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1、 几何与代数几何与代数几何与代数几何与代数 主讲主讲: 关秀翠 东南大学数学系东南大学数学系东南大学数学系东南大学数学系 2010年国家级精品课程2021/6/41教学内容和学时分配教学内容和学时分配第四章第四章 n维向量维向量 教教 学学 内内 容容学时数学时数4.1 n维维向量空间向量空间24.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性44.3 子空间的基和维数子空间的基和维数24.4 向量的内积向量的内积24.5 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构24.6 线性方程组的最小二乘解线性方程组的最小二乘解12021/6/42基础解系基础解系本质是解向量组的极大无关组本质是解向量组的极大无
2、关组, 维数为维数为n-r(A)(1) r r( (A A, ,b b) =) = r r( (A A)+1)+1 AxAx= =b b无解无解无解无解b b不能由不能由不能由不能由A A的列向量的列向量的列向量的列向量组线性表示组线性表示组线性表示组线性表示直线直线直线直线( (或平面或平面或平面或平面) )间无公共点间无公共点间无公共点间无公共点; ;(2)(2) r r( (A A, ,b b)=)=r r( (A A) )= =n n AxAx= =b b有唯一解有唯一解有唯一解有唯一解 b b可由可由可由可由A A的列向的列向的列向的列向量组唯一地线性表示量组唯一地线性表示量组唯一地
3、线性表示量组唯一地线性表示 直线直线直线直线( (或平面或平面或平面或平面) )间有唯一公共点间有唯一公共点间有唯一公共点间有唯一公共点; ;(3) (3) r r( (A A, ,b b)= )= r r( (A A) ) n n Ax Ax= =b b有无穷多解有无穷多解有无穷多解有无穷多解, , 且通解中含有且通解中含有且通解中含有且通解中含有n n r r( (A A) )个自由变量个自由变量个自由变量个自由变量, , AxAx= =0 0的基础解系有的基础解系有的基础解系有的基础解系有n n r r( (A A) )个解向个解向个解向个解向量量量量b b可由可由可由可由A A的列向量
4、组线性表示的列向量组线性表示的列向量组线性表示的列向量组线性表示, , 但表示方式不唯一但表示方式不唯一但表示方式不唯一但表示方式不唯一 直线直线直线直线( (或平面或平面或平面或平面) )重合或平面交于一条直线重合或平面交于一条直线重合或平面交于一条直线重合或平面交于一条直线. .x = 0 + k1 1 +kn r n r . 一一. . 解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性二二. 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系三三. . 非齐次线性方程组的一般解非齐次线性方程组的一般解 2021/6/43一一. . 线性方程组无解时的近似解线性方程组无解时的近似解 定理定理4.13.
5、设设A Rm n, b Rm, 则则 (1) r(A, b) = r(A)+1 Ax = b无解无解; (2) r(A, b) = r(A) = n Ax = b有唯一解有唯一解;(3) r(A, b) = r(A) 02021/6/47二二. . R3上上b的正投影向量的正投影向量 问题：能否找一个问题：能否找一个 近似解近似解 R(A) = Ax|x Rn，使得，使得第四章第四章 n维向量维向量 4.6 线性方程组的最小二乘解线性方程组的最小二乘解 b不能不能由向量组由向量组 I: 1, n 线性表线性表示示 r(A) r(A,b)Ax =b 无无解解. b R(A) = Ax|x Rn
6、|b- - | 0 = =R R( (A A) ) b b b b- - - - b b- - - - A3 2, r(A)=2, R(A)为一平面为一平面 2021/6/48二二. . R3上上b的正投影向量的正投影向量 问题：能否找一个问题：能否找一个 近似解近似解 R(A) = Ax|x Rn，使得，使得第四章第四章 n维向量维向量 4.6 线性方程组的最小二乘解线性方程组的最小二乘解 b R(A) = Ax|x Rn 为为b在平面在平面 上的正投影向量上的正投影向量 |b- - | 0 = =R R( (A A) ) b b b b- - - - b b- - - - b- - 与与
7、正交正交 , = 0b不能不能由向量组由向量组 I: 1, n 线性表线性表示示 i , = 0, i =1,n2021/6/49三三. . Rm上上b的正投影向量的正投影向量 问题：能否找一个问题：能否找一个 近似解近似解 = Ax|x Rn，使，使得得第四章第四章 n维向量维向量 4.6 线性方程组的最小二乘解线性方程组的最小二乘解 为为b在在R(A)上的正投影向量上的正投影向量 = =R R( (A A) ) b b b b- - - - b b- - - - b- - 与与R(A)正交正交 i, = 0 i, iT(b- - ) = 0 i, iT(b- -Ax) = 0总是有解的总是
8、有解的2021/6/410三三. . Rm上上b的正投影向量的正投影向量 问题：能否找一个问题：能否找一个 近似解近似解 R(A) = Ax|x Rn，使得，使得第四章第四章 n维向量维向量 4.6 线性方程组的最小二乘解线性方程组的最小二乘解 为为b在在R(A)上的正投影向量上的正投影向量 = =R R( (A A) ) b b b b- - - - b b- - - - b- - 与与R(A)正交正交 i, iT(b- -Ax) = 0Ax=b的正规方程的正规方程Ax=b的最佳近似解就是的最佳近似解就是ATAx = ATb的精确解的精确解.Ax=b的最小二乘解的最小二乘解2021/6/41
9、1例例例例. . 已知某铜棒的电阻与温度关系为：已知某铜棒的电阻与温度关系为： 实验测得实验测得7组数据组数据，试试确定确定参量参量R0, 使得这使得这7组观测组观测点到该直线的点到该直线的距离距离最小最小。第四章第四章 n维向量维向量 4.6 线性方程组的最小二乘解线性方程组的最小二乘解 t / 19.125.130.136.040.045.150.1Rt / 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10解：解：解：解： 问题：要找一个问题：要找一个问题：要找一个问题：要找一个 近似解近似解近似解近似解 R R( (A A)=)= AxAx| |x x
10、R Rn n ，使得，使得，使得，使得 线性方程组近似解的应用线性方程组近似解的应用曲线拟合曲线拟合Ax=b的最佳近似解就是的最佳近似解就是ATAx = ATb的精确解的精确解.x2021/6/412第四章第四章 n维向量维向量 4.6 线性方程组的最小二乘解线性方程组的最小二乘解 t / 19.125.130.136.040.045.150.1Rt / 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10解：解：解：解： 线性方程组近似解的应用线性方程组近似解的应用曲线拟合曲线拟合Ax=b的最佳近似解就是的最佳近似解就是ATAx = ATb的精确解的精确解.例例
11、例例. . 确定确定R0, 使观测点到直线使观测点到直线 的的距离距离最小最小。2021/6/413例例例例. . 确定确定R0, 使观测点到直线使观测点到直线 的的距离距离最小最小。第四章第四章 n维向量维向量 4.6 线性方程组的最小二乘解线性方程组的最小二乘解 t / 19.125.130.136.040.045.150.1Rt / 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10线性方程组近似解的应用线性方程组近似解的应用曲线拟合曲线拟合 t=19.1;25.1;30.1;36;40;45.1;50.1; t=19.1;25.1;30.1;36;40;
12、45.1;50.1; t=19.1;25.1;30.1;36;40;45.1;50.1; t=19.1;25.1;30.1;36;40;45.1;50.1; % % % %温度温度温度温度t t Rt=76.3;77.8;79.75;80.8;82.35;83.9;85.1; Rt=76.3;77.8;79.75;80.8;82.35;83.9;85.1; Rt=76.3;77.8;79.75;80.8;82.35;83.9;85.1; Rt=76.3;77.8;79.75;80.8;82.35;83.9;85.1; x=0.2878;70.7622; x=0.2878;70.7622; x=0.2878;70.7622; x=0.2878;70.7622; y=t,ones(7,1)*x; y=t,ones(7,1)*x; y=t,ones(7,1)*x; y=t,ones(7,1)*x; plot(t,Rt,o,t,y,r) plot(t,Rt,o,t,y,r) %用用用用o o画观测点用红线画直线画观测点用红线画直线画观测点用红线画直线画观测点用红线画直线 2021/6/414部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
