀作同频率的谐振动。波所到之处，介质中各质点匀作同频率的谐振动。本节主要讨论在本节主要讨论在无吸收无吸收（不吸收波的能量）（不吸收波的能量）各向各向同性同性、均匀均匀无限大媒质无限大媒质中中传播的平面简谐波
9、。传播的平面简谐波。平面简谐波平面简谐波平面简谐波平面简谐波说明说明简谐波是一种简谐波是一种最简单最简单、最基本最基本的波，的波，研究简谐波的波动规律是研究更研究简谐波的波动规律是研究更复复杂波杂波的基础。的基础。一一. 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数平面波函数平面波函数yxxP PO O简谐振动简谐振动确定确定P 点点 t 时刻的振动状态：时刻的振动状态：O 点点简谐振动简谐振动平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数时刻的状态：时刻的状态： 若若P P 为任意点为任意点(波函数波函数)波函数波函数-(P 点相位较点相位较O 点落后点落后 ) )波函数的波函数的其它形式其它形式(3) 若波
10、沿轴负向传播时，同样可得到波函数若波沿轴负向传播时，同样可得到波函数: :yxxP PO O 若若(P 点相位较点相位较O 点超前点超前 ) )其其 它它 形形 式式如图，如图，在下列情况下试求波函数：在下列情况下试求波函数：(3) 若若 u 沿沿 x 轴负向，以上两种情况又如何？轴负向，以上两种情况又如何？例例 (1) 以以 A 为原点；为原点；(2) 以以 B 为原点；为原点；BA已知已知A 点的振动方程为：点的振动方程为： (1)在在 x 轴上任取一点轴上任取一点P ，该点，该点 振动方程为：振动方程为：波函数为：波函数为：解解P BA (2) 以以 B 为原点；为原点；P BA B 点
11、振动方程为：点振动方程为：波函数为波函数为:(3) 以以 A 为原点：为原点：以以 B 为原点：为原点：已知已知A点的振动：点的振动：P OA 波函数为波函数为:（波传播方向？（波传播方向？)二二. 波函数的物理意义波函数的物理意义(2) 波形传播的时间周期性波形传播的时间周期性(1) 振动状态的空间周期性振动状态的空间周期性（表明波具有空间周期性）（表明波具有空间周期性）（表明波具有时间周期性）（表明波具有时间周期性）t1时刻的波形时刻的波形Oyx(4) t 给定给定，y = y(x) 表示表示 t 时刻的波形图时刻的波形图(5) x和和 t 都在变化，表都在变化，表明各质点在不同时明各质点
12、在不同时刻的位移分布。刻的位移分布。 (3) x 给定给定，y = y (t) 是是 x 处振动方程处振动方程t1+t时刻的波形时刻的波形x1一平面简谐波沿一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，已知其波函数为轴正方向传播，已知其波函数为标准形式标准形式波函数为波函数为比较可得比较可得例例解解(1)波的振幅、波长、周期及波速；波的振幅、波长、周期及波速；(2)质点振动的最大速度。质点振动的最大速度。求求(1)与标准形式比较与标准形式比较(2)三三. 平面波的波动微分方程平面波的波动微分方程由由知知 (2) 不仅适用于不仅适用于机械波机械波，也适用于，也适用于电磁波电磁波、对于、对于热传导热传导、扩散
13、扩散过程也存在这样的方程；过程也存在这样的方程；(1) 上式是上式是一切一切平面波平面波所满足的微分方程所满足的微分方程（且且正、反传播）正、反传播）；(3) 若物理量是在若物理量是在三维三维空间中以波的形式传播，波动方程为空间中以波的形式传播，波动方程为说明说明13.3 波的能量波的能量波动波动过程过程质元由静止开始振动质元由静止开始振动质元也发生形变质元也发生形变波动过程是能波动过程是能量的传播过程量的传播过程一一. 波的能量和能量密度波的能量和能量密度Oxy线元的动能为线元的动能为线元的线元的势能势能（平衡位置为势能零点平衡位置为势能零点）为）为（以绳索上传播的横波（以绳索上传播的横波(
14、 (简谐波简谐波) )为例为例）设波沿设波沿 x 方向传播，取线元方向传播，取线元T2T1lyx由由得得其中其中线元的机械能为线元的机械能为和和OxyT2T1lyx(1) 在波的传播过程中，在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的，即即Wk=Wp，与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的，与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的.讨论讨论xyOAB机械能机械能(2) 质元机械能随质元机械能随时空时空周期性变化，表明质元在波传播过程中不断吸收和周期性变化，表明质元在波传播过程中不断吸收和放出能量；放出能量；因此，因此，波动过程是能量的传播过程
15、波动过程是能量的传播过程能量密度能量密度设绳子的横截面为设绳子的横截面为S ，体密度为，体密度为 ，则线元单位体积，则线元单位体积中的机械能中的机械能（能量密度）能量密度）为为平均能量密度平均能量密度说明：说明：.1. 能流能流在一个周期中的在一个周期中的平均能流平均能流为为sut2. 能流密度能流密度 通过垂直于波线截面单位面积上的能流。通过垂直于波线截面单位面积上的能流。大小：大小：方向：波的传播方向方向：波的传播方向矢量表示式：矢量表示式：在在单位时间内单位时间内通过通过某一截面某一截面的波动能量为通过的波动能量为通过该面的该面的能流能流S二二. 能流密度能流密度波的波的强度强度 一个周
16、期内能流密度大小的平均值。一个周期内能流密度大小的平均值。三三. 平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅1. 平面波平面波 （不吸收能量不吸收能量）由由得得这表明平面波在媒质不吸收的情况下这表明平面波在媒质不吸收的情况下, , 振幅不变。振幅不变。2. 球面波球面波由由令令得得球面波的振幅在媒质不吸收的情况下球面波的振幅在媒质不吸收的情况下, ,随随 r 增大而减小增大而减小. .若若 则则球面简谐波的波函数为球面简谐波的波函数为（A0为离原点（波源）为离原点（波源）r0 0 距离处波的振幅）距离处波的振幅）讨论：讨论：柱面波振幅的情况柱面波振幅的情况.四四. 波的吸收波的吸收O吸收媒质吸收
17、媒质, ,实验表明实验表明 为为介质吸收系数介质吸收系数，与，与介质的性质介质的性质、温度温度及及波的频率波的频率有关。有关。xIxI0I0OI应用：应用：增加吸收增加吸收减少吸收减少吸收(1) 知某一时刻波前，知某一时刻波前，可用几何方法决定可用几何方法决定下一时刻波前；下一时刻波前；说明说明R1R2S1S2O13.4 惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理：惠更斯原理：(1) 行进中的波面上任意一点都行进中的波面上任意一点都 可可看作是新的子波源；看作是新的子波源；(3) 各个子波所形成的包络面，就各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播是原波面在一定时间内所传播到的新波面。到的新波面
18、。(2) 所有子波源各自向外发出许多所有子波源各自向外发出许多子波；子波；(2) 亦适用于亦适用于电磁波电磁波，非均匀非均匀和和各向异性媒质各向异性媒质；(4) 不足之处（未涉及振幅，不足之处（未涉及振幅，相位等的分布规律）。相位等的分布规律）。(3) 解释解释衍射衍射、反射反射、折射折射现象；现象；BCA由几何关系知：由几何关系知：DEFu1u2u2td = u1t( (反射反射) )a13.5 波的干涉波的干涉一一. 叠加原理叠加原理1. 波传播的独立性波传播的独立性2. 叠加原理叠加原理当几列波在传播过程中在某一区域当几列波在传播过程中在某一区域相遇后相遇后再行分开再行分开，各波，各波的
19、传播情况与的传播情况与未相遇一样未相遇一样，仍保持它们各自仍保持它们各自的频率、波长、的频率、波长、振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。 在波在波相遇区域内相遇区域内，任一质点，任一质点的振动，为的振动，为各波单独存在时各波单独存在时所引起的振动的合振动所引起的振动的合振动。v1v2注意注意 波的叠加原理仅适用于线性波的问题波的叠加原理仅适用于线性波的问题 二二. 相干波与相干条件相干波与相干条件一般情况下，叠加问题复杂。一般情况下，叠加问题复杂。干涉实验干涉实验与与干涉现象干涉现象: :当两列（或多列）波叠加时，其当两列（或多列）波叠加时，其合振动
20、的振幅合振动的振幅 A 和和合强度合强度 I 将将在空间形成一种稳定的分布在空间形成一种稳定的分布，即，即某些点上的振动始终某些点上的振动始终加强加强，某些点上的振动始终减弱某些点上的振动始终减弱的现象。的现象。相干波相干波相干条件相干条件频率相同、振动方向相同、相位差恒定。频率相同、振动方向相同、相位差恒定。相干波源相干波源满足相干条件的波满足相干条件的波产生相干波的波源产生相干波的波源【相干叠加相干叠加】三三. 干涉规律干涉规律根据叠加原理可知，根据叠加原理可知，P 点处振动方程为点处振动方程为S1S2 合振动的振幅合振动的振幅PP P 点处波的强度点处波的强度P相位差相位差 空间点振动的
21、情况分析空间点振动的情况分析当当干涉相长干涉相长当当干涉相消干涉相消讨论讨论干涉相长干涉相长(1) 若若(2) 若若干涉相消干涉相消干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区域，合成波在从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而是发生重新分布，形空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而是发生重新分布，形成了时间上稳定、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。成了时间上稳定、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。波程差波程差A、B 为两相干波源，距离为为两相干波源，距离为 30 m ，振幅振幅相同，初相
22、差相同，初相差为为 , ,u = 400 m/s, ,f =100 Hz 。例例A、B 连线上因干涉而静止的各点位置。连线上因干涉而静止的各点位置。求求解解BAP30m（P 在在A 左侧）左侧）（P 在在B 右侧）右侧）( (即在即在两侧干涉相长，不会出现静止点两侧干涉相长，不会出现静止点) )r1r2P 在在A、B 中间中间P干涉相消干涉相消( (在在 A，B 之间距离之间距离A 点为点为 r1 =1,3,5,29 m 处出现静止点处出现静止点) )13.6 驻波驻波一一. 弦线上的驻波实验弦线上的驻波实验波腹波腹波节波节两列等振幅相干波相向传播时叠加形成驻波两列等振幅相干波相向传播时叠加形
23、成驻波驻波条件：驻波条件：二二. 驻波波函数驻波波函数(a)(b)(c)AAABBBC1C2C3C1C2D1D4D2D3D1D2D3，即驻波是各质点振幅按余弦分布，即驻波是各质点振幅按余弦分布(1)波腹波腹(A= Amax) ：讨论讨论波节波节(A= Amin) ：相邻两波腹之间的距离：相邻两波腹之间的距离：(2) 所有波节点将媒质划分为长所有波节点将媒质划分为长的许多段，每段中各的许多段，每段中各质点的振动振幅不同，但相位皆相同；而相邻段间各质质点的振动振幅不同，但相位皆相同；而相邻段间各质点的振动相位相反点的振动相位相反; ; 即驻波中不存在相位的传播即驻波中不存在相位的传播。相邻两波节之
24、间的距离：相邻两波节之间的距离：(3) 没有能量的定向传播。没有能量的定向传播。能量只是在波节和波腹之间，进能量只是在波节和波腹之间，进行动能和势能的转化。行动能和势能的转化。势能势能动能动能势能势能 (4) 半波损失。半波损失。反射点为波节，表明入射波与反射波在该点反相。反射点为波节，表明入射波与反射波在该点反相。(3) 以以B B为为坐标原点坐标原点求求合成波，并分析波节，波腹的位置坐标。合成波，并分析波节，波腹的位置坐标。(1) 以以D 为原点，写出波函数；为原点，写出波函数；平面简谐波平面简谐波 t 时刻的波形如图，此波波速为时刻的波形如图，此波波速为 u ，沿，沿x 方向传方向传播，
25、振幅为播，振幅为A，频率为，频率为 v 。(2) 以以 B 为反射点，且为波节，若以为反射点，且为波节，若以 B 为为 x 轴坐标原点，轴坐标原点，写出入射波，反射波函数；写出入射波，反射波函数；例例解解(1)(2)求求BDx y(3)波腹波腹波节波节已知某一弦线的驻波方程为：已知某一弦线的驻波方程为：例例求求两波节间驻波的两波节间驻波的能量（能量（设设弦线线密度为弦线线密度为 ）。）。解解取平衡位置对应的时刻，取平衡位置对应的时刻，此时刻此时刻 dm 的动的动能为能为13.7 多普勒效应多普勒效应由于观察者（接收器）或波源、或二者同时相对媒质运动，而使观察者由于观察者（接收器）或波源、或二者
26、同时相对媒质运动，而使观察者接收到的频率与波源发出的频率不同的现象，称为多普勒效应。接收到的频率与波源发出的频率不同的现象，称为多普勒效应。一一. 波源静止，观察者运动波源静止，观察者运动远离远离u靠近靠近u观察者观察者二二. 观察者静止，波源运动观察者静止，波源运动S S 运动的前方波长变短运动的前方波长变短三三. 波源和观察者同时运动波源和观察者同时运动远离远离靠近靠近符号正负的选择与上述相同符号正负的选择与上述相同u观察者观察者 若波源和观测者的运动方向不在二者连线上若波源和观测者的运动方向不在二者连线上 O S S ovSvo有纵向多普勒效应有纵向多普勒效应; ; 无横向多普勒效应无横
27、向多普勒效应*光波的多普勒效应光波的多普勒效应 O S R参照系参照系vv : 、O 相对速度的绝对值相对速度的绝对值纵向效应纵向效应横向效应横向效应多普勒效应多普勒效应观察者观察者观察者观察者讨论讨论 时，时，多普勒效应多普勒效应失去意义，此时形成冲击波。失去意义，此时形成冲击波。马赫角马赫角声障声障多普勒效应的多普勒效应的应用应用: :监测车辆行驶速度监测车辆行驶速度测量血液流速测量血液流速一警笛发射频率为一警笛发射频率为1500 Hz 的声波，并以的声波，并以22 m/s 的速度向某的速度向某一方向运动，一人以一方向运动，一人以6 m/s 的速度跟踪其后的速度跟踪其后.观察者接收到的频率
28、观察者接收到的频率( 波源和观察者同时运动波源和观察者同时运动 ) ：警笛后方空气中声波的频率警笛后方空气中声波的频率( 观察者静止，波源运动观察者静止，波源运动 ) ：警笛后方空气中声波的波长警笛后方空气中声波的波长:例例解解该人听到的警笛发出的声音的频率以及在警笛后方空气中声该人听到的警笛发出的声音的频率以及在警笛后方空气中声波的波长？波的波长？求求一频率为一频率为1 kHz的声源的声源,以以 vs=34 m/s 的速率向右运动的速率向右运动.在声源在声源的右方有一反射面的右方有一反射面,以以 v1=68 m/s 的速率向左运动的速率向左运动. 设声波的设声波的速度为速度为 u=340m/
29、s. 例例(1)声源所发出的声波在空气中的波长声源所发出的声波在空气中的波长.求求(2)每秒内到达反射面的波数每秒内到达反射面的波数;(3)反射反射波在空气中的波长波在空气中的波长.(1)在声源的右侧在声源的右侧, 相对空气静止的相对空气静止的观察者接收到的频率：观察者接收到的频率：解解所以所以,在声源的左侧在声源的左侧声波在空气中的波长声波在空气中的波长: Svsv1(2)反射面作为反射面作为接收者测到的频率：接收者测到的频率：(3)反射波在空气中反射波在空气中的频率：的频率：反射波在空气中反射波在空气中的波长的波长: Svsv1一固定的超声波波源发出频率为一固定的超声波波源发出频率为v0=
30、100 kHz 的超声波的超声波.当一当一汽车迎面驶来时汽车迎面驶来时,在超声波所在处收到了从汽车反射回来的超在超声波所在处收到了从汽车反射回来的超声波其频率为声波其频率为v=110 kHz. 设声波的速度为设声波的速度为 u=330m/s. 汽车作为汽车作为观察者接收到的频率：观察者接收到的频率：例例解解汽车的行驶速度汽车的行驶速度.求求汽车反射波汽车反射波(作为作为波源发出波源发出)在空气中的频率：在空气中的频率：汽车的行驶速度为汽车的行驶速度为：拍拍频：频：例：图为例：图为 t 时刻驻波的波形图。时刻驻波的波形图。 A、B 、C 、D 、E 之间的相位差为多少？之间的相位差为多少？ABCDE
